數學物理方法第五章傅立葉級數

數學物理方法第五章傅立葉級數第1頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

傅里葉

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法國數學家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學校任講師。1798年隨拿破侖遠征埃及，當過埃及學院的秘書。1801年回法國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。1817年傅里葉被選為科學院院士，并于1822年成為科學院的終身秘書。1827年又當選為法蘭西學院院士。

在十八世紀中期,是否有用信號都能用復指數的線性組合來表示這個問題曾是激烈爭論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實際運動都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)從數學上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級數的想法。第2頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級數來表示一個具有間斷點的函數,因此三角級數的應用非常有限。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個世紀后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學研究，1807年他在向法國科學院呈交一篇關于熱傳導問題的論文中宣布了任一函數都能夠展成三角函數的無窮級數。這篇論文經J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數學家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數的提法與拉格朗日關于三角級數的觀點相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。這本書已成為數學史上一部經典性的文獻，其中基本上包括了他的數學思想和數學成就。第3頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

書中處理了各種邊界條件下的熱傳導問題，以系統(tǒng)地運用三角級數和三角積分而著稱，他的學生以后把它們稱為傅里葉級數和傅里葉積分，這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數（實際上要滿足一定的條件,例如分段單調）都可以展開成三角級數,他列舉大量函數并運用圖形來說明函數的這種級數表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展，特別是數學物理等應用數學的發(fā)展；其次，傅里葉級數拓廣了函數概念，從而極大地推動了函數論的研究，其影響還擴及純粹數學的其他領域。傅里葉深信數學是解決實際問題的最卓越的工具，并且認為“對自然界的深刻研究是數學最富饒的源泉。”這一見解已成為數學史上強調通過實際應用發(fā)展數學的一種代表性的觀點。第4頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五傅立葉的兩個最主要的貢獻——“周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和”

——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點第5頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第五章Fourier變換第一節(jié)Fourier級數第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換第三節(jié)δ函數第6頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

在工程計算中,無論是電學還是力學,經常要和隨時間而變的周期函數fT(t)打交道.例如:具有性質fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數,單位時間通常取秒,即每秒重復多少次,單位是赫茲(Hz).t第一節(jié)Fourier級數第7頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五最常用的一種周期函數是三角函數

fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T

而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數sinwt和coswt的線性組合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt第8頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

人們發(fā)現,所有的工程中使用的周期函數都可以用一系列的三角函數的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近第9頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

研究周期函數實際上只須研究其中的一個周期內的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內函數變化的情況.

討論：(1)這兩個條件實際上就是要保證函數是可積函數.

理論上講，并非所有的周期函數都可以用傅里葉級數逼近,而是要滿足(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上Dirichlet定理若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個周期內只有有限個第一類間斷點；(2)在每個周期內只有有限個極值點，則周期函數都可以用傅里葉級數逼近（諧波關系的正弦信號的加權和）。第10頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五函數的間斷點第11頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五1.跳躍間斷點2.可去間斷點注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第一類間斷點特點第12頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五3.第二類間斷點無窮型間斷點振蕩型間斷點第13頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第14頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五

因此,任何滿足狄氏條件的周期函數f

(t),可表示為三角級數的形式如下:第15頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五有限區(qū)域上的函數周期化的處理方法處理1：將f(x)轉化為(-l,l)內的函數設f(x)是定義在區(qū)域(a,b)內的函數，其中a和b是有限數處理2：周期化為整個實數軸上的以2l為周期的周期函數bal-ll-l有限區(qū)域上的Fourier展開或周期函數的Fourier展開第16頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五三角函數族：

周期函數的傅立葉級數則函數f(x)可以用周期同為2l一系列諧函數作為基本函數函數族（正交、完備），把周期函數f(x)展開。周期為2l

的函數f(x)滿足：第17頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五a.基本函數族是以2l

為周期的b.f(x)按三角函數族展開不同的函數形式由不同的組的和表示。(5.1.3)此為傅里葉級數展開同樣第18頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五基本函數族的正交性(5.1.4)三角函數族還有完備性，即這個函數族足夠展開任何周期為2l函數。第19頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Fourier展開的展開系數(5.1.5)

此為傅里葉系數其中第20頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Dirichlet定理-Fourier展開收斂定理若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個周期內只有有限個第一類間斷點；(2)在每個周期內只有有限個極值點，則l-l

函數和級數并不完全是一個東西，例如冪級數就有收斂域的問題。故必須討論它們在什么條件下完全一致。第22頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例1、交流電壓經過半波整流后的傅立葉級數。解：周期為第23頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第24頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五和第25頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五頻譜各個頻率分量的幅度頻率幅度20E第26頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五通常，函數f(t)表示某系統(tǒng)的按時間變化的性質，叫在時域中的表示的性質。而頻譜表示這種性質在頻域中的表示。因此，傅里葉級數也是一種從時域到頻域的變換。頻率幅度20E第27頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五正弦級數和余弦級數若函數f(x)是奇函數，則Fourier展開成正弦級數這叫作傅里葉正弦級數．容易檢驗上式中的正弦級數在處為零．第28頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五同樣由于對稱性，其展開系數為由于余弦級數的導數是正弦級數，所以余弦級數的導數在處為零．若函數f(x)是偶函數，則Fourier展開成余弦級數這叫作傅里葉余弦級數．第29頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例周期矩形波奇函數第30頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五頻域中的圖示由你們給出第31頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解所給函數滿足狄利克雷充分條件,在整個數軸上連續(xù).第32頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五òp=p0cos)(2ktdttuanòp=p0cossin2ktdttEò--+=pp0])1sin()1[sin(dttktkEpp01)1cos(1)1cos(ú?ùê?é--+++-=ktkktkE)1(1k???íì+==p--=12,02,]1)2[(42nknkkE當當),2,1(L=n第33頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五有限區(qū)間中的函數的的傅里葉展開f(x)

定義于(0,l).可以認為它是某個周期為2l

的函數在半個周期中的部分。即令此周期函數為g(x),

在半周期(0,l)中g(x)=f(x).

這種做法叫延拓。則只需求出g(x)的傅里葉級數，在[0,l]上就代表f(x)。且g(x+2l)=g(x)第35頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五1.奇延拓??￥=1sin)(kkkxbxf若要求處為零，則應將f(x)延拓稱為奇的周期函數。第36頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五2.偶延拓?+?￥=10cos2)(kkkxaaxf若要求處為的導數為零，則應將f(x)延拓稱為偶的周期函數。第37頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解(1)求正弦級數.ò+p=p0sin)1(2kxdxxòp=p0sin)(2kxdxxfbn)coscos1(2p-pp-p=kkk???íì=-=+pp=LL,6,4,22,5,3,122kkkk當當,)(進行奇延拓對xf第38頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(2)求余弦級數ò+p=p0cos)1(2kxdxxak)1(cos22-pp=kk???íì=p-==LL,5,3,14,6,4,202kkk當當,)(進行偶延拓對xf第39頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五而利用三角函數的指數形式可將級數表示為:復數形式的Fourier積分第40頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第41頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第42頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第43頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五復形式的Fourier級數上式(5.1.13)的物理意義為一個周期為2l

的函數可以分解為頻率為，復振幅為的復簡諧波的疊加．稱為譜點，所有譜點的集合稱為譜．對于周期函數而言，譜是離散的．基本函數族第44頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第45頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五由以上可以看到：一個比較復雜的周期函數可以看作是許多不同頻率的簡諧函數的疊加第47頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例矩形波第48頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換無限區(qū)域上的Fourier展開在的極限形式就為所求的非周期函數f(x)的Fourier展開式可做近似，假設非周期函數f(x)可看作是對非周期函數f(x),，一般是不能展時的極限，則g(x)的為Fourier級數。某個周期函數g(x)于周期Fourier級數展開式第49頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五由系數代入展式，取的極限第50頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五間斷求和成為連續(xù)性求和（積分）同理，正弦部分第51頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五1、實形式的Fourier積分與Fourier變換其中非周期函數f(x)的Fourier積分表達式A(ω)被稱為Fourier余弦變換B(ω)被稱為Fourier正弦變換實形式的Fourier變換第52頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Fourier積分定理若f(x)在R上滿足：

(1)在任一有限區(qū)域上滿足Dirichlet條件；

(2)在R上絕對可積，則f(x)

可以表示為Fourier積分，且結果為其中第53頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五其中函數f(x)的Fourier積分表達式振幅譜相位譜第54頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五奇函數偶函數當f(t)為奇函數，則有這叫作傅里葉正弦積分．容易檢驗上式中的正弦級數在處，f(x)=0為零．第55頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五偶函數奇函數當f(t)為偶函數這叫作傅里葉余弦積分．容易檢驗上式中的正弦級數在處第56頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五對稱形式的Fourier（正弦、余弦）積分表達式第57頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例1矩形函數的定義為求矩形脈沖f(x)=hrect(x/2T)的傅立葉積分。解：f(x)為偶函數，則其傅立葉積分為第58頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例2由2N個(N是正整數)正弦波組成的有限正弦波列試將它展為傅立葉積分。解：f(t)為奇函數，則其傅立葉積分為第59頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五2、復數形式的傅里葉積分原函數像函數第60頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五表示為原函數到像函數的傅里葉正變換像函數到原函數的傅里葉反變換例同前例第61頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五復形式形式的對稱Fourier積分與Fourier變換F(ω)被稱為Fourier變換的像函數f(x)稱為Fourier變換的原函數第62頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五傅立葉變換的意義數學意義從一個函數空間(集合)到另一個函數空間(集合)的映射；f(x)稱為變換的原函數(相當于自變量)，F(ω)稱為象函數。應用意義把任意函數分解為簡單周期函數之和，F(ω)的自變量為頻率，函數值為對應的振幅。物理意義把一般運動分解為簡諧運動的疊加；把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。物理實現分解方法：棱鏡光譜儀、光柵光譜儀；記錄方式：(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測器)光度計。第63頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五例3求矩形脈沖f(x)=hrect(x/2T)的復數傅立葉變換。代入傅立葉積分公式，得解：由第64頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五證明：3、傅里葉變換的基本性質(1)導數定理#第65頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(2)積分定理記則由導數定理即#第66頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(3)相似性定理通常將變換f(x)f(ax)稱為相似變換，它將測量的尺子的單位改變?yōu)樵瓉韱挝坏?/a，相應地，測量的長度值變?yōu)樵档腶倍，而保持函數的形式不變。有時也叫尺度變換。#證明第67頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五(4)延遲定理x看作時間，記時由x到x-x0

表示提前了x0。記作“延遲”是習慣說法。證明第68頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五證明#(5)位移定理頻域的位移(6)卷積定理原函數的卷積與像函數的乘積間的關系若和則卷積：第69頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五證明#第70頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五Fourier變換的性質性質1（導數性質）性質2（積分性質）性質4（延遲性質）性質3（相似性質）性質5（位移性質）性質6（卷積性質）第71頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五典型例題解所給函數是奇函數,其Fourier變換為.||,0||,sin2d1sinsin,||,0||,sin)(102???íì>￡=-?íì>￡=ò￥+pppwwwwpppttttFourierttttf并證明變換的計算函數例第72頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五再由Fourier積分公式得第73頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五.||,0||,sin2d1sinsin02???íì>￡=-ò￥+pppwwwwptttt即第74頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解所給函數是偶函數,其Fourier變換為.cos2dcos42,cos)(2||042||tetFouriertetftt-￥+-=++=òpwwww并證明變換的計算函數例第75頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第76頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五再由Fourier積分公式得第77頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五.cos2dcos42||022tett-￥+=++òpwwww即第78頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解法一

利用位移性質.sin)()(40變換的計算函數例Fouriertettutftwb-=第79頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五再由微分性質第80頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五法二],)([21])([21]sin)([000tittitteettuieettuitettuwbwbbw-----=FFF,由位移性質第81頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五所以由卷積公式.sin)()(50變換的計算函數例Fouriertettutftwb-=及由解)]()([]sin000wwdwwdpw--+=itF[第82頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五tyü?íì+--+=200)(1*)]()([21)]([wbwwdwwdppiitfF得第83頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解第84頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第85頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五解第86頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第87頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第88頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五一維變換到高維空間中的變換三維相互獨立也相互獨立4.多重傅里葉積分矢量表示第89頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五多重傅立葉積分三重傅立葉積分三重傅立葉變換令第90頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)δ函數δ函數的概念δ函數的性質與δ函數有關的Fourier變換δ函數的積分表示第91頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五δ函數的概念（δ函數的引入）質量為m均勻分布在長為的線段上，則其線密度可表示為問題：質點的密度函數如何表示？（質點是物體在尺度趨于零時的理想模型）將對x積分，可得總質量第92頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五得位于原點的質量為m的質點，線密度成為質點的線密度質點線密度圖象，它在處為，在處為零，其積分為m不求積分，先取極限第93頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五δ函數的形式定義稱這樣的函數為δ函數，記為δ(x)和δ(x-x0)說明：δ函數，并不是通常意義下的函數：它沒有給出函數與自變量之間的對應關系，或者說，它給出的對應關系在通常意義下是沒有意義的。第94頁，共107頁，2023年，2月20日，星期五δ函數表示的是函數序列的極限它