四年級(jí)奧數(shù)講義151學(xué)子教案庫(kù)8.第三講巧求周長(zhǎng)與面積

第三講知識(shí)點(diǎn)撥一、基本概念①周長(zhǎng)：封閉圖形一周的長(zhǎng)度就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)．②面積：物體的表面或封閉圖形的大小，叫做它們的面積．二、基本公式①長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)2(長(zhǎng)寬)，面積長(zhǎng)寬．②正方形的周長(zhǎng)4邊長(zhǎng)，正方形的面積邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)．三、常用方法對(duì)于基本的長(zhǎng)方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長(zhǎng)和面積，對(duì)于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法割補(bǔ)成基本圖形，利用長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)及面積計(jì)算的公式求解．1、轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法在轉(zhuǎn)化過(guò)程中要抓住“變”與“不變”兩個(gè)部分．轉(zhuǎn)化后的圖形雖然形狀變了，但其周長(zhǎng)和面積不應(yīng)該改變，所以在求解過(guò)程中不能遺漏掉某些線段的長(zhǎng)度或某部分圖形的面積．轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為周長(zhǎng)或面積可求的圖形．2、化歸思想尋求正確有效的解題思路，意味著尋找一條擺脫困境、繞過(guò)障礙的途徑．因此，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思考的著重點(diǎn)就是要把所需解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問(wèn)題．也就是說(shuō)，在直接求解不容易或很難找到解題途徑的問(wèn)題時(shí)，我們往往轉(zhuǎn)化問(wèn)題的形式，從側(cè)5、旋轉(zhuǎn)在平面圖形的割補(bǔ)中，有時(shí)要將一個(gè)圖形繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到一個(gè)新的位置，產(chǎn)生一種新的圖形結(jié)構(gòu)，圖形在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中形狀大小不發(fā)生改變．利用這種新的圖形結(jié)構(gòu)可以幫我們解決面積的計(jì)算問(wèn)題．6、對(duì)稱平面圖形中有許多簡(jiǎn)單漂亮的圖形都是軸對(duì)稱圖形．軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸折疊，軸兩側(cè)可以完全重合．也就是說(shuō)，如果一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，那么對(duì)稱軸平分這個(gè)圖形的面積．熟悉軸對(duì)稱圖形這個(gè)性質(zhì)，對(duì)面積計(jì)算會(huì)有很大幫助．7、代換在幾何計(jì)算中，對(duì)有關(guān)數(shù)量進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q也是解決問(wèn)題的已知技巧．本講主要通過(guò)求一些不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)，體會(huì)一種轉(zhuǎn)化思想，重點(diǎn)在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、差不變?cè)?，通過(guò)這些方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體例題精講1如圖所示，一個(gè)大長(zhǎng)方形被三條線段分成了四個(gè)小長(zhǎng)方形，各條線段長(zhǎng)度見圖(單位：厘米)．求：圖中所有長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和．例題1243122如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，被分割成如下12個(gè)小長(zhǎng)方形，求這12個(gè)小長(zhǎng)方形的所有周長(zhǎng)之和．例題23下圖表示一塊地，四周都用籬笆圍起來(lái)，轉(zhuǎn)彎處都是直角．已知西邊籬笆長(zhǎng)17米，南邊籬笆長(zhǎng)23米．四周籬笆長(zhǎng)多少米？例題3北西17東23南【鞏固】下圖是一個(gè)鋸齒狀的零件，每一個(gè)鋸齒的兩條線段都長(zhǎng)2厘米，求這個(gè)零件的周長(zhǎng)．【鞏固】下圖中標(biāo)出的數(shù)表示每邊長(zhǎng)，單位是厘米．它的周長(zhǎng)是多少厘米？【鞏固】如下圖是某校的平面圖，已知線段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．楊老師每天早晨繞學(xué)校跑3圈，問(wèn)每天跑多少米？6一個(gè)周長(zhǎng)是20厘米的正方形，剪下一個(gè)周長(zhǎng)是6厘米的正方形，剩下的圖形的周長(zhǎng)是．(寫出所有可能的結(jié)果)例題6【鞏固】右圖是由七個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的相同長(zhǎng)方形經(jīng)過(guò)豎放、橫放而成的圖形．求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)？【鞏固】求下圖的周長(zhǎng)【鞏固】(第七屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽)下面兩張圖中，周長(zhǎng)較大的是．(在橫線上填寫表示圖名的字母)5如圖是一個(gè)機(jī)器零件的側(cè)面圖，圖中每一條最短線段長(zhǎng)5厘米，這個(gè)零件高30例題5厘米，求這個(gè)零件側(cè)面的周長(zhǎng)是多少厘米？6下圖是一面磚墻的平面圖，每塊磚長(zhǎng)20厘米，高8厘米，像圖中那樣一層、二層…例題6一共擺十層，求擺好后這十層磚墻的周長(zhǎng)是多少？【鞏固】把長(zhǎng)2厘米、寬1厘米的長(zhǎng)方形磚塊擺成如圖的形狀，求該圖形的周長(zhǎng)？7右圖是由16個(gè)同樣大小的正方形組成的，如果這個(gè)圖形的面積是400平方厘米，例題7那么它的周長(zhǎng)是多少厘米？【鞏固】圖中是由周長(zhǎng)都是20厘米的小正方形組成的，它的周長(zhǎng)是多少厘米？8圖⑴、圖⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且圖⑴的周長(zhǎng)是22厘米，那么圖例題8⑵的周長(zhǎng)是多少厘米？(1)(2)9邊長(zhǎng)是15厘米的3個(gè)正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？例題94分米的長(zhǎng)方形紙板與兩塊邊長(zhǎng)4分米的正方形紙板拼成一個(gè)正方形．拼成的841011兩個(gè)大小相同的正方形拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比原來(lái)的兩個(gè)正方形周例題10長(zhǎng)的和減少了6厘米，原來(lái)一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？(2007年”希望杯”第一試)右圖中的陰影部分BCGF是正方形，線段FH長(zhǎng)18厘例題11米，線段長(zhǎng)24厘米，則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是厘米．ACADHEEFGHCDAB12如右圖所示，在一個(gè)正方形內(nèi)畫中、小兩個(gè)正方形，使三個(gè)正方形具有公共頂點(diǎn)，L例題12這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲，和形區(qū)域乙和丙．甲的周長(zhǎng)為4厘米，乙的邊長(zhǎng)是甲的周長(zhǎng)的1.5倍，丙的周長(zhǎng)是乙的周長(zhǎng)的1.5倍，那么丙的周長(zhǎng)為多少厘米？EF長(zhǎng)多少厘米？DC丙EFI甲AGHB13用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是2厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個(gè)大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是244厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？例題13【鞏固】用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是2厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個(gè)大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是236厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？14有9個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的長(zhǎng)和寬分別相等，用這9個(gè)小長(zhǎng)方形拼成的大長(zhǎng)方形(如例題14圖)的面積是45平方厘米，求這個(gè)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．【鞏固】右圖的長(zhǎng)方形被分割成5個(gè)正方形，已知原長(zhǎng)方形的面積為120平方厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬．15馮大叔給兒子做玩具用、乙的兩種圖8個(gè)一樣大的小長(zhǎng)方形拼圖，拼出了如圖甲例題15案：圖案甲是一個(gè)正方形，圖案乙是一個(gè)大的長(zhǎng)方形；圖案甲的中間留下了邊長(zhǎng)是2cm的正方形小洞．求小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬？甲乙16用同樣的長(zhǎng)方形條磚，在一個(gè)盆的周圍砌成一個(gè)正方形邊框，如右圖所示．已知例題16外面大正方形的周長(zhǎng)是264厘米，里面小正方形的面積是900平方厘米，每塊長(zhǎng)方形條磚的長(zhǎng)是_________厘米，寬是______厘米．17(第二屆希望杯復(fù)試)將若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形(即單位六邊形)拼接起來(lái)，得到一個(gè)拼接圖形，如圖：例題17周長(zhǎng)=14周長(zhǎng)=6周長(zhǎng)=10周長(zhǎng)=12那么，要拼接成周長(zhǎng)等于18的拼接圖形，需要多少個(gè)單位六邊形？畫出對(duì)應(yīng)的一種圖形．模塊二、巧求面積18有10張長(zhǎng)3厘米，寬2厘米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上，那么例題18這10張紙片所蓋住的桌面的面積是多少平方厘米？19下圖(單位：厘米)是兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積.例題1920－5588202020如圖，李大伯給一塊長(zhǎng)方形田地噴藥，噴藥器所能噴灑的范圍是以李大伯的落腳例題20點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)2米的正方形區(qū)域，他從圖中的點(diǎn)出發(fā)，沿最短路線(圖中虛A線)走，走過(guò)88米到達(dá)點(diǎn)，恰好把這塊田地全部噴完，這塊田地的面積是多少B平方米？1米1米AB21(第六屆”走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青少年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽例題21初賽)右圖中甲的面積比乙的面積大__________平方厘米．6厘米甲4厘米乙8厘米224ABF右圖中，矩形ABCD的邊AB為厘米，BC為6厘米，三角形比三角形EDF例題22的面積大9平方厘米，求的長(zhǎng)．EDEDFABC23如圖，ABCD是74的長(zhǎng)方形，DEFG是102的長(zhǎng)方形，求BCO與EFO的面例題23積差．ABABCOECOEFDGDGF24有一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，如果把寬改成50米，長(zhǎng)不變，那么它的面積減少680平方米，如果使寬為60米，長(zhǎng)不變，那么它的面積比原來(lái)增加2720平方米，原來(lái)的長(zhǎng)和寬各是多少米？例題245060680平方米2720平方米【鞏固】有一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬減少2米，或長(zhǎng)減少3米，則面積均減少24平方米，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積？3225如圖長(zhǎng)方形被分成兩部分，已知陰影面積比空白部分面積大34平方厘米，求陰影例題25部分的面積．10cm18cm26一張長(zhǎng)方形紙片，把它的右上角往下折疊(如圖甲)，陰影部分面積占原紙片面積例題262的；再把左下角往上折疊(如圖乙)，乙圖中陰影部分面積占原紙片面積的____7________(答案用分?jǐn)?shù)表示)．甲乙【鞏固】折疊后，原平行四邊形面積是折疊后圖形面積的1.5倍．已知陰影部分面積之和為1，則重疊部分(即空白部分)的面積是多少？【鞏固】如圖，一張長(zhǎng)方形紙片，長(zhǎng)7厘米，寬5厘米．把它的右上角往下折疊，再把左下角往上折疊，未蓋住的陰影部分的面積是多少平方厘米？7527如圖所示，直角三角形中有一個(gè)長(zhǎng)方形，求長(zhǎng)方形的面積？例題276A444FBCD6628已知圖中大正方形的面積是22平方厘米，小正方形面積是多少平方厘米？例題28【鞏固】如圖所示，外側(cè)大正方形的邊長(zhǎng)是10cm，在里面畫兩條對(duì)角線、一個(gè)圓、兩個(gè)正方形，陰影的總面積為26cm2，最小的正方形的邊長(zhǎng)為多少厘米？ACBD29有一個(gè)邊長(zhǎng)為16厘米的正方形，連接每邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)正方形，再連接每邊例題29的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)正方形，第四個(gè)正方形．求圖中陰影部分的面積？30(2008年全國(guó)小學(xué)生”我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖，邊長(zhǎng)為10的正方形中有例題30一等寬的十字，其面積(陰影部分)為36，則十字中央的小正方形面積為．第2題31下圖大小兩個(gè)正方形有一部分重合，兩塊沒有重合的陰影部分面積相差是多少？例題31(單位：厘米)66332甲、乙、丙三個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是6、8、10厘米，乙的一個(gè)頂點(diǎn)在甲的例題32中心上，丙的一個(gè)頂點(diǎn)在乙的中心上．這三個(gè)正方形的覆蓋面積是多少平方厘米？66甲甲乙乙88丙丙1010【鞏固】將20張邊長(zhǎng)為10厘米的正方形紙片，按順序一張一張地?cái)[放在地板上，擺的時(shí)候，要求后擺的紙(右圖表示已片必須有一個(gè)頂點(diǎn)與前一張的中心重合，且每一張只與其前一張和后一張有重合部分經(jīng)擺好的5張)．地板被這20張紙片所覆蓋部分的面積是多少？33有2個(gè)大小不同的正方形和．如下左圖所示的那樣，在將正方形的對(duì)角線BAB例題33的1交點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)相重疊時(shí)，相重疊部分的面積為正方形面積的AA．求A與B的邊長(zhǎng)之比．如果當(dāng)按下右圖那樣，將A和B反向重疊的話，所重9疊部分的面積是的幾分之幾？BBBAAAB34用四個(gè)相同的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)面積為100cm2的大正方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多例題34少平方厘米？【鞏固】如圖所示，4個(gè)相同的長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大的正方形，大正方形的面積是100平方分米，小正方形的面積是36平方分米，求一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積及周長(zhǎng)．35四個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形拼成右圖，大正方形的面積是l00平方分米，小正方形的面積是l6平方分米，求每個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？長(zhǎng)方形的短邊是多少分米？例題35【鞏固】(2008年”陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)如圖，4個(gè)相同的長(zhǎng)方形和1個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，已知其中小正方形的面積為4平方厘米，大正方形的面積為400平方厘米，則其中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，寬厘米．第19題36用兩塊長(zhǎng)方形紙片和一塊正方形紙片拼成一個(gè)大正方形，長(zhǎng)方形紙片面積分別為例題3644平方厘米與28平方厘米，原正方形紙片面積是多少平方厘米？37一塊正方形的苗圃(如右圖實(shí)線所示)，若將它的邊長(zhǎng)各增加30米(如圖虛線所示)，則面積增加9900平方米，問(wèn)原來(lái)這塊正方形苗圃的面積是多少平方米？例題3738從一塊正方形的玻璃板上鋸下寬為0.5米的一個(gè)長(zhǎng)方形玻璃條后，剩下的長(zhǎng)方形例題38的面積為5平方米，請(qǐng)問(wèn)鋸下的長(zhǎng)方形玻璃條的面積等于多少？0.5550.550.555圖a圖b39圖中，甲、乙兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40例題39平方厘米．求乙正方形的面積．40AFED（第十二屆“迎春杯”刊賽試題）如圖，邊長(zhǎng)是整數(shù)的四邊形的面積是488厘米．那么，正方形的面積例題40平方厘米，為FBABCD是平方厘米．8FBADCE4111如圖，一個(gè)正方形被分成4個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的面積分別是平方米、平方例題4110532米、平方米和平方米．已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多105少平方米？42長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是30厘米，以這個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊為邊長(zhǎng)向外畫正方例題42形．已知這四個(gè)正方形的面積之和為290平方厘米，那么長(zhǎng)方形的面積是ABCD多少平方厘米？ED1C11DECAAB1【鞏固】(第四屆華杯復(fù)賽試題)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是16厘米，在它的每一條邊上各畫一個(gè)以該邊為邊長(zhǎng)的正方形，已知這四個(gè)正方形的面積和是68平方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD的面積？IHDGFABCE437個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形拼成了圖中陰影部分，圖中空白部分的面積是多少平方厘例題43米？24【鞏固】如圖所示，7個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形拼成了圖中的陰影部分，圖中空白部分的面積是多少平方厘米？44(第五屆”祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)如右圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，放入六個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形(尺寸如圖)，圖中陰影部分的面積是__________．例題44DC6BA1445若干同樣大小的長(zhǎng)方形小紙片擺成了如圖所示的圖形．已知小紙片的寬是12厘例題45米，問(wèn)陰影部分的總面積是多少平方厘米？46一個(gè)大長(zhǎng)方形若能分割成若干個(gè)大小不同的小正方形，則稱為完美長(zhǎng)方形．下面例題46一個(gè)長(zhǎng)方形是由9個(gè)小正方形組成的完美長(zhǎng)方形．圖中正方形和的邊長(zhǎng)分別AB是7厘米和4厘米，那么這個(gè)完美長(zhǎng)方形的面積分別是多少平方厘米？DCEFBBAAGH【鞏固】(2008年中國(guó)臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽)如圖：有一個(gè)矩形可以被分割為11個(gè)正方形，其中最小的正方形(陰影部分)面積為81cm2，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)矩形之面積為多少平方厘米？jigfehadcb第2題47圖中數(shù)字分別表示兩個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)直角三角形的面積，另一個(gè)三角形的面積例題47是．125125？A151548如圖，一個(gè)矩形被分成八個(gè)小矩形，其中有五個(gè)矩形的面積如圖中所示(單位：平例題48方厘米)，問(wèn)大矩形的面積是多少平方厘米？GG363616S1AADD16203020CCBB30SE2E1212S3FF【鞏固】陽(yáng)陽(yáng)用四塊小長(zhǎng)方形恰好拼成了一個(gè)大的長(zhǎng)方形，如圖所示．現(xiàn)在知道其中三塊長(zhǎng)方形的面積分別為48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，陰影部分的面積是多少？482430(南京市第三屆)如圖，矩形ABCD被分割成9個(gè)小矩形．其中有．AD122416BC49有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個(gè)底面為正方形的盒內(nèi)，它們)．已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，是10．求正方形例題49之間相互疊合(見下圖綠色面積盒底的面積．黃黃紅綠紅綠50如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)，紅色、綠色正方形的面積分別是48和12，且紅、綠兩個(gè)正方形有一個(gè)頂點(diǎn)重合．黃色正方形的一個(gè)頂點(diǎn)位于紅色正方形兩條對(duì)角例題50線的交點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)位于綠色正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．那么黃色正方形的面積是．AD紅黃綠BC123如圖所示，在正方形ABCD中，紅色，綠色正方形的面積分別是52和13，且紅、綠兩個(gè)正方形有一個(gè)頂點(diǎn)重合.黃色正方形的形兩條對(duì)角線的一個(gè)頂點(diǎn)位于紅色正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)位于綠色正方求黃色正方形面積.AB紅黃綠DC51如圖，三個(gè)一樣大小的正方形放在一個(gè)長(zhǎng)方形的盒內(nèi)，A和B是兩個(gè)正方形的ABC疊部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它們的面積比是：：：D：E=1：2：3：4：5，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的重例題51長(zhǎng)與寬之比是________．家庭作業(yè)1（“希望杯”第一試）如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6厘米，過(guò)正方形內(nèi)的任意之和是多少兩點(diǎn)畫直線，可把正方形分成練習(xí)9個(gè)小長(zhǎng)方形。這9個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)1厘米？DCAB2計(jì)算右邊圖形的周長(zhǎng)單位：厘米。()練習(xí)2101534下圖的小正方形邊長(zhǎng)為1厘米．這個(gè)圖形的外沿的周長(zhǎng)是多少厘米？練習(xí)3求右圖所示圖形的周長(zhǎng)單位：分米()練習(xí)45050105l如圖，每個(gè)小方格是一個(gè)正方形，如果該圖總面積是52個(gè)平方單位，試求這個(gè)圖形的外沿周長(zhǎng)是多少個(gè)長(zhǎng)度單位？練習(xí)56l如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，EFGH是正方形．已知AF10cm，HC7cm，求長(zhǎng)方形ABC