熱學(xué)(李椿+章立源+錢(qián)尚武)習(xí)題解答-第六章熱力學(xué)第二定律

第六章熱力學(xué)第二定律m=2.2×104克=22千克由圖試證明：任意循環(huán)過(guò)程的效率，不可能大于工作于它所經(jīng)歷的最高熱源溫度與最低熱溫源溫度之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。并以一連串微小的可逆卡諾循環(huán)過(guò)程。如以Tm和Tn分別代表這任一可循環(huán)所經(jīng)歷的最高熱源溫度和最低熱源溫度。試分析每一微小卡諾循環(huán)效率與的關(guān)系）。用圖中封閉曲線R表示，而R可用圖中一連串微笑的證：（1）d當(dāng)任意循環(huán)可逆時(shí)替，這是由于考慮到：任兩相鄰的微小可逆卡諾循環(huán)有一總，環(huán)段絕熱線是共同的，但進(jìn)行方向相反從而可逆卡諾循環(huán)的總效果就和圖中鋸齒形路徑所表示的循環(huán)相同；當(dāng)每個(gè)其極限就趨于可逆循環(huán)R。考慮人一微小可逆卡諾循（187完）環(huán)，如圖中陰影部分所示，系統(tǒng)從高溫?zé)嵩碩i吸熱Qi，向低溫?zé)醝又，Tm和Tn是任意循環(huán)所經(jīng)歷的∴對(duì)任一微小可逆卡諾循，必有：Ti≤Tm，Ti≥TnTn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率，上式m將（2）式代入(1)式：T和最低溫度熱源T之間的可逆卡諾循環(huán)的效mn（2）任意循環(huán)不可逆時(shí)，可用一連串微小的不可逆卡諾循環(huán)來(lái)代替，由于諾定理知，任一微小的不可逆卡即任意不可逆循環(huán)的效率經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩碩和最低溫?zé)嵩碩之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。mn即任意循環(huán)的效率不可*6-8若準(zhǔn)靜態(tài)卡循環(huán)中的工作物質(zhì)不是理想氣體而是服從狀態(tài)方程p(v-b)=RT。式證明這可逆卡諾循環(huán)的效率公式任為證：此物種的可逆卡諾循環(huán)如圖。等溫膨脹過(guò)程中，該物質(zhì)從高溫?zé)嵩碩吸熱為可得其絕熱方程的另一表達(dá)式子∴該物質(zhì)卡諾循環(huán)的效率為可見(jiàn)，工作于熱源T和T之間的可逆機(jī)的效率總為1－，與工作物質(zhì)無(wú)關(guān)，這正是卡諾定理所指出的。126-9(1)利用（6.7）式證明，對(duì)一摩爾范德瓦耳斯氣體有（2）由(1)證明：(3)設(shè)Cv為常數(shù)，證明上式可寫(xiě)證：（1）對(duì)一摩爾物質(zhì)，(6.7)式為一摩爾范氏氣體的物態(tài)方程為積分上式由(2)即得6-10設(shè)有一摩爾范德瓦耳斯氣體，證明其準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程方程為該氣體的摩爾熱容量Cv為常數(shù)（提示：利用習(xí)題9的結(jié)果）證：上題給出由得Tds=du＋pdv=CvdT－dv由熵增原理知，可逆絕熱過(guò)程中系統(tǒng)的熵不變，有CvdT＋dv=0或＋=0已知為常數(shù)，積分上式即得代入上題結(jié)果6-12證明：范德瓦耳斯氣體進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程時(shí)，氣體對(duì)外做功為CV（T1－T2）－a(－)設(shè)Cv為常數(shù)9給出，對(duì)摩爾范氏氣體有當(dāng)范氏氣體有狀態(tài)（T、v1）變到狀態(tài)（T、v）。內(nèi)能由u變到u2，而Cv為常數(shù)時(shí)，上式為1221u2－u1=Cv（T2－T1）＋a（－）絕熱過(guò)程中，Q=0，有熱力學(xué)第一定律得氣體對(duì)外作的功－A=u2－u1=Cv（T2－T1）＋a（－）所以，1摩爾范氏氣體在無(wú)窮小等壓（`````=0）過(guò)程中，熱力學(xué)第一定律可寫(xiě)為：或又由（p＋）(v－b)=RT可得6-14用范德瓦耳斯氣體模型，試求在焦耳測(cè)定氣體內(nèi)能實(shí)驗(yàn)中氣體溫度的變化.設(shè)氣體定容摩爾熱容量CV為常數(shù)，摩爾體積在氣體膨脹前后分別為V1，V2。解：當(dāng)1摩爾范氏氣體由（T,V）變到（T,V），而C為常數(shù)時(shí)，由9題結(jié)果知其內(nèi)能變化為：1122Vu2－u=C1V（T1－T1）＋a(－)(1)焦耳自由膨脹實(shí)驗(yàn)中，A=0，且氣體向真空的膨脹過(guò)程極短暫，可認(rèn)為氣體來(lái)不及與外界熱交換，Q=0，由熱力學(xué)第一定律得u2－u=01對(duì)于1摩爾范氏氣體，由（1）式則得：T1－T1=(－)6-15利用上題公式，求CO2在焦耳實(shí)驗(yàn)中溫度的變化。設(shè)體的摩爾體積在膨脹前是2.01·mol－1，在膨脹后為4.01·mol。已知CO2的摩爾熱容量為3.38R，1－a=3.6atm·I2·mol－2解：取R=8.2×10atm·l·mol·K利用上題公式并代入已知數(shù)據(jù)得2－11－－T1－T1=(－)=－3.25K負(fù)號(hào)表示范氏氣體自由膨脹后溫度降低。6-16對(duì)于一摩爾范德瓦耳斯氣體，證明經(jīng)節(jié)流膨脹后其溫度的變化T2---T1為T(mén)－T=[（－）－（－）]12設(shè)氣體的摩爾熱容量為常數(shù)。證：由9題結(jié)果，1摩爾范氏氣體的內(nèi)能為u=u0'＋CvT－p＋）(v－b)=RT由范氏氣態(tài)方程（得pv=RT＋pb－＋則1摩爾范氏氣體的焓為h=u＋pv=(c＋R)T－＋b（p＋）＋u'=(c＋R(T－＋＋u')v0v0當(dāng)1摩爾范氏氣體由狀態(tài)（T、v）變到狀態(tài)（1T、v）時(shí)，起焓變化為221h－h(huán)=（2c＋R）（T－v）－（－）＋（－）v211氣體節(jié)流膨脹前后焓不變，所以，令上式中h－h(huán)=0即得1摩爾范氏氣體節(jié)流膨脹后溫度的變化，為12T－T=[（－）－（－）]126-17假設(shè)一摩爾氣體在節(jié)流膨脹前可看作范德瓦爾斯氣體，而在節(jié)流膨脹后可看作理想氣體，氣體的定容摩爾熱量為C為常數(shù)。試用上述模型證明，氣體節(jié)流前后溫度變化為VΔT=T－T=（RT－）12試在Tv圖上畫(huà)出ΔT=0的曲線（即轉(zhuǎn)換溫度曲線），并加以討論。1—1證：由上題證明知，1摩爾范氏氣體節(jié)流膨脹前的焓為h=（c＋R）T－＋＋u'1v10節(jié)流膨脹后的氣體可視為理想氣體，起1摩爾的焓為h=u＋pv=cT－cT＋u＋RTv02222v202=（c＋R）T＋u''v20視二常數(shù)u'和u''相等，由氣體節(jié)流氣候焓不變，所以00h－h(huán)=（c＋R）（vT－T）＋－=02112解之，氣體節(jié)流前后溫度的變化為ΔT=T－T=（RT－）（1）121令上式ΔT=0，即RT－=01或T=－·1（2）a=1.36atm·l2·mol－2以1摩爾氧為例，由表1－2，取b=0.3818l·mol－1R=0.082rtm·l·mol－1·K－1,二式化為T(mén)=1024－1（3）取各個(gè)不同的V1值，可得相應(yīng)的T1值，列表如下：用描點(diǎn)法作出（3）式的圖線—氧的轉(zhuǎn)換溫度曲線如下V（I）b10.040.060.080.10.02T（K）012130.4489627171010876100V（I）0.310.5T（K）9311960976100910391041.7對(duì)于本題模型的氣體，當(dāng)氣體節(jié)流前的狀態(tài)（溫度、體積）：1.2.由圖中曲線上方的點(diǎn)表示時(shí)，氣體節(jié)流膨脹后溫度不變，不同的初始體積對(duì)應(yīng)不同的轉(zhuǎn)換溫度。由圖中曲線下方的曲線表示時(shí)，從（1）、（2）式知，氣體節(jié)流膨脹后溫度降低，對(duì)于氧氣，顯然，常溫下節(jié)流溫度降低。3.由圖中上方的點(diǎn)表示時(shí)，氣體節(jié)流膨脹后溫度升高（△T>0）△T=0的曲線稱(chēng)為轉(zhuǎn)換溫度曲線6—18接上題，從上題作圖來(lái)看，T=具有什么意義？（稱(chēng)T為上轉(zhuǎn)溫度）。若已知氮?dú)鈇=1.3500×100atm6·mol-2,b=39.6cm6·mol-1,氦氣a=0.033×106atm·cm6·mol-2,b=23.4·mol-1,試求氮?dú)?-21設(shè)有一摩爾的過(guò)冷水蒸氣，其溫度和壓強(qiáng)分別為24℃和1bar，當(dāng)它轉(zhuǎn)化為24℃下的飽和水時(shí)，熵的變化是多少？計(jì)算時(shí)假定可把水蒸氣看作理想氣體，并可利用上題數(shù)據(jù)。（提示：設(shè)計(jì)一個(gè)從初態(tài)到終態(tài)的可逆過(guò)程進(jìn)行計(jì)算，如圖6-21）解：由提示，將實(shí)過(guò)際程的初、始態(tài)，看作通過(guò)兩個(gè)可逆過(guò)程得到，并設(shè)中間狀態(tài)為2，初始狀態(tài)分別為1、3。先設(shè)計(jì)一個(gè)理想氣體可逆等溫膨脹降壓過(guò)程，計(jì)算△S:1=×8.31ln=1.62KJ·k－1·㎏－1再設(shè)計(jì)一個(gè)可逆等溫等壓相變過(guò)程，計(jì)算△S，這已在上題算2出：△S=Cln－Cln2pppp11溫度為T(mén)2的液體準(zhǔn)靜態(tài)等壓升溫至T熵變?yōu)橛伸氐目杉有?，總熵變?yōu)椋骸鱏=△S＋△S=mC(ln＋ln)p=mCln=mClnpp因（T－T）2>0即T2－2TT＋T2>0121212T2＋2TT＋T2－4TT>0211212由此得（T＋T）2>4TT2112所以，△S>0由于液體的混合是在絕熱容器內(nèi)，由熵增加原理可見(jiàn)，此過(guò)程是不可逆。6-25由第五章習(xí)題15的數(shù)據(jù)，計(jì)算一摩爾的銅在一大氣壓下，溫度由300K升到1200K時(shí)熵的解：借助給定初、終態(tài)間的可逆等壓吸熱過(guò)程，計(jì)算熵的變化，并將第五章習(xí)題15的數(shù)據(jù)代入，=aln＋b（1200－300）6-26如圖6—26，一摩爾理想氣體氫（γ=1.4）在狀態(tài)1的參量為V1=20L，T1=300K。圖中1—3為等溫線，1—4為絕熱線，1—2和4—3均為等壓線，2—3為等容線，試分別用三條路徑計(jì)算S－S：31（1）1—2—3解：由可逆路徑1—2—3求S－S13（2）由路徑1—3求S－S13=5.76J·K－1由于1—4為可逆絕熱過(guò)程，有熵增原理知S－S=041從等壓線4—3γ－1=5.76J·K－1計(jì)算結(jié)果表明，沿三條不同路徑所求的熵變均相同，這反映了一切態(tài)函數(shù)之差與過(guò)程無(wú)關(guān)，僅決定處、終態(tài)。6-27在第六章圖6—環(huán)，如圖6—27所示，設(shè)在一微小卡諾循環(huán)的APB段，系統(tǒng)吸收熱量Q′而在任意循環(huán)的相應(yīng)段MPN，系統(tǒng)吸收熱量Q，試證明Q′—Q等于MAP的面積減去PNB的面積。由此可見(jiàn)，Q′—Q為二級(jí)無(wú)窮小量。12中，（李椿編“熱學(xué)”只的圖我們?cè)靡贿B串微小可逆循環(huán)去代替一任意可逆循證：在圖6-27中做輔助等溫線MD，構(gòu)成循環(huán)ABDMA，循環(huán)中，系統(tǒng)從等溫線APB段吸熱Q`，在等溫線DM段放熱Q2，對(duì)外做的功則等于循環(huán)包圍的面積，即使Q`－Q2=面積ABDMA（1）又，在循環(huán)MNDM中，系統(tǒng)在MPN段吸熱Q，在等溫線DM段放熱Q2，對(duì)外做的功等于循環(huán)包圍的面積，即Q`－Q2=面積MNDM（2）（1）式減（2）式得：（2）Q`-Q=面積ABDMA-面積MNDM=面積MAP—面積PNB視二相鄰絕熱線之間的等溫線AB為一級(jí)無(wú)窮小量，則面積MAP與面積PNB的各邊均為一級(jí)無(wú)窮小量，面積MAP與面積PNB均為二級(jí)無(wú)窮小量，所以，Q`－Q為二級(jí)無(wú)窮小量。6-28一實(shí)際制冷機(jī)工作于兩恒溫?zé)嵩粗g，熱源溫度分別為T(mén)=400K，T2=200K。設(shè)工作物質(zhì)在沒(méi)一1循環(huán)中，從低溫?zé)嵩次諢崃繛?00cal,向高溫?zé)嵩捶艧?00cal。（1）在工作物質(zhì)進(jìn)行的每一循環(huán)中，外界對(duì)制冷機(jī)作了多少功？（2）制冷機(jī)經(jīng)過(guò)一循環(huán)后，熱源和工作物質(zhì)熵的總變化（△Sb）（3）如設(shè)上述制冷機(jī)為可逆機(jī)，經(jīng)過(guò)一循環(huán)后，熱源和工作物質(zhì)熵的總變化應(yīng)是多少？（4）若（3）中的餓可逆制冷機(jī)在一循環(huán)中從低溫?zé)嵩次諢崃咳詾?00cal，試用（3）中結(jié)果求該可逆制冷機(jī)的工作物質(zhì)向高溫?zé)嵩捶懦龅臒崃恳约巴饨鐚?duì)它所作的功。解：（1）由熱力學(xué)第一定律，外界對(duì)制冷機(jī)作的功為A=Q1-Q2=600-200=400cal=1672J(2)經(jīng)一循環(huán)，工作物質(zhì)又回到初態(tài)，熵變?yōu)榱?，熱源熵變是高溫?zé)嵩挫刈儭鱏1與低溫?zé)嵩挫刈儭鱏2之和。所以，經(jīng)一循環(huán)后，熱源和工作物質(zhì)的熵的總變化為△Sb=（3）視工資與熱源為一絕熱系，若為可逆機(jī)，由熵增加原理知，整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)榱?。即△S0=0（4）由（3）知，對(duì)于可逆機(jī)

即工質(zhì)想高溫?zé)嵩捶懦龅臒崃?。而外界?duì)它的功為計(jì)算結(jié)果表明,,當(dāng)熱源相同,從低溫?zé)嵩慈∠嗟鹊臒崃繒r(shí),可逆制冷機(jī)比實(shí)際制冷機(jī)所需的外功少.,(1)式由計(jì)算數(shù)值證明:實(shí)際制冷機(jī)比可逆制冷機(jī)外需要的外功值恰好等于T△Sb(T1、△S1b(2)實(shí)際制冷機(jī)額外多需的外界功最后轉(zhuǎn)化為高溫?zé)嵩吹膬?nèi)能.設(shè)想利用在這同樣的兩恒熱源之間工作的.'可逆制冷機(jī)所需之功為A2=Q1'-Q2實(shí)際制冷機(jī)比可逆機(jī)所需的額外功為T(mén)、T2之間工作的可逆熱機(jī)的效率為1能產(chǎn)生的有用工為6-30入土6-30a,在邊廠為L(zhǎng)的立方形盒內(nèi)盛有單原子理想氣體.設(shè)每一分子的質(zhì)量為m.由量子力學(xué)可以系列間斷值∈:證明,每一個(gè)分子的能量只能取下列一其中nx、ny、nz=1、2、3……，（h/2π)=1.054×10-27erg·S如圖6-30b，取nx、ny、nz為坐標(biāo)軸，則在這圖中每一組（n、n、nz)對(duì)應(yīng)于一個(gè)點(diǎn)，亦即分子的一種力xy由此可見(jiàn)，每一分子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與體積V成正比。1）如圖6-30b，以nx、ny、nz為軸建立直角坐標(biāo)系，構(gòu)成三維坐標(biāo)空間，每一組（n、ny、nz），x表征分子的一種力