人教版數(shù)學(xué)必修二

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第四章圓與方程重難點(diǎn)解析

第四章課文目錄

4.1圓的方程

4.2直線、圓的位置關(guān)系

4.3空間直角坐標(biāo)系

重點(diǎn)：

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、圓的般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的

系數(shù)，D、E、F.

3、直線與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法.

4、用坐標(biāo)法判斷圓與圓的位置關(guān)系.

5、直線與圓的方程的應(yīng)用.

難點(diǎn)：

1、會(huì)根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用?

3、用坐標(biāo)法判直線與圓的位置關(guān)系.

4、用坐標(biāo)法判斷圓與圓的位置關(guān)系.

5、直線與圓的方程的應(yīng)用.

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓心為C(a,b),半徑為廠的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

(x-a)2+(y-b)2=r2

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知它含有三個(gè)參數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓。特別

地，若圓心為原點(diǎn)，此時(shí)。=8=0,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+y2=72

2、過圓上一點(diǎn)的切線方程：

M@0，%)在圓，+—=一上,過乂的切線方程為xox+yoy=r~

當(dāng)M(x0,y0)在圓(x—。了+⑶―⑥2=/上，過M的圓的切線方程為

-a)(x—a)+—A)(y_6)=r2

3,滿足如下兩點(diǎn)，才可稱方程(x—a)2+(y-6)2=/是以(a,b)為圓心，廠為半徑的

圓的方程：

⑴若點(diǎn)(X,y)在以(4,3為圓心，/?為半徑的圓上，則(x,y)必須滿足方程

(x-a)2+(y-b)2=r1；

(2)滿足方程(X—。)2+(〉一份2=r2的點(diǎn)一定在以3,切為圓心，尸為半徑的圓上。

4、判斷點(diǎn)P在圓上、圓內(nèi)、圓外的依據(jù)是比較點(diǎn)P到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系：

d>r=點(diǎn)P在圓外；d=r=點(diǎn)P在圓上；d〈rO點(diǎn)P在圓內(nèi)。即點(diǎn)P(x。，汽)在圓

(x—a)2+(y—b)2=/外的條件是(%—。)2+(方一％)2>/；在圓a—q)2+(y—b)2=

下上的條件是(/-a))+(%-/?)2=產(chǎn)；在圓(x—a)2+(y-6)2=卜2內(nèi)的條件是

22

(X。-a)+(y0-by<r,,

5、求曲線方程的一般步驟為：

(D建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意點(diǎn)M的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱建系設(shè)點(diǎn)；

(2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)；},簡(jiǎn)稱寫點(diǎn)集；

(3)用坐標(biāo)表示條件P(M),列出方程f(x,y)=0,簡(jiǎn)稱列方程；

(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱化簡(jiǎn)方程；

(5)證明化簡(jiǎn)后的方程就是所求曲線的方程，簡(jiǎn)稱證明.

其中步驟⑴(3)(4)必不可少.

典型例題：

例1：(1)已知一個(gè)圓的直徑的端點(diǎn)是A(T,2)、B(7,8),求該圓的方程。

(2)已知一個(gè)圓的直徑的端點(diǎn)是A(X1,必)、BQ:2,乃)，求該圓的方程。

礴求出圓心、半徑或利用求軌跡方程的方法求解。

西⑴???A(-l,2)、B(7,8)是圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn),

圓心C為線段AB為中點(diǎn),即C(3,5)o

又圓的半徑r=7(3+1)2+(5-2)2=5

?..圓的方程為。一3)2+(>一5)2=25

(2)設(shè)P(x,y)是所求圓上的任一點(diǎn)，貝1北.=上二"，心戶=2二&.,

X-Xjx-x2

???AB為圓的直徑，.?.APJ_8尸，故的尸?心尸二一1，

即=.?.(》一七)口一4)+。一%)(＞一為)=0(※)

x-x2x-X\

當(dāng)P與A或B堂合時(shí)，也滿足方程(X)

故圓的方程為(x-X])(x-x2)+(y-＞'|)(y-y2)=o

跡]一是體現(xiàn)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律；二是想說明在解題時(shí)，要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)靈

活地選擇解題方法，如第(2)小題也按第(1)小題的方法做就顯得繁瑣。

例2：k為何值時(shí)，直線x—2y—2女=0與2x—3y-A=0的交點(diǎn)在圓x2+/=9外？

陋求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在圓外尋求％的不等式。

I----1[x-2y-2k=0

函由《得兩直線交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4k,-3k)

[2x-3y-k=0

???P在圓元2+y2=9外，...p到圓心(0,0)的距離大于半徑3,

._______________OO

即J(—4k)2+(—3k)2〉3,解得左＜一一或

.?.當(dāng)人＜—己或々時(shí)，直線x-2y—2A:=0與2x—3y—&=0的交點(diǎn)在圓Y+V=9

外

■判斷點(diǎn)P在圓上、圓內(nèi)、圓外的依據(jù)是比較點(diǎn)P到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系:

d＞r=點(diǎn)P在圓外；4=r=點(diǎn)P在圓上；d〈r=點(diǎn)P在圓內(nèi)。

例3：求過點(diǎn)A(l,-1)、B(-l,1)且圓心在直線x+y—2=0上的圓的方程。(2001年全國

文科高考題)

■本題關(guān)鍵是求出圓心C的坐標(biāo)，而圓心C應(yīng)是AB的垂直平分線與已知直線的交點(diǎn)。

噩線段AB的垂口平分線方程為y=x

由ry=x得圓心c的坐標(biāo)為(i,i)

x+y-2=0

..?所求圓的半徑r=CA|=7(1-I)2+(1+1)2=2

.?.所求圓的方程為(x—1)2+(>-1)2=4

回蜀在求解解析幾何問題時(shí)，要強(qiáng)調(diào)圖形在分析問題中的輔助作用，要適當(dāng)?shù)貞?yīng)用幾何知

識(shí)來幫助解題，這是簡(jiǎn)化解題過程中運(yùn)算量的一個(gè)有效技巧。這里的幾何知識(shí)主要包括兩方

面的內(nèi)容：-一是應(yīng)用平面幾何中的有關(guān)定理(通常在涉及直線和圓的問題中用得上)；二是在

求解圓錐曲線的某些問題時(shí)，應(yīng)注意它們的兒何定義。

例4：求以。(1,3)為圓心，且與直線3x—4y—7=0相切的圓的方程

虔避關(guān)鍵是求半徑，而由直線和圓相切知半徑即為圓心到直線的距離。

睡設(shè)圓的半徑為r

圓與直線相切

|3-12-7|16

，圓心。(1,3)到直線3x—4y—7=0距離d=r=--------=—

,.256

，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—l)2+(y—3)2=三

法一、如圖，設(shè)切線斜率為A,半徑0M的斜率為%,

二-k=-\

?.?占=比Ak=-2

/y。

切線方程為=-E(X—X。)，整理得

汽

2

/x+w=「

當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)上時(shí)，上述方程同樣適用。

法二、設(shè)P(x,y)是切線上任意一點(diǎn)，則

OM2+MP2^OP2即/+(%—x0)2+(＞一汽)2=/+y2

整理得

222

r+x0+y0=2xox+2yoyUP

2

切線方程為：xox+=r

法三、設(shè)P(x,y)是切線上任意?點(diǎn)，則。

OMMP=0即(xo，yo>(x-xo，y-yo)=。

22

整理得x0+y0=x0x+

2

.,.切線方程為：xox+yoy=r

二、圓的一般方程

1、圓的一般方程：

將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X—。尸+(y—匕/=r2的展開式為：

x2+y2-lax-2by+(a2+&2-r2)=0

取O=—2a,E=—2/?/=/+/一72得

x2+y2+Dx+Ey+F-Q①

這個(gè)方程是圓的方程.反過來給出一個(gè)形如x2+y2+Ox+Ey+尸=。的方程，它

表示的曲線一定是圓嗎？

再將上方程配方，得(x+-)2+(y+-)2=D-+E--4F②

224

不難看出，此方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系

(1)當(dāng)。2+52—4尸＞0時(shí)，表示以(-2,-￡)為圓心，〃爐+盧”尸為半徑

222

的圓；

(2)當(dāng)。2+52-4/=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x=—2,y=--,即只表示一個(gè)

22

點(diǎn)(-：,-f);

22

(3)當(dāng)。2+^2—4/＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形,

綜上所述，方程+Ox+Ey+尸=0表示的曲線不一定是圓，

只有當(dāng)。？+E2—4歹＞0時(shí)，它表示的曲線才是圓，我們把形如

x2+y2+Dx+Ey+F^0的表示圓的方程稱為圓的一般方程。

2、圓的一般方程的特點(diǎn):

(1)①/和y2的系數(shù)相同，且不等于0；②沒有犯這樣的二次項(xiàng)

(2)確定圓的一般方程，只要根據(jù)已知條件確定三個(gè)系數(shù)D,瓦戶就可以了

(3)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程則明確地指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。

3、用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：

(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程組，求出a、b、r或I)、E、F的值，代入所設(shè)方程，就得要求的方程.

注意：關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，何時(shí)設(shè)圓的一般方程：?般說來，如果由已知條件容

易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如

果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的般方程.

典型例題：

例1：求過三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心

坐標(biāo)。

底弱據(jù)已知條件,很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條

件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程。

噩設(shè)所求的圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F

40,0),8(1,1),C(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上

面的方程，可以得到關(guān)于。，瓦尸的三元?次方程組，

N=0

即，D+E+F+2^0

4D+2E+F+2Q=Q

解此方程組，可得：D=-8,E=6,F=0

...所求圓的方程為：x2+y2-Sx+6y=0

r=-VD2+￡2-4F=5-—=4,--=-3

2：22

得圓心坐標(biāo)為(4,~3).

或?qū)+y2_8x+6y=0左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，(X—4)2+()，+3)2=25,從

而求出圓的半徑廠=5,圓心坐標(biāo)為(4,-3),

例2：求圓心在直線/：x+y=0上，且過兩圓Cl：x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0

的交點(diǎn)的圓的方程.

/+y^-2x+lOy-24=0

斛解"蛆=0,銅幅交點(diǎn)為r嘰

（0,2）.

設(shè)所求圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2,因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓匕且圓心在直線/上所以

得方程組為

（-4-a）1+b1=r,

?a1+（2-b）l=rJ

a+b=0

■

解得?a=-3.b=3,r=45.

故所求圓的方程為：（x+3）2+（y-3）2=10.

法二：設(shè)所求圓的方程為：

x2+y2-2x+10y-24+X（x2+y2+2x+2y-8）=0（入#-1）

整理并配方得：

1-X5+X24+8入1-X5+X

年E）+G+K）=WT+（G）+W-

隊(duì)為（K4,-淺■）.

由圓心在直線/上得人=-2.

將X=-2代入所假設(shè)的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.

例3：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,3）,端點(diǎn)A在圓上（x+lp+y2=4運(yùn)動(dòng)，求線

段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。

翹如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程

（x+lf+y2=4。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，

求出點(diǎn)M的軌跡方程。

整

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y），點(diǎn)A的坐標(biāo)是

（%,打）.由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,3）且M是線段AB的重點(diǎn)，所以

丫_/+4丫_幾+3

人一,）一

22①

于是有%=2x-4,%=2y-3

因?yàn)辄c(diǎn)A在圓（x+l），y2=4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程（x+1?+'=4,

即（%+1）2+%2=4

22

(x0+l)+y0=4

把①代入②，得

(2x—4+l)?+(2y—3)2=4,整理,得￡力+fy-|^=]

例4：已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)0(0,0),A(3,0)距離的比為;的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程,

并畫出曲線。

畫在求出曲線方程之前，很難確定曲線類型，所以應(yīng)按照求曲線方程的?般步驟先將曲

線方程求出?

■設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線上的任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)

\OM\1

例(x,y)屬于集合「={〃I—^=一}。

\AM\2

即"l+y2,x2+y2-1

V(x-3)2+y22'(x-3)2+y24

整理得：x2+y2+2x-3^0

所求曲線方程即為：/+>2+2》_3=0,

將其左邊配方，得(x+l)2+/4。

...此曲線是以點(diǎn)C(-1,0)為圓心，2為半徑的圓.如右上圖所示。

變型：(1)已知-動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A(3,0)與到。。0)距離之比為常數(shù)k伏＞0),求動(dòng)點(diǎn)M

的軌跡。

3

①當(dāng)左=1時(shí)，方程為x=—,軌跡為線段A。的垂直平分線；

2

39k°3

②當(dāng)上＞0且女#1時(shí)，方程為(x+1—)2+/=-7—,軌跡時(shí)以(一一L，0)為圓心,

k_1k_1k_1

為半徑的圓。

k~~1

(2)已知定點(diǎn)A(3,0),8(1,0),0(0,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足射線尸8平分NAP。，求動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡。

由內(nèi)分定理知理=圜=2,由(1)知方程為(x+l)2+y2=4,軌跡是圓。

\PO\\BO\

三、直線、圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系的判定：

①代數(shù)法：

Ax+By+C=0

由方程組2，^mx2+nx2+p=0(m0),A=n2-Amp

(x-a)2+(y-b)2

J>0方程組有兩解u＞相交

j=o方程組有一解=＞相切

/<0方程組無解=＞相離

②幾何法：

直線與圓相交|=>d<r

直線與圓相切d-r

直線與圓相離nd>r

位置關(guān)系幾何特征方程特征幾何法代數(shù)法

相交有兩個(gè)公共點(diǎn)方程組有兩個(gè)不同實(shí)根d<r△>0

有且只有一公共

相切方程組有且只有一實(shí)根d=r△=0

點(diǎn)

相離沒有公共點(diǎn)方程組無實(shí)根d>r△<0

注意：

①直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為己知斜率A或已

知直線上一點(diǎn)兩種情況，而已知直線上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況.

②直線和圓相交，這類問題主要是求弦長(zhǎng)以及弦的中點(diǎn)問題.

2、圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含五種。

圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法：

(1)代數(shù)法：圓與圓有幾個(gè)公共點(diǎn)，由它們的方程組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；

⑵幾何法：依據(jù)連心線的長(zhǎng)4與兩圓半徑長(zhǎng)的和或兩圓半徑長(zhǎng)的差的絕對(duì)值

的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系，即：

J>r,+r2兩圓外離；

=兩圓外切；

\rt-r2\<d<rt+r2=>兩圓相交;

d=1r,-r2I兩圓內(nèi)切;

d<\r}-r2\0兩圓內(nèi)含。

典型例題：

例1:設(shè)山>0,則直線正(A+_K)+1+"尸0與圓/+/=而的位置關(guān)系為

A.相切B.相交

C.相切或相離D.相交或相切

噩圓心到直線的距離為漆匕上,圓半徑為J府.

---2

Vd—r^+m—y/7n=—(zzr-2Vjrn+1)=—(y[m-1)’20,

222

.??直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離.

例2：圓/+/—4矛+4尸6=0截直線x—y—5=0所得的弦長(zhǎng)等于

A.V6B.C.1D.5

2

畫圓心到直線的距離為孝，半徑為血，弦長(zhǎng)為2}啦)2_(曰)2=c.

例3：(2004年全國卷III,4)圓/+/—4年0在點(diǎn)產(chǎn)(1,百)處的切線方程為

A.方■My—2=0B.x+V3y-4=0

C.x-V3y+4=0D.x-73戶2=0

解圄解法一:

f+7-4尸0

y=kx-k+\[3

=>x—4A+(jtx—A+A/3)=0.

該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即4=0,解得依二.

3

同

/.y一網(wǎng)二—―(x—1),即x—VJp+2=0.

3

解法二：?.?點(diǎn)(1,V3)在圓/+/—4尸0上，

工點(diǎn)、P為切點(diǎn),從而圓心與〃的連線應(yīng)與切線垂直.

又?.?圓心為(2,0),...吐8?公一1.

2-1

解得后3,...切線方程為X—6jH2=0.

3

例4：(2004年上海，理8)圓心在直線2萬一了一7二0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)4(0,-4)、

B(0,-2),則圓。的方程為.

髭圖???圓「與y軸交于力(0,-4),8(0,-2),

由垂徑定理得圓心在尸一3這條直線上.

又已知圓心在直線2%—y—7=0上，

聯(lián)立J尸一3，解得42,

\2x-y-7=0.

工圓心為(2,-3),

半徑i^\AC\=^22+[-3-(-4)]2=75.

二所求圓C的方程為0—2)2+(—3)=5.

答案：(x—2)2+(產(chǎn)3)2=5

例5：若直線尸戶々與曲線廣版二品恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則4的取值范圍是.

解析：利用數(shù)形結(jié)合.

答案：一或公一行

例6：已知圓f+/+x-6嚴(yán)爐0和直線產(chǎn)2y-3=0交于只。兩點(diǎn)，且以L00(0為坐標(biāo)原點(diǎn)),

求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.

■由于利_1。。，所以心?3一1,問題可解.

解答|將產(chǎn)3—2y代入方程x+y+x—6y+npO,得54-20_y+12+?=0.

設(shè)夕(為，％)、。(抱，川，則I必、必滿足條件

.12+771

%+度=4,巾"二一--.

OPLOQ,，￡生+力度=0.

而為二3一2%,后3—2%

/.^1^2-9—6（力+〃2）+471/2.

：.爐3,止匕時(shí)/＞0,圓心坐標(biāo)為（一1，3）,半徑尸之.

22

函在解答中，我們采用了對(duì)直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)而不求”的解法技巧，但必須注意這樣

的交點(diǎn)是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮.

例7：求經(jīng)過兩圓（戶3）旺爐=13和（廣3）J37的交點(diǎn)，且圓心在直線x—y-4=0上的

圓的方程.

■根據(jù)已知，可通過解方程組

一（/3）一+片13,得圓上兩點(diǎn)，

Ix+（尹3）=37

由圓心在直線x—y-4=0上，三個(gè)獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；

也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為（戶3）'+/—13+4[%+（,v+3）2—37]=0,再由圓

心在直線x—y—4=0上，定出參數(shù)/，得圓方程.

噩因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過兩圓（戶3），4=13和（尸3）J37的交點(diǎn)，

所以設(shè)所求圓的方程為（戶3）,+/—13+H[z+（T+3）,-37]=0.

展開、配方、整理，得（戶工）12+（j^—）2=4+28"9（1+，：）

1+A1+/11+A（1+A）2

a

圓心為（一二一，--）,代入方程X—y—4=0,得a=-7.

1+41+A

17QQ

故所求圓的方程為（戶上）2+（y^-）=—.

222

總結(jié)圓6i：x+y+D\x+Eiy+F\=Q,圓G：V+/+Nx+氏戶■內(nèi)=0,若圓G、G相交，那么過兩圓公

共點(diǎn)的圓系方程為+Af.x+y+D^E^Fi'）=0（46口且/1±-1）.它表

示除圓G以外的所有經(jīng)過兩圓G、G公共點(diǎn)的圓.

例8：已知圓G（A—1）2+（y-2）2=25,直線7：（2研1）廣（/1）y-7k4=0（?GR）.

（1）證明：不論勿取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓恒交于兩點(diǎn)；

（2）求直線被圓。截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)/的方程.

■直線過定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得.

解圖（1）證明：，的方程（戶y-4）+m（2A+Z-7）=0.

??UD?-2戶p—7=0,一廣3,

.機(jī)eR,?[得＜

y+y—4=0,l.尸1,

即/恒過定點(diǎn)力（3,1）.

?.?圓心C（l,2）,I"1=石＜5（半徑），

.??點(diǎn)力在圓C內(nèi)，從而直線，恒與圓「相交于兩點(diǎn).

（2）解：弦長(zhǎng)最小時(shí)，1LAC,由人=—工

2

國畫求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出圓心和半徑；或利用圓系方程求解。

(?a+yJ-l2x-2y-l3=0

解答解法一：聯(lián)切咽方程,z,

?3+ya+l2?+16y-25=0

相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0.

r2、

再由+'—12x-2y-13-0解得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A(_],2)、B(5,6)

4x+3y-2=0

???所求圓以AB為直徑，

二所求圓的圓心是AB的中點(diǎn)M(2,-2),圓的半徑為r=」IAB|=5

2

于是所求圓的方程為(x—2)2+0+2)2=25.

解法二：設(shè)所求圓的方程為：

x2+y2-12x-2y-13+A(x2+y2+12x+16)，-25)=0

BP(l+2)x2+(l+2)y2-(12-12/l)x-(2-16/l)y-13-25/l=0

..1,xo?z12/1—12162—2、

圓心刖林為C(---------,--------)

2(1+4)2(1+4)

?.?圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上,

--(12X.12).-(16X-2)--

?-4-^a7xT+3，la7xr-2=0-

；?所求圓的方程為4》+4),-17=0

回蜀解法一體現(xiàn)了確定圓的條件，求圓心和半徑的這一基本方法；解法二采取了設(shè)所求圓

的方程為圓系方程，再用求待定系數(shù)求解，解法二比較簡(jiǎn)練.

例12：求與圓x2+y2-4x-8y+15=0相切于點(diǎn)P(3,6),且經(jīng)過點(diǎn)Q(5,6)的圓的方

程。

逮可將點(diǎn)P看成一個(gè)特殊的圓，利用圓系方程求解。

畫切點(diǎn)P(3,6)在已知圓上,將它視為“點(diǎn)圓”：(x—3)2+(y—6>=0,

故可建立圓系方程—+y2—4x—8y+15+%(x—3)2+(y—6)2]=0

..?所求圓經(jīng)過點(diǎn)Q(5,6),代入上述方程，解得;1=-2

故所求圓的方程為/+y2-8x-16y+75=0

■在求與已知直線或已知圓相切于某一已知點(diǎn)的圓的方程時(shí)，把切點(diǎn)視為“點(diǎn)圓”，并運(yùn)

用圓系方程求解，是一個(gè)重要的方法和技巧。

例13：求證：OC1；(x—6>+(y+2)2=16與。C2：(無一4>+(>—2)2=4在同一交點(diǎn)

處的切線互相垂直。

逮利用圓的幾何性質(zhì)證明，即證交點(diǎn)處的一圓的半徑與另一圓在此處的半徑垂直。

噩設(shè)兩圓交于點(diǎn)A、B,連C|A、C?A,

：IC021=J(6—4(+(—2—2產(chǎn)=場(chǎng),C|A|=4,C2A=2

2

：.\CXC2|2=IC]A|2+IC2A1,即C|A_LC2A

山平面幾何知識(shí)知：3A所在直線是。C2的切線，C2A所在直線是。g的切線，

二與。C2在交點(diǎn)A處的切線互相垂直。

同理可證：OC,與(DC2在交點(diǎn)B處的切線互相垂直。

本題利用了圓的幾何性質(zhì)，思路清晰、明快?？梢姡J(rèn)真審題，充分利用圖形的幾何

性質(zhì)，有效地實(shí)施命題轉(zhuǎn)換，尋找證題思路是十分重要的，這也是能力的體現(xiàn)。

例14：已知圓q:f+y2+2尤一6y+l=0,圓C2：x?+丁—4x+2y—11=0,求兩圓的

公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).

朝因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)圓方程，聯(lián)立方程組，消去Y項(xiàng)、V項(xiàng)，即得兩圓的

兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長(zhǎng).

甌設(shè)兩圓交點(diǎn)為4($,%)、BO2,%)，則A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組

[x2+/+2x-6y+l=0,(1),

,2，⑴-⑵得3x-4y+6=0.

|/+/_4犬+2)，-11=0,(2)

因?yàn)椋珹、8兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，

所以，3x—4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.

易知圓G的圓心(一1,3)，半徑r=3.

又G到直線的距離為

1-1x3-4x3+61_9

所以,

+-5

AB=2ylr2-d2=2,-（1）2=y.即兩圓的公共弦長(zhǎng)為y.

函本題較為復(fù)雜，要討論的情況比較多，解題過程中要注重分析.

例15：求過兩圓/+>2+6%-4=0和f+>2+6），—28=0的交點(diǎn)，且圓心在直線

x-y-4=0上的圓的方程.

邀所求圓圓心是兩已知圓連心線和已知直線的交點(diǎn)，再利用弦心距、弦長(zhǎng)、半徑之間的

關(guān)系求圓半徑

（法一）可求得兩圓連心線所在宜.線的方程為x+y+3=0.

x-y-4=0,

由《

[x+y+3=0,

利用弦心距、弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系可求得公共弦長(zhǎng)d=病，所以，圓半徑

、2

+41

,2fl2l89

+T

7

所以，所求網(wǎng)方程為（x_g）2+（y+3=-8-9,

2

即f+y2-x+7y—32=0

（法二）設(shè)所求圓的方程為x2+/+6x-4+2(x2+/+6y-28)=0即

22624+28/1

x+y-+----x+y---------0.

1+2T+7-1+2

3-323-32

故此圓的圓心為（-），它在直線x—y—4=0上，所以一---------1----------4=0,

l+A,1+A1+21+2

所以a=一7.

所以所求圓方程為/+y2—x+7y一32=0

噩“解法二”中設(shè)出的經(jīng)過兩已知圓交點(diǎn)的圓方程叫做經(jīng)過兩已知圓的圓系方程.

四、空間直角坐標(biāo)系

1、定義:

A

y

如圖，OABC-D'A'B，C是單位

正方體，以0為原點(diǎn)分別以射線OA,

OC,0Dz的方向?yàn)檎较?，以線段

OA,OC,0D，的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立

三條數(shù)軸：X軸、Y軸、Z軸.這

時(shí)我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)圖(1)

z

系0—xyz?其中點(diǎn)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，

x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸。通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做&標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、

yOz平面、zOx平面。R

說明：右手直角坐標(biāo)系。

2、空間直角坐標(biāo)系的畫法：斜二測(cè)方法

3、空間一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,y,z)其中x叫做點(diǎn)M的

橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，圖(2)

z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。x

4、空間直角坐標(biāo)系的卦限：

類比平面直角坐標(biāo)系有四個(gè)象限及點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的變化，啟發(fā)學(xué)生想象，坐

標(biāo)平面把空間分成八部分，介紹空間直角坐標(biāo)系的卦限的概念，并歸納總結(jié)空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)

軸對(duì)稱時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化。

5,空間的點(diǎn)M用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y,z)表示：

設(shè)點(diǎn)M為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依

次交x軸、y軸、z軸于P、Q、R點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P、Q、R在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是X、

y和z,那么點(diǎn)M就有唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)；反過來，給定有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),

可以在x軸、y軸、z軸上依次取坐標(biāo)為x、y和z的點(diǎn)P、Q和R,分別過P、Q和R點(diǎn)各作

一個(gè)平面，分別垂直于x軸、y軸、z軸，這三個(gè)平面的唯一的交點(diǎn)就是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)

確定的點(diǎn)M。

6、特殊點(diǎn)的規(guī)律：在xOy平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)都是零，在yOz平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是零,

在zOx平面上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是零；在Ox軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都是零，在Oy軸上的

點(diǎn)的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都是零，在Oz軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是零。

7、注意：

(1)、在建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí)，要注意使NxOy=NxOz=135",ZyOz=9G,

且使y軸和z軸的單位長(zhǎng)度相同，x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸(或z軸)的單位長(zhǎng)度的一半。

(2)、在確定給出空間圖形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角

坐標(biāo)系，以便于計(jì)算所需確定的點(diǎn)的坐標(biāo)。

(3)、對(duì)于空間直角坐標(biāo)系中的問題，要善于用類比于平面直角坐標(biāo)系中相關(guān)問題的求解方

法解決。

典型例題：

例1：在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)M(6,-2,4)。

隔闞點(diǎn)M的位置可按如下步驟作出：先在x軸上作出

橫坐標(biāo)是6的點(diǎn)，再將沿與y軸平行的方向向左移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)M],然后將

沿與z軸平行的方向向上移動(dòng)4個(gè)單位即得點(diǎn)M。

陪H點(diǎn)的位置如圖所示。

匾蜀對(duì)給出空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)作出這個(gè)點(diǎn)、給出具體的點(diǎn)寫出它的空間直角坐標(biāo)系

中的坐標(biāo)這兩類題目，要引起足夠的重視，它不僅可以加深對(duì)空間直角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)，而且

有利于進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象能力。

例2：已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為10,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,

寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

邀先由條件求出正四棱錐的高，再根據(jù)正四棱錐的對(duì)稱性，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。

甌???正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為10,

二正四棱錐的高為2后。

以正四棱錐的底面中心為原點(diǎn)，平行于AB、BC所在的直線分別為x軸、y軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則正四棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,

0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,2V23)o

圈留在求解此類問題時(shí)，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，從而便于

計(jì)算所需確定的點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3：在長(zhǎng)方體—與G?中，AB=12,AD=8,AAt=5,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

廨翱以A為原點(diǎn),射線AB、AD、分別為x軸、y軸、z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)

系，則A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、At(0,0,5)、B1(12,0,5)、Cx(12,8,

5)、Di(0,8,5)。

例4：在空間直角坐標(biāo)系中，求出經(jīng)過A(2,3,1)且平行于坐標(biāo)平面yOz的平面a的方程。

扈摒求與坐標(biāo)平面yOz平行的平面的方程，即尋找此平面內(nèi)任一點(diǎn)所要滿足的條件，可利

用與坐標(biāo)平面yOz平行的平面內(nèi)的點(diǎn)的特點(diǎn)來求解。

噩坐標(biāo)平面yOzlx軸，而平面a與坐標(biāo)平面yOz平行，

平面a也與x軸垂直，

平面a內(nèi)的所有點(diǎn)在x軸卜一的射影都是同一點(diǎn)，即平面a與x軸的交點(diǎn)，

，平面a內(nèi)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相等。

?.?平面a過點(diǎn)A(2,3,1)，，平面a內(nèi)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是2,

平面。的方程為x=2。

圈蜀對(duì)于空間直角坐標(biāo)系中的問題，可先回憶與平面直角坐標(biāo)系中類似問題的求解方法，

再用類比方法求解空間直角坐標(biāo)系中的問題。本題類似于平面直角坐標(biāo)系中，求過某一定點(diǎn)

且與X軸(或y軸)平行的直線的方程。

例5：如圖，在長(zhǎng)方體OABC-D'A'B'C'中，|0A|=3,0C|=4,|0>|=2。寫出D',

C,A',B'四點(diǎn)的坐標(biāo)。

ggy在Z軸上,且|OD，|=2

它的豎坐標(biāo)是2,它的橫坐標(biāo)xij

縱坐標(biāo)y都是零，所以點(diǎn)D'的

坐標(biāo)是（0,0,2）

同理點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,4,0）

點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（3,0,2）

x

點(diǎn)B'在xOy平面上的射影是B,因此它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y同點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)

y相同。在xOy平面上，點(diǎn)B橫坐標(biāo)x=3,縱坐標(biāo)y=4。點(diǎn)B'在z軸上的射影是D',它的

豎坐標(biāo)與點(diǎn)D'的豎坐標(biāo)相同，點(diǎn)D'的豎坐標(biāo)z=2。所以點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（3,4,2）。

例6：結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞如圖是食鹽晶胞的示意圖。其中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代

表氯原子。建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo)。

觸圖把圖中的鈉原子分成上、中、下

三層來寫它們所在位置的坐標(biāo)。

F層的原子全部在xOy平面上

所以這五個(gè)鈉原子所在位置的

坐標(biāo)分別為：（0,0,0）,

（1,0,0）,（1,1,0）

（0,110）,（—，—?0）

22

中層的原子所在的平面平行于xOy平面，

與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為所以這四個(gè)

2

鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是（,，0,-）,

22

上層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為1,所以這五個(gè)鈉原子所在

位置的坐標(biāo)分別是（0,0,1）,

(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(-,-,1)?

22

第四章《圓與方程》單元測(cè)試題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圓心為C（2,2）,半徑為2的圓，則a、b、c的值

依次為

（A）2、4、4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-4

2.直線3x4y4=0被圓(x-3尸+y2=9截得的弦長(zhǎng)為()

(A)2VT(B)4(C)4V2(D)2

3.點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)?+(y+a/=4的內(nèi)部，則。的取值范圍是(