不定積分解題方法及技巧總結(jié)

不定積分解題方法及技巧

總結(jié)

j不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分重要。然而在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測(cè)，但并不是毫無(wú)解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。.利用基本公式。(這就不多說(shuō)了~).第一類(lèi)換元法。(湊微分)設(shè)f(M)具有原函數(shù)F(m)。則其中甲(x)可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2：例1」吟中公【解】(ln(【解】(ln(x+1)-lnx)'=ln(x+1)-Inx 1J dx=-J(ln(x+1)-Inx)d(ln(x+1)-Inx)=-一(ln(x+1)-Inx)2+Cx(x+1) 2例2:j1+1nxdx(xlnx)2【解】(xlnx)'=1+lnx.第二類(lèi)換元法：設(shè)x=甲(t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且R(t)豐0.又設(shè)f即(t)W(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

第二類(lèi)換元法主要是針對(duì)多種形式的無(wú)理根式。常見(jiàn)的變換形式需要熟記會(huì)用。主要有以下幾種：（7）當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)一般用t代去根號(hào)。但當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)高次冪時(shí)可能保留根號(hào),（7）當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)一般用t代去根號(hào)。但當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)高次冪時(shí)可能保留根號(hào),.分部積分法.分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取小v時(shí)，通?；谝韵聝牲c(diǎn)考慮：（1）降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)（2）簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類(lèi)型舉兩個(gè)例子吧?！「x3?arccosxJ , —dx11—x2【解】【解】觀察被積函數(shù)，選取變換t=arccosx，則【解】【解】Jarcsin2xdxJarcsin2xdx=xsin2x-Jx2arcsinx 〔dx1—x2上面的例3，降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4，簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類(lèi)型。有時(shí)，分部積分會(huì)產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在Jmv="」Mv中，小v的選取有下面簡(jiǎn)單的規(guī)律:將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：(Inarcsinx)Pm(x)(Inarcsinx)Pm(x)(aAxsinx) ?v但是，當(dāng)N=lnx,v=arcsinx時(shí)，是無(wú)法求解的。對(duì)于（3）情況，有兩個(gè)通用公式：（分部積分法用處多多?在本冊(cè)雜志的《涉及l(fā)nx的不定積分》中，?？梢钥吹椒植糠e分）5不定積分中三角函數(shù)的處理.分子分母上下同時(shí)加、減、乘、除某三角函數(shù)。被積函數(shù)J 1 dx上下同乘sinx變形為sin2x+cos2x令u=cosx，則為.只有三角函數(shù)時(shí)盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意sin2x+cos2x=1的使用。三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡(jiǎn)單可能題目會(huì)越難，適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得清晰。.函數(shù)的降次①形如Jsinmxcosnxdx的積分（m，n為非負(fù)整數(shù)）當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可令u=cosx，于是Jsinmxcosnxdx=-Jsinm-1xcosnxdcosx=-J（一U2^1Undu，轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可令u=sinx，于是，Jsinmxcosnxdx=Jsinmxcosn-1xdsinx=JUm(-U2，同樣轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分。當(dāng)m，n均為偶數(shù)時(shí)，可反復(fù)利用下列三角公式:不斷降低被積函數(shù)的冪次，直至化為前兩種情形之一為止

②形如Jtannxdx和Jcotnxdx的積分(n為正整數(shù))du令u=tanxdx，貝［Jx=arctanu,dx= ，從而1+U2已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。類(lèi)似地，Jcotnxdx可通過(guò)代換u=cotx轉(zhuǎn)為成有理函數(shù)的積分。③形如Jsecnxdx和③形如Jsecnxdx和』cscmxdx的積分(n為正整數(shù))du當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若令u=tanx，則x=arctanu,dx= ，于是1+u2已轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式的積分。類(lèi)似地，Jcscnxdx可通過(guò)代換u=cotx轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，利用分部積分法來(lái)求即可。.當(dāng)有x與三角函數(shù)相乘或除時(shí)一般使用分部積分法。.幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分。(1)有理函數(shù)的積分P(x) P*(x) P*(x)有理函數(shù)P(X-先化為多項(xiàng)式和真分式PU?之和，再把PU蘭分解為若干

Q(x) Q(x) Q(x)個(gè)部分分式之和。(對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)I=J/d 時(shí)，記得用遞推公式：n (a2+x2)nx x 2n-3I= + 1)n2a2(n-1)(x2+a2)n-12a2(n-1)nt.有理真分式化為部分分式之和求解①簡(jiǎn)單的有理真分式的拆分②注意分子和分母在形式上的聯(lián)系此類(lèi)題目一般還有另外一種題型：.注意分母(分子)有理化的使用dxv;2dxv;2x+3+v2x-1_J弋2x+3-12x-1+3)--Gx+3)+C

2 12 2x6+x4-4x2-2,例5：1 dxx3(x2+1)2【解】x3【解】x3(x2+1)2x3(x2+1)2 x3(x2+1)2 x2+1 x3(x2+1)2故不定積分求得。(2)三角函數(shù)有理式的積分sinx=sinx=萬(wàn)能公式：＜cosx=2tan—2r x1+tan2-2x1-tan2—2x1+tan2—21’(sinx,c0sx)dx可用變換?_tanx化為有理函數(shù)的積分，但由于計(jì)算較Q(sinx,cosx) 2煩，應(yīng)盡量避免。對(duì)于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成少或空。再用待定系數(shù)cosxsinxA(aA(acosx+bsinx)+B(acos'x+bsin'x)acosx+bsinx來(lái)做。(注：沒(méi)舉例題并不代表不重要(3)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分一般用第二類(lèi)換元法中的那些變換形式。像一些簡(jiǎn)單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時(shí)出現(xiàn)jx和4心時(shí)，可令x_tan21；同時(shí)出現(xiàn)、；—和、,匚—時(shí)，可令x_sin21；同時(shí)出現(xiàn)G-x2和arcsinx時(shí)，可令x=sint；同時(shí)出現(xiàn)%：1—x2和arccosx時(shí)，可令x=cost等等。

（4（4）善于利用ex因?yàn)槠淝髮?dǎo)后不變。這道題目中首先會(huì)注意到xex，因?yàn)槠湫问奖容^復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為ex+xex與分母差ex，另外因?yàn)閑x求導(dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同乘以ex。（5）某些題正的不行倒著來(lái)這道題換元的思路比較奇特，一般我們會(huì)直接使用u=sinx，然而這樣的換元方法是解不出本題的。我概括此類(lèi)題的方法為“正的不行倒著來(lái)”，當(dāng)u=sinx這類(lèi)一般的換元法行不通時(shí)嘗試下1=sinx。這種思路類(lèi)似于證u明題中的反證法。（6）注意復(fù)雜部分求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)注意到：J（t+2）dt=J1—6t2et—2t3etdt_Jt-2t3etdt-3J卜2t知）tj-2t2et t-2t3et t-2t3et 11-2t2et1=Int-2t3et/-t-3l4t+c=lnlnx-2（nx）einx-lnx-3InInx+c本題把被積函數(shù)拆為三部分：yjy2，y3，y1的分子為分母的導(dǎo)數(shù)，y2的值為1，y3的分子為分母因式分解后的一部分。此類(lèi)題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競(jìng)賽中出現(xiàn)。（7）對(duì)于JR（x,I：ax2+bx+c）dx（a豐0）型積分，考慮A=b2-4ac的符號(hào)來(lái)確定取不同的變換。如果A>0，設(shè)方程ax2+b