專題05立體幾何外接球、內(nèi)切球?qū)ｎ}(解析版)

專題05立體幾何外接球、內(nèi)切球?qū)ｎ}ABC,ABBC.若PAABBC2PABC中，PA底面E,F分，1、在三棱錐PB,PC的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為__________.PAEF別是5答案：解析：根據(jù)題意，結(jié)合題中幾何體的結(jié)構(gòu)，將題中棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體外接球問題.【詳解】因?yàn)榈酌鍭BC，所以PABC.PA又ABBC，所以BC⊥平面，故BC⊥AE.PABPAABAEPB，又，故所以AE⊥平面PBC，所以AEEF,AEPE.又EF//BC，所以，故EF,PE,AE兩兩垂直.EFPE1EFBC1,PEAE2，又2故該三棱錐外接球的半徑與一個(gè)棱長(zhǎng)分別為1，2，2的長(zhǎng)方體外接球半徑相同.1225，所以三棱錐的外接球的半徑為PAEF2225245.故外接球的表面積為5.OABC中，A，，三點(diǎn)在以為球故答案為：2、已知三棱錐COABBC2，心的球面上，若BABC120OABCO，且三棱錐的體積為3，則球的表面積為（）3216C．52D．64πA．B．3答案：C解析：由題意ABBC2，ABC120，可求得ABC的面積，進(jìn)而通過OABC的體積得到三棱錐的高，即球心到平面ABC的距離.通過外接圓的半徑公式，求得截面圓的半徑，得到球O的半徑，即得解.【詳解】12由題意ABBC2，ABC120，S=|AB||BC|sinABC3ABCVOABC1Sh3h3.3ABCAB又ABC的外接圓的半徑2r22sinC2sin30o因此球O的半徑R22321352.R2球的表面積：4S故選：C3、已知球O是三棱錐PABC的外接球，PAABPBAC1，2，點(diǎn)CPD7是的中點(diǎn)，且CD，則球）O的表面積為（PB277B．672127721D．54A．3C．答案：A解析：證明AC平面，以為底面，AC為側(cè)棱PAB補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則球O是該三PAB棱柱的外接球，計(jì)算半徑得到答案.【詳解】由PAABPBAC1，2，得PAAC.CP37，易求得AD，又CD，所以DPB由點(diǎn)是的中點(diǎn)及PAABPBADAC，所以AC平面.22PAB以PAB為底面，AC為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則球O是該三棱柱的外接球，1AC12O到底面PAB的距離球心d，2PA13由正弦定理得PAB的外接圓半徑r，2sin602所以球，所以球O的表面積為.77RO的半徑為drS4R22123故選：A.BAD60，AB2，將菱形ABCD沿對(duì)角線BD翻4、已知四邊形ABCD是菱形，1ABDC的余弦值為，則四面體的外接球的表面積為（）．ABCD折后，二面角3B．6D．8C．7A．5答案：BOAOC3，由二面角由菱形中，連接和交于，求出ABCDACOBD解析：13ABDCAC2ABCD的余弦值為，可得，即四面體為棱長(zhǎng)為2的正四面體求解可得表面積，將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，求出正方體的外接球半徑即可得結(jié)果.詳解：由題意，菱形ABCD中，連接AC和交于BDOCBD，O，可知ACBD，即，OABDBAD60AB2OAOC3，∵，，∴1∴AOC為二面角的平面角，即cosAOC，ABDC3由余弦定理可得：AC2OA2OC22OAOCcosAOC33233143即AC2,即四面體ABCD為棱長(zhǎng)為2的正四面體，將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，26∵正四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，266，2∴外接球的表面積的值為S4故選：B.AOB5、已知A，，C是球心為O的球面上三點(diǎn)，60，AOC120，若三棱B錐OABC體積的最大值為1，則球的表面積為（）O361624A．12B．C．D．答案：B解析：根據(jù)題意分析可知，當(dāng)平面AOB平面時(shí)，三棱錐體積的最大．此時(shí)，AOCOABC點(diǎn)到平面AOC的距離達(dá)到最大值，為正三角形AOB的OA邊上的高，根據(jù)三棱錐的B體積公式計(jì)算體積，可解得R，根據(jù)球的表面積公式可得結(jié)果.O半徑為AOCR，當(dāng)平面AOB平面時(shí)，三棱錐OABC體積的最大．詳解：設(shè)球△注意AOB是正三角形，AOC是頂角等于的等腰三角形，1201131VR2sin120RR31R2，所以S16.所以3228故選：B.ACB60DCCBCA2，二面角D-AC-BDCA906、在四面體ABCD中，，，的大小為120°，則此四面體的外接球的表面積是________.(100163)9答案：解析：NACDABCM,N，和的中心，點(diǎn)是外接圓的取AC,AD的中點(diǎn)圓心，點(diǎn)是EEABCABCACDE,N分別作平面和平面的交于點(diǎn)，外接圓的圓心，過點(diǎn)垂線，O在四邊形OEMN中找?guī)缀侮P(guān)系，構(gòu)造方程求解外接圓的半徑和表面積.【詳解】由條件可知ABC是等邊三角形，取AC,AD的中點(diǎn)M,N，和ABC的中心，E過點(diǎn)E,N分別作平面ABC和平面ACD的垂線，交于點(diǎn)O，EMN120，∠EON60，如圖：3EM由條件可知，EMG60OEH30，331HNEG3，EHGNGMMN3132263123OHEHtan3031，36632，3ONOHHN322543222R2OD2ON2ND2，39S4R21001639237、如圖，在體積為的四棱錐2的正方形，△PAB角PABC為銳角，PABCD外接球的半徑為（）為等邊三角形，二面則四棱錐PABCD中，底面ABCD為邊長(zhǎng)為33D．221A．B．2C．33答案：A解析：取AB的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連E、PF、EF，過點(diǎn)P作PHEF，易得AB平面PEF，PH平面ABCD，根據(jù)四棱錐的體積為233，進(jìn)而得到PEF30，，得到PH32EH，HF1，3PF1，PEPF，然后利用截面圓的性質(zhì)求得外接球的球心22再求半徑即可.詳解：如圖所示：PHEF，垂足為H.則AEBE、CFDF，有ABEP，，取AB的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連E、PF、EF，過點(diǎn)P作ABEF所以AB平面PEF，所以ABPH，又PHEF，所以PH平面ABCD，23因?yàn)樗睦忮F的體積為，3123PH4，所以333解得PH，由3，PE2311得PEF30，EH，HF，PF，.PEPF22三角形PEF的平面圖如下：PM2EM，N為EF的中點(diǎn)，由圖可知四棱錐外接球的球心O為過點(diǎn)M的EP的垂線1和EF的中垂線的交點(diǎn)，，，，NO3，32EQNQ33331設(shè)四棱錐PABCD外接球的半徑為R，EM17321.3R23故選：A8、已知三棱錐O的球面上，ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在球ABACAD，BCD是邊長(zhǎng)為的正三角形，M、N分別為、BC中點(diǎn)，且MDMN，則球O的表面2AB積為__________．3答案：ABCDMDMNAC解析：利用已知條件可知三棱錐是正三棱錐，結(jié)合可得面ABACAD1且兩兩垂直，借助于ABCABD，即可知是等腰直角三角形，可得正方體的外接球，即可求出三棱錐的外接球.詳解：ABCD為正三棱錐，取中點(diǎn)，連接F由題意知AF,CF，BD所以CFBD，AFBD，且AFCFF，所以平面ACFBD∴ACBD，又M、N分別為、BC中點(diǎn)，易知MN||AC,AB由已知MDMN，所以ACMDMDBDD，所以面，ACABDACAB所以，即ABC是等腰直角三角形，ABACAD1且兩兩垂直，因?yàn)樾边?，所以BC22則ABCD為以2RAB2AC2AD21113，A為頂點(diǎn)的正方體一部分，即4R23S4R23．所以球O的表面積為3故答案為：9、已知三棱錐PAPABC的底面是正三角形，3，點(diǎn)A在側(cè)面內(nèi)的射影是PBCHPBCPABC的垂心，當(dāng)三棱錐PABC的外接球的體積為體積最大值時(shí)，三棱錐（）9D．2936C．B．63A．2答案：DOABCOABC解析：設(shè)點(diǎn)是點(diǎn),也是外心,P在底面的射影,先分析可得是底面的垂心則PAPBPC3PA,PB,PC互相垂直時(shí)體積最大,則當(dāng),再求得外接球的體積即可【詳解】ADBC設(shè)點(diǎn)為BC的中點(diǎn),則,DA在側(cè)面PBC內(nèi)的射影是PBC的垂心,所以PABC,PCAB,因?yàn)辄c(diǎn)H設(shè)點(diǎn),則⊥平面PAD,所以O(shè)是點(diǎn)在底面ABC的射影O一定在上,ADPBC因?yàn)锳BPC,ABPO,所以COABOABC,所以是底面的垂心,也是外心,PAPBPC所以3,則當(dāng)PA,PB,PC互相垂直時(shí)體積最大,33,所以R,RPAPBPC設(shè)球的半徑為R,則2222244393322所以球的體積為VR33故選:D10、點(diǎn)A,B,C,D在同一ABBCAC上，個(gè)球的球面3，若四面體ABCD體積的最大值為3，則這個(gè)球的表面積為（）169252898A．B．C．D．161616答案：A解析：根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積.【詳解】33根據(jù)題意知，ABC是一個(gè)等邊三角形，其面積為，4322r由正弦定理知，外接圓的半徑為．r1sin3設(shè)小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積有最大值，由于底面積S不變，高最大時(shí)體積最大，ABC所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，1最大值為SDQ3，3ABCDQ4，設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角AQO中，OA2AQ2OQ2，即，R1(4R)222178R22891617S4()則這個(gè)球的表面積為：8故選：A．11、如圖，在三棱錐PABC中，平面，，，，ABCABBC若三棱錐PABC外接球的表面積為，則三棱錐PAACPAADBPPACD體積的最大值為8（）2A．3132B．C．D．244答案：A解析：詳解：設(shè)ABa，BCb，由三棱錐8外接球的表面積為，得外接球的半PABC徑2.又PA平面ABC，ABBC，所以RAB2BC2AP2AC2AP22AP22R28，所以AP2，所以ab4.22a2因?yàn)镻A平面ABC，ADPB，所以PB4a2，BDDEAB，，過D作4a22a2DEBD，所以DE4a2垂足為E，則DE平面ABC，所以DE∥PA，所以，PABP所以PADEab21S3DABC△12a24ab4abVPACDVPABCV64a234ab3222ACDa24422ab23326a，b時(shí)，“=”成立，32ab623，當(dāng)且僅當(dāng)，即3baba2所以三棱錐PACD體積的最大值為.故選A.312、已知直三棱柱ABC﹣ABC中，ABAC，ABACAA1，若點(diǎn)M在線段AA11111上運(yùn)動(dòng)，則四棱錐MBCCB外接球半徑的取值范圍為（）11252352,D．332232,,,A．B．C．28242824答案：CCB1OO2解析：首先把三棱柱體轉(zhuǎn)換為正方體，利用B、C、、在球面上，球心G在線段12232R2yRx2y2222，且上，整理出關(guān)系式，然后利用勾股定理的應(yīng)用建立二次函數(shù)的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值的應(yīng)用求出結(jié)果．詳解：將三棱柱ABCABC補(bǔ)成一個(gè)正方體ABDCABDC．1111111設(shè)四棱錐體MBCCB外接球的球心為G，AA的中點(diǎn)為O，1111DD的中點(diǎn)為1O，OO的中點(diǎn)為O，如圖所示，21223OB則1，，OO22由于B、C、C、B在球面上，所以球心G在線段OO上，112設(shè)GMGBR，OMx，OGy，112△RtOMG1則，在中，Rxy2①OGy2222232Ry在RtOBG中，②，212250x12y，由于，2x2聯(lián)立①②得4故2≤y≤52，28233255y2,，故R2x2yy2y22424432352,．28所以R故選：C．13、在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BD23，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使二面角BACD的大小為，則所得三