沖刺四轉(zhuǎn)化與化歸思想

沖刺四轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)學(xué)問題解答題離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它即是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力，高考對這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點(diǎn)。預(yù)測2022年高考對本講的考查為：（1）常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等；（2）數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等；（3）數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等的轉(zhuǎn)化；（4）出現(xiàn)更多的實際問題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化問題。熱點(diǎn)考向一集合問題例1、（1）設(shè)集合，22b①的取值范圍是；②若且的最大值為9，則的值是。22b（2）設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足，則下列各式中錯誤的是（）解析：（1）①②；①由圖象可知的取值范圍是；②若則（x，y）在圖中的四邊形內(nèi)，t=在（0，b）處取得最大值，所0+2b=9，所以b=（2）將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為圖形語言，即構(gòu)造圖2，由圖形逐一驗證，得B項不正確，故應(yīng)選B。點(diǎn)評：對于許多集合問題，通過轉(zhuǎn)化，將不熟悉和難解的集合問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題，便于將問題解決。熱點(diǎn)考向二、函數(shù)問題例2．（1）已知函數(shù)α,β滿足，求的值；（2）關(guān)于x的方程在［0，π］內(nèi)有解，求a的取值范圍。解析：（1）構(gòu)造函數(shù)則有又在R上是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且故。（2）此題就直接解三角方程再確定的范圍，簡直難以下手，并且繁瑣無比，但若轉(zhuǎn)化為求在的取值范圍，問題就簡單易解，通過簡單的計算，很快得到了的取值范圍是。點(diǎn)評：構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解題目的。熱點(diǎn)考向三不等式問題例3、（1）已知a，b，，且，求證：；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是。解析：（1）分析1：，的形式可以聯(lián)想到兩點(diǎn)連線的斜率，所以可構(gòu)造斜率來解題。圖1證法1：如圖1，設(shè)A（b，a），B（-m，-m），其中。因為，則直線OA的斜率：直線AB的斜率：因為B在第三象限的角平分線上，所以AB必與x軸正半軸相交，且有所以，即分析2：，的形式與相似三角形中的對應(yīng)線段成比例類似，所以可聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形來解題。圖2證法2：如圖2，在和，，，，作CE//BD交DF于E。因為，所以（斜邊大于直角邊）（2）；構(gòu)造函數(shù)：。由于當(dāng)時，不等式恒成立。則，即。解得：。點(diǎn)評：聯(lián)想是由一事物聯(lián)想到另一事物的思維方式和過程，這種聯(lián)想通常是事物的形式、結(jié)構(gòu)、范圍、關(guān)系等因素作用的結(jié)果。由聯(lián)想而引發(fā)的構(gòu)造稱之為聯(lián)想構(gòu)造。熱點(diǎn)考向四、三角問題例4．（1）已知，且，求證：；證明：設(shè)，其中則，原不等式得證。點(diǎn)評：三角換元法：把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決。（2）若，則（）A． B．C． D．解析：若直接比較a與b的大小比較困難，若將a與b大小比較轉(zhuǎn)化為的大小比較就容易多了。因為又因為，所以，所以又因為，所以，故選（A）。點(diǎn)評：體現(xiàn)在三角函數(shù)中是切割化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問題。熱點(diǎn)考向五、數(shù)列問題例5、等差數(shù)列的前n項的和為，且，，求。解析：顯然公差，所以是n的二次函數(shù)且無常數(shù)項。于是設(shè)，，則，解得。所以，從而。點(diǎn)評：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)是解決數(shù)列問題的有效方法。數(shù)列的項可看作定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。如等差數(shù)列的通項公式，前n項的和公式。當(dāng)時，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識。熱點(diǎn)考向六、立體幾何問題例6、（1）如果，三棱錐P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h．求證三棱錐P—ABC的體積。分析：如視P為頂點(diǎn)，△ABC為底面，則無論是S△ABC以及高h(yuǎn)都不好求．如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境．解析：如圖，連結(jié)EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD?AE+S△ECD?PE=S△ECD?PA=?BC·ED·PA=。點(diǎn)評：輔助截面ECD的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題迎刃而解。（2）如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成角等于∠NSC。求證：SC垂直于截面MAB。（83年全國高考）分析：由三垂線定理容易證明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識證明SC⊥DM。證明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜線SC在底面AB的射影，∴AB⊥SC?！逜B⊥SC、AB⊥CD∴AB⊥平面SDNC∴∠MDC就是截面MAB與底面所成的二面角由已知得∠MDC＝∠NSC又∵∠DCM＝∠SCN∴△DCM≌△SCM∴∠DMC＝∠SNC＝Rt∠，即SC⊥DM所以SC⊥截面MAB。點(diǎn)評：立體幾何中有些問題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來解決，即考慮在一個平面上的證明時運(yùn)用平面幾何知識。熱點(diǎn)考向七、解析幾何問題例7、（1）設(shè)x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范圍。分析：設(shè)k＝x＋y，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實數(shù)解時求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍。解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。設(shè)k＝x＋y，則y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0，即k＝－x＋3x，其對稱軸為x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]，所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。另解：數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x＋y的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x＋y＝k，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。再解：三角換元法，對已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，設(shè)，則x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。點(diǎn)評：題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個知識點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。（2）ABC的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，＝m（＋＋），則實數(shù)m＝＿＿＿＿分析：如果用一般的三角形解決本題較難，不妨設(shè)ABC是以∠A為直角的直角三角形，則為斜邊BC上的中點(diǎn)，H與A重合，＋＋＝＝，于是得出m＝1。點(diǎn)評：這種通過特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多，如歸納、猜想、證明的方法，過定點(diǎn)問題，定值問題也可以用這樣的思路。熱點(diǎn)考向八、具體、抽象問題例8、若f（x）和g（x）都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x－f［g（x）］＝0有實數(shù)解，則g［f（x）］不可能是（）（A）x2＋x－（B）x2＋x＋（C）x2－（D）x2＋分析：本題直接解不容易，不妨令f（x）＝x，則f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有實數(shù)解即x－g（x）＝0有實數(shù)解。這樣很明顯得出結(jié)論，B使x－g（x）＝0沒有實數(shù)解，選B這種從抽象到具體再到抽象，使學(xué)生從心理上感到非常輕松，象這樣常見抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，對數(shù)函數(shù)型f（xy）＝f（x）＋f（y），冪函數(shù)型f（xy）＝f（x）f（y）。點(diǎn)評：把抽象問題具體化是在數(shù)學(xué)解題中常有的化歸途徑，它是對抽象問題的理解和再認(rèn)識，在抽象語言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)抽象向具體的化歸。熱點(diǎn)考向九、正難則反轉(zhuǎn)化問題例9、在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有＿＿＿＿個。分析：不能被5整除的數(shù)要分類討論，情況較多，這時我們不妨換一個角度，從反面入手考慮。注意到不能被5整除實質(zhì)上是末位數(shù)字不是0，也不是5。用間接法。所有四位數(shù)有＝300個，末位為0時有＝60個，末位為5時有＝48個，∴滿足題意的數(shù)共有300－60－48＝192個。點(diǎn)評：一些數(shù)學(xué)問題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問題的結(jié)論入手，或從問題的條件與結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”。“正難則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。熱點(diǎn)考向十、實際應(yīng)用問題例