第九章常微分方程初值問題的數(shù)值解法

一、高階顯式單步法的構(gòu)造方法§2龍格-庫塔（Runge-Kutta）法顯式單步法的一般形式：構(gòu)造高階方法，即如何確定增量函數(shù)使得該方法的局部截斷誤差的階數(shù)盡量高。為盡可能大的整數(shù)1、Taylor級數(shù)方法設(shè)滿足初值問題：則若取的各階導(dǎo)數(shù)的計算以此類推，可以求出的各階導(dǎo)數(shù)，則有即為Euler方法2、Runge-Kutta方法基本思想：利用在某些特殊點上的函數(shù)值的線性組合來構(gòu)造Taylor級數(shù)方法中的各階導(dǎo)數(shù)項N級（階）Runge-Kutta方法的一般形式：其中N=1：Euler方法當(dāng)N>1時，適當(dāng)選取式中參數(shù)，使該方法的階數(shù)盡量高前式中參數(shù)的求解方法利用二元函數(shù)的Taylor展開公式：將每個展開，然后代入從而得到關(guān)于的方程組，解之即得。與Taylor級數(shù)法中的增量函數(shù)比較冪次相同項的系數(shù)二級方法：N=2比較關(guān)于的冪次相同項的系數(shù)，得到方程組：方程組有無窮多解：二級方法有無窮多種常見的3種二級方法：中點法（修正的Euler法）取Runge-Kutta二級方法取Heun（休恩）二級方法要求項的系數(shù)盡量相同得到方程組：三級方法：N=3類似于N=2的推導(dǎo)方法，可得到常見的2種三階方法：Kutta三階方法Heun三階方法（見教材）四級方法：N=4局部截斷誤差常見的2種四階方法：經(jīng)典Runge-Kutta方法Kutta四階方法（見教材）解：例2：用經(jīng)典的Runge-Kutta方法求解下列初值問題。經(jīng)典的四階Runge-Kutta公式：0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.7321同保留5位的精確值完全一致：0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.7321二、高階和隱式Runge-Kutta方法注：對于顯式N級R-K方法，只能得到N級方法；N

1,2,3,4

5,6,78,910,11,…NN-1N-2已經(jīng)證明N級R-K方法的階具有下列關(guān)系：若要得到N階以上方法，則使用N級隱式R-K方法N級隱式R-K方法的一般形式：N級隱式R-K法可以達(dá)到2N階三、變步長方法基本思想：根據(jù)精度自動地選擇步長對于經(jīng)典Runge-Kutta方法：Step1:設(shè)從出發(fā)，以為步長，經(jīng)過一步計算得到Step2:取為步長，再從出發(fā)，經(jīng)過兩步計算得到記如果，則將步長折半進(jìn)行計算，直到為止此時取為最終結(jié)果；如果，則將步長加倍進(jìn)行計算，直到為止此時將步長折半一次計算，得到的為最終結(jié)果。一、收斂性/*Convergence*/§3單步法的收斂性、相容性和絕對穩(wěn)定性對于初值問題的一種單步法產(chǎn)生的近似解，如果對于任一固定的，均有，則稱該單步法是收斂的。類似地可以定義隱式單步法、多步法（§4）的收斂性設(shè)初值問題（*）對應(yīng)的下列單步法是階的，且函數(shù)滿足對的Lipschitz條件，即存在常數(shù)則該單步法是收斂的，且證明：記由截斷誤差的定義因為單步法是階的：滿足其中二、相容性/*Consistency*/對于階方法：若方法（**）的增量函數(shù)滿足：則稱該方法與初值問題（*）相容。設(shè)方法（**）與初值問題（*）相容，且滿足L-條件，則該方法（**）是收斂的，即當(dāng)固定，時再由相容性得：上式說明：當(dāng)時，方法（**）趨于原微分方程本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題相容的三、絕對穩(wěn)定性/*AbsoluteStibility*/計算過程中產(chǎn)生的舍入誤差對計算結(jié)果的影響首先以Euler公式為例，來討論一下舍入誤差的傳播:設(shè)實際計算得到的點的近似函數(shù)值為，其中為精確值，為誤差如果，則誤差是不增的，故可認(rèn)為是穩(wěn)定的例如：對于初值問題精確解為而實際求解的初值問題為精確解為在處的誤差為可見誤差隨著的增加呈指數(shù)函數(shù)增長如果初值問題為精確解為實際求解的初值問題為精確解為在處的誤差為可見誤差隨著的增加呈指數(shù)函數(shù)遞減當(dāng)時，微分方程是不穩(wěn)定的；而時，微分方程是穩(wěn)定的。上面討論的穩(wěn)定性，與數(shù)值方法和方程中的有關(guān)實驗方程：對單步法應(yīng)用實驗方程，如果，當(dāng)時，則稱該單步法是絕對穩(wěn)定的，在復(fù)平面上復(fù)變量滿足的區(qū)域，稱為該單步法的絕對穩(wěn)定域，它與實軸的交集稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間。若單步法是階的，則由實驗方程可得：例3：分別求Euler法和經(jīng)典的R-K法的絕對穩(wěn)定區(qū)間。解：Euler公式：將其應(yīng)用于實驗方程絕對穩(wěn)定域：當(dāng)時，絕對穩(wěn)定區(qū)間：經(jīng)典的R-K公式：當(dāng)時，絕對穩(wěn)定區(qū)間：可以證明：