精選浙江數(shù)學(xué)競賽(微積分)試題

浙江數(shù)學(xué)競賽(微積分)試題浙江省首屆高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競賽試題(2023.12.7)一、計(jì)算題〔每題5分，共30分〕1.求極限.2.求積分.3.設(shè)是方程的一個解，求常數(shù).4.設(shè)連續(xù)，且當(dāng)時，，求.5.設(shè)，求.6.求積分.二、〔總分值15分〕求平面含在橢圓柱體內(nèi)的面積.三、〔總分值20分〕證明：.四、〔總分值20分〕設(shè)二元函數(shù)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且.證明：單位圓周上至少存在兩點(diǎn)滿足方程.五、〔總分值15分〕〔非數(shù)學(xué)類做〕設(shè)為滿足的兩個實(shí)數(shù)列，，且收斂.證明：也收斂.六、〔總分值15分〕〔數(shù)學(xué)類做〕設(shè)，，，，求的收斂半徑、收斂域及和函數(shù).2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競賽試題〔工科類〕一、計(jì)算題〔每題15分，總分值60分〕1、求。2、設(shè)，求。3、求。4、求。二、〔總分值20分〕求滿足以下性質(zhì)的曲線：設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，那么由曲線，，所圍成區(qū)域的面積與曲線，和所圍成區(qū)域的面積相等。三、〔總分值20分〕求，其中：的上半平面內(nèi)局部，從點(diǎn)到。四、〔總分值20分〕證明：五、〔總分值15分〕設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。證明：存在內(nèi)兩個數(shù)，使。六、〔總分值15分〕從正方形四個頂點(diǎn)，，，開始構(gòu)造，，…，使得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，…，這樣，我們得到點(diǎn)列收斂于正方形內(nèi)一點(diǎn)，試求的從標(biāo)。2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競賽試題一、計(jì)算題〔每題12分，總分值60分〕1、求極限。2、計(jì)算不定積分。3、設(shè)，求。4、設(shè)二階可導(dǎo)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，求。5、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，，求。二、〔總分值20分〕極限，求常數(shù)的值。三、〔總分值20分〕設(shè)為由拋物面與平面圍成的立體，其邊界的平面局部為，曲面局部為，為上的一個點(diǎn)。〔1〕求以為頂點(diǎn)，為底面的錐體體積；〔2〕求，使到達(dá)最大值。四、〔總分值20分〕設(shè)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，，曲面為被所截的下面局部，內(nèi)側(cè)，為的正向邊界，求：。五、〔總分值15分〕設(shè)，其中，〔1〕證明：在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；〔2〕問為何值時，級數(shù)收斂？發(fā)散？六、〔總分值15分〕設(shè)在上可導(dǎo)，且，，證明：。2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競賽試題〔工科類〕一、計(jì)算題〔每題14分，總分值70分〕1、求極限。2、計(jì)算。3、設(shè)為銳角三角形，求的最大值和最小值。4、分段光滑的簡單閉曲線〔約當(dāng)曲線〕落在平面：上，設(shè)在上圍成的面積為，求。5、設(shè)連續(xù)，滿足，求的值。二、〔總分值20分〕定義數(shù)列如下：，，，求。三、〔總分值20分〕設(shè)有圓盤隨著時間的變化，圓盤中心沿曲線：，，〔〕向空間移動，且圓盤面的法向與的切向一致。假設(shè)圓盤半徑隨時間改變，有，求在時間內(nèi)圓盤所掃過的空間體積。四、〔總分值20分〕證明：當(dāng)，。五、〔總分值20分〕證明：，。2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競賽試題〔工科類〕一、計(jì)算題〔每題14分，總分值70分〕1、求極限。2、求。3、計(jì)算，其中表示不大于的最大整數(shù)。4、計(jì)算。5、設(shè)球面上曲線在平面上的投影曲線為：，且的密度與該點(diǎn)到軸的距離成正比，比例常數(shù)為，求的質(zhì)量。二、〔總分值20分〕設(shè)，求方程組的解。三、〔總分值20分〕有三塊相同的密度均勻的正方形磚塊〔邊長為16cm，厚度為1cm〕，兩側(cè)對齊疊放于一臺面上〔如圖〕，從一側(cè)伸出臺面，問如何疊放在確保所有磚塊不落下的前提下使磚塊伸出臺面總長度最大？并求此最大值。四、〔總