控制工程基礎(chǔ)第五章

控制工程基礎(chǔ)第五章第1頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20231本章重點根軌跡的概念、幅值條件、相角條件根軌跡的基本繪制規(guī)則等效傳遞函數(shù)的概念根軌跡的簡單應(yīng)用第2頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20232一、一個例子5.1根軌跡的基本概念一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)的變化在S平面上的分布情況。

例5-1系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：特征方程的根是：設(shè)的變化范圍是〔0,∞﹚解第3頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20233當(dāng)時,

當(dāng)時,與為不相等的兩個負(fù)實根；當(dāng)時，為等實根；該系統(tǒng)特征方程的根，隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)k從0變到∞時，在S平面上變化的軌跡如圖所示。當(dāng)時，共軛復(fù)根。性能第4頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20234

二、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性

當(dāng)增益K1由0→∞，根軌跡不會越過虛軸進入s平面右半邊，因此系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)特征方程的根都位于s平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根軌跡穿越虛軸進入右半s平面,根軌跡與虛軸交點處的K值，就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。穩(wěn)態(tài)性能

開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點有一個極點，所以屬Ⅰ型系統(tǒng),因而根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖確定閉極點位置的允許范圍。動態(tài)性能

當(dāng)時,所有閉環(huán)極點均位于實軸上,系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升的非周期過程。當(dāng)時，特征方程的兩個相等負(fù)實根，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為響應(yīng)速度最快的非周期過程。當(dāng)時，特征方程為一對共軛復(fù)根系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調(diào)量隨值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時間不會有顯著變化。第5頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20235設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

為根軌跡增益(或根軌跡的放大系數(shù))三、根軌跡的概念其中:

可得到系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為:即：開環(huán)的零點開環(huán)的極點第6頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20236

根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點）隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由0變化到∞時在S平面上留下的軌跡。由此可得到滿足系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的幅值條件和相角條件為：幅值條件:

相角條件:

第7頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20237

我們可以把系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的根描述成:凡是滿足幅值條件和相角條件的s值稱為特征方程的根——即閉環(huán)極點。注：因為變化，因此不論什么s值,總有一個存在,使幅值條件得到滿足,所以,實際上只要滿足相角條件的s值就是閉環(huán)極點,而由此s值,再由幅值條件可確定此時系統(tǒng)對應(yīng)的值。第8頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20238規(guī)則一根軌跡的起點此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同(重合)，把開環(huán)極點稱為根軌跡的起點。5.2根軌跡的繪制規(guī)則當(dāng),必有由根軌跡的幅值條件可知：通常，我們稱以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡為普通根軌跡（或180°根軌跡），簡稱根軌跡。第9頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/20239規(guī)則二根軌跡的終點由根軌跡的幅值條件可知：結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。

當(dāng)時，必有此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)零點相同（重合），我們把開環(huán)零點稱為根軌跡的終點。如果開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m,則有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處(無限零點)，如果開環(huán)零點數(shù)m大于開環(huán)極點數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠(yuǎn)處。第10頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202310規(guī)則三根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性

根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）在s平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。

由例5-1

看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益（實變量）與復(fù)變量s有一一對應(yīng)的關(guān)系。

當(dāng)由0到∞連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此,根軌跡是n條連續(xù)的曲線。由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù),如果它的特征方程有復(fù)數(shù)根的一定是對稱于實軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對稱于實軸的。結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。第11頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202311規(guī)則四實軸上的根軌跡

實軸上的根軌跡由相角條件可證:設(shè)某段右側(cè)的零,極點數(shù)分別為：則:

即右側(cè)開環(huán)零,極點數(shù)的和為奇數(shù)時,該段為根軌跡。第12頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202312規(guī)則五漸近線

當(dāng)開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時,系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此漸近線也有n-m條,且它們交于實軸上的一點。漸近線與實軸的交點位置和與實軸正方向的交角分別為:

第13頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202313（1）根軌跡漸近線的傾角根據(jù)幅角條件：當(dāng)時，零點、極點與矢量復(fù)角可近似看成相等

得到所以漸近線的傾角：

因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個不同的傾角即可。第14頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202314（2）漸近線與實軸的交點幅值條件：

當(dāng)，則對應(yīng)于，此時，上式可寫成：

上式左邊展開：

上式右邊展開

比較對應(yīng)s冪項系數(shù)相等，求得：

所以漸近線相交于同一點

第15頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202315已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。例5-21漸近線：系統(tǒng)有n=4,m=1,n-m=3

三條漸近線與實軸交點位置為：解實軸正方向的交角分別是漸近線如圖所示。

-4

-3

-2

-10BCA第16頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202316第17頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202317規(guī)則六根軌跡的分離點、會（匯）合點

根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即在分離點和會合點處必有閉環(huán)特征重根,令閉環(huán)特征方程為:如果令

即可求得第18頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202318故在重根處有:因為：所以：即：分離點/會合點:和以上分析沒有考慮(且為實數(shù))的約束條件，所以只有滿足的這些解，才是真正的分離點（或會合點）。第19頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202319事實上，分離點還可由下式確定

因為

即其中即所以-第20頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202320一般來說:如果根軌跡位于實軸上兩相鄰的開環(huán)極點(零點)之間；則出現(xiàn)分離點(會合點)。如果根軌跡位于實軸上一個開環(huán)極點與一個開環(huán)零點之間，則或者既不存在分離點，也不存在會合點，或者既存在分離點，又存在會合點。四重分離點 復(fù)數(shù)分離點第21頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202321的單位負(fù)反饋系統(tǒng)的(180°)根軌跡。繪制開環(huán)系統(tǒng)傳函數(shù)為例5-31）此系統(tǒng)無開環(huán)零點，有三個開環(huán)極點，分別為：2）漸近線：根據(jù)規(guī)則可知，系統(tǒng)根軌跡有三條分支，當(dāng)分別從開環(huán)極點出發(fā)，時趨向無窮遠(yuǎn)處，其漸近線夾角為：解漸近線與實軸的交點為第22頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202322由上式可求上式的根為求分離點：分離點必位于0至-1之間的線段上，故為分離點d的坐標(biāo)。第23頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202323第24頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202324規(guī)則七、根軌跡的出射角和入射角由相角條件可直接得到出射角:入射角：第25頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202325規(guī)則八根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實部為零）。

(1)用代入特征方程可得令此方程中虛部為零，即可求得根軌跡與虛軸的交點處的頻率為。用代入實部方程，即可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡臨界值。(2)利用勞斯表求取。將勞斯表中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。若根軌跡與虛軸的交點多于兩個，則應(yīng)取勞斯表中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。第26頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202326規(guī)則九、根軌跡的走向

當(dāng)n-m≥2滿足時，隨著Kg增加，一些根軌跡分支向左方移動，則另一些根軌跡分支將向右方移動。開環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程：

當(dāng)滿足n-m≥2時，上式sn-1項將沒有同次項可以合并，通常把稱為極點的“重心”。第27頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202327當(dāng)Kg變化時，極點的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當(dāng)一部分根軌跡隨著的增加向左方移動時，另一部分根軌跡將向右方移動。例第28頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202328規(guī)則十、根軌跡上kg值的計算根軌跡上任一點S1處的kg可由幅值條件來確定。即

=

第29頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202329繪制根軌跡圖的法則序號內(nèi)容規(guī)則1起點終點起始于開環(huán)極點（含無限極點），終止于開環(huán)零點（含無限零點）。2分支數(shù)、對稱性、連續(xù)性分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù)n（nm），或開環(huán)傳遞函數(shù)的零點數(shù)m（m>n）。對稱于實軸且具有連續(xù)性。3漸近線n–

m條漸近線相交于實軸上的同一點：坐標(biāo)為：傾角為：4實軸上的分布實軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點數(shù)之和必為奇數(shù)第30頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202330序號內(nèi)容規(guī)則

5分離（會回合）點實軸上的分離（會合）點——（必要條件）6出射角入射角復(fù)極點處的出射角：復(fù)零點處的入射角：7虛軸交點（1）滿足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得（及kg相應(yīng)的值）；8走向當(dāng)時，一些軌跡向右，則另一些將向左。9kg計算根軌跡上任一點處的kg：第31頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202331系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡圖解：開環(huán)極點：0、-3、-1+j、-1-j

開環(huán)零點：-2，3個無限零點(1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-1=3條漸近線，漸近線的傾角：漸近線與實軸的交點：

(2)實軸上的根軌跡：[0-2]，[-∞-3]例5-4第32頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202332(3)極點-p3的出射角：不難求得極點-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分別、、,有限零點-z1到－p3的幅角為所以同理不難求得極點-p4處的出射角：(4)根軌跡與虛軸的交點：方法一：由特征方程求：特征方程：第33頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202333實部方程： 虛部方程：解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行為零，即得Kg=7，再根據(jù)行s2得輔助方程：

(舍去)第34頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202334[S]0jωσ-3-2-2-1+j-1-j第35頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202335第36頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202336例5-5,繪制以T為參數(shù)的根軌跡。設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：5.3廣義根軌跡前面介紹的根軌跡繪制法則,只適用于以放大系數(shù)為參量的情況,如果變化參數(shù)為其它參數(shù)情況將如何處理？解根據(jù)根軌跡的定義,根軌跡是閉環(huán)極點隨某個參量變化在s平面上留下的軌跡,故根軌跡上的點滿足閉環(huán)特征方程：第37頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202337是一樣的,我們將具有相同閉環(huán)特征方程的開環(huán)傳遞函數(shù)稱為相互等效的開環(huán)傳遞函數(shù)（簡稱為等效傳遞函數(shù)）。具有相同的閉環(huán)特征方程,則隨T從變化,其根軌跡總有一種等效開環(huán)傳遞函數(shù),可將變化參數(shù)位于放大系數(shù)的位置.這時就可利用前面的規(guī)則了。第38頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202338解(4)為使系統(tǒng)對速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零,加怎樣的環(huán)節(jié)可使系統(tǒng)穩(wěn)定。繪制的根軌跡，確定:例5-6(3)在該系統(tǒng)中增加一個怎樣的環(huán)節(jié),可使系統(tǒng)不論怎樣變化都穩(wěn)定。為何值系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定,振蕩穩(wěn)定,不穩(wěn)定?(2)求使系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點具有阻尼比,確定。(1)①分離點:②漸近線:第39頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202339③與虛軸交點:④分離點處的值由此可見:振蕩穩(wěn)定無振蕩穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定(2)在時,極點為:代入閉環(huán)特征方程:解得:s=-0.45+j0.45,第40頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202340

(一般a>0,d>0為好,是最小相位系統(tǒng))(4)如果使系統(tǒng)速度輸入誤差為零,則系統(tǒng)應(yīng)是II型的,那么從開環(huán)零,極點分布圖上可見:應(yīng)該附加兩個零點,系統(tǒng)才可能完全穩(wěn)定下來。漸近線:(3)增加一零點(s+a)有可能使系統(tǒng)完全穩(wěn)定,此時漸近線:否則,在時,根軌跡有可能與縱軸相交。第41頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202341解開環(huán)傳遞函數(shù)為：

繪制根軌跡,并證明有一段根軌跡為圓（a,p為實數(shù))。例5-7根據(jù)相角條件可知：令兩邊取正切變換：圓心，半徑第42頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202342下面驗證半徑是零點到分離點或匯合點的距離：分離點：由，得第43頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/2023435.4零度根軌跡如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的放大系數(shù)為負(fù),的相角條件,此根軌跡稱為根軌跡。前面討論的根軌跡均是滿足設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：其閉環(huán)特征方程為:對應(yīng)的即是零度根軌跡。相角條件為:

第44頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202344

在繪制根軌跡時，只需在根軌跡的畫法規(guī)則中，與相角條件有關(guān)的規(guī)則作相應(yīng)的修改。規(guī)則三實軸上的根軌跡

實軸上，若某線段右側(cè)的開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則此線段為根軌跡的一部分。規(guī)則四漸近線漸近線與實軸的交點位置和與實軸正方向的交角分別為：第45頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202345規(guī)則六、根軌跡的出射角和入射角入射角：由相角條件可直接得到:出射角:第46頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202346

由修改后的規(guī)則三知，實軸上的根軌跡是由0至+∞線段和由-1至-2線段。由修改后的規(guī)則四知，漸近線與實軸正方向的夾角分別是:0°(k=0)、120°(k=1)、-120°(k=2)。漸近線與實軸的交點為-1。已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

例5-8解第47頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/202347

由規(guī)則五求出的極值方程的解有兩個，即，，由于是正反饋，實軸上的根軌跡改變了。因為不在實軸根軌跡上，舍去。可見，雖然規(guī)則五沒改變，但在確定分離點時應(yīng)考慮規(guī)則三變化。

s[s]wj1)0(PKr=￥?rK0°120°-120-1￥?rK￥?rK3)0(PKr=)0(2=rKP-22a根軌跡如圖所示。可看出，有一條從起點到終點全部位于S平面右半部的根軌跡，這意味著無論Kr為何值，系統(tǒng)都存在S平面右半部的閉環(huán)極點，表明系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。第48頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五4/9/2023485.5系統(tǒng)性能分析

一、閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念

在工程實際中，常常用主導(dǎo)極點的概念對系統(tǒng)進行分析，這樣可使系統(tǒng)分析簡化。下面研究閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。

閉環(huán)主導(dǎo)極點指的是閉環(huán)極點中離虛軸最近，而附近有無其它閉環(huán)零、極點或閉環(huán)偶極子的實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)極點。閉環(huán)偶極子