高數(shù)第一章d11函數(shù)

第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限

第一章第一節(jié)函數(shù)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合與區(qū)間1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.簡稱集簡稱元表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間無限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:二、映射與函數(shù)某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.引例2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向y

軸投影定義4.設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱

f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.對(duì)映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函R

f稱為定義在X

上的函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,定義域函數(shù)的概念定義5.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達(dá)式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域?qū)o實(shí)際背景的函數(shù),書寫時(shí)可以省略定義域.對(duì)實(shí)際問題,書寫函數(shù)時(shí)必須寫出定義域；例4.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域三.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(見P11)(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)四.反函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)若函數(shù)y=f(x)定義在某個(gè)區(qū)間I上并在該區(qū)間上單調(diào)（增加或減少），則它的反函數(shù)必存在。思考：不單調(diào)的函數(shù)是不是一定沒有反函數(shù)例如：例.正弦函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然對(duì)于不存在反函數(shù)。如果把正弦函數(shù)的定義域限制在它的一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，就可以得到反函數(shù)了。這個(gè)反函數(shù)成為反正弦函數(shù)。記為思考：反正弦函數(shù)的值域類似，定義在上的余弦函數(shù)的反函數(shù)，稱為反余弦函數(shù)，記為定義在上的正切函數(shù)的反函數(shù)，稱為反正切函數(shù)，記為定義在上的余切函數(shù)的反函數(shù)，稱為反余切函數(shù)，記為函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)五.復(fù)合函數(shù),初等函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復(fù)合函數(shù)時(shí),雖不能在自然域R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當(dāng)改兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):約定:為簡單計(jì),書寫復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫出其定義域,

默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.

初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)

設(shè)函數(shù)

x

換為f(x)例5.解:例6.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)閮?nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函