平面向量與復(fù)數(shù)提升卷(理)

單元檢測五 平面向量與復(fù)數(shù)(提升卷)考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷 (選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共 4頁．2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上．3．本次考試時間 100分鐘，滿分 130分．4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若復(fù)數(shù)z滿足iz＝3＋4i，則|z|等于()A．1B．2C.5D．5答案D解析3＋4i＝4－3i，因為z＝i＝－(3＋4i)i所以||＝42＋－32＝5.z2．若z＝(1＋i)2z1)12A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案B解析∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，z12i2i1＋i－2＋2i∴＝＝＝＝－1＋i.z21－i1－i1＋i23．設(shè)平面向量＝(－1,2)，＝(2，)，若∥，則|＋|等于()mnbmnmn5B.10C.2D．35答案A解析由m∥n，m＝(－1,2)，n＝(2，b)，得b＝－4，故n＝(2，－4)，所以＋＝(1，－2)，故|＋|＝5，故選A.mnmn→→→→→4.如圖所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，點A，B，C在一條直線上，且AC＝－4CB，則()1A．c＝21a＋23bB．c＝23a－21b14C．c＝－a＋2bD．c＝－3a＋3b答案D→→→1→→1→→4→1→41解析c＝OB＋BC＝OB＋3AB＝OB＋3(OB－OA)＝3OB－3OA＝3b－3a.故選D.5．設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(1，－3)，且a⊥b，則向量a－3b與b的夾角為()ππ2π5πA.6B.3C.3D.6答案D解析因為a⊥b，所以x－3＝0，解得x＝3，所以a＝(3，1)，－3b＝(0,4)，a則cos〈a－3b，b〉＝a－3b·b－4335π＝＝－，所以向量a－3b與b的夾角為，|－3|·||4×226abb故選D.→→→A，B，C三點共線(O為該直6．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若OB＝a1OA＋a2019OC，且線外一點)，則S2019等于()2019A．2019B．2020C. 2 D．1010答案C解析→→→＝1，所以S＝2019(a＋a)＝201912019120192019120192，故選C.7．設(shè)a，b是非零向量，則“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由·＝|a|||，得cos〈，〉＝1，所以a∥；反之，∥不能推得cos〈a，〉abbabbabb＝1，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要條件，故選B.1→→→→8.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝3，DC＝2BD，則AD·BC的值為()A．2B．－2C．3D．－32答案B解析→·→＝(→＋→·→→2→→→2→→→＝2→1→→)＝AC＋CB·＝AC＋AB－ACAB＋AC·(－ADBCACCDBC3BC3·BC33AC2→21→→1→2AB)＝－|AB|＋AB·AC＋|AC|333＝－6＋1＋3＝－2，故選B.9．已知a＝(2，cosx)，b＝(sinx，－1)，當(dāng)x＝θ時，函數(shù)f(x)＝a·b取得最大值，則πsin2θ＋4等于()722272A.10B.10C．－10D．－10答案D解析f(x)＝·＝2sinx－cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝1，cosφ＝2，θ－φab55＝2kπ＋π，k∈Z，解得θ＝2kπ＋π＋φ，k∈Z，所以sinθ＝cosφ＝222，cosθ＝－sinφ514232θ＋π＝－5，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－5，cos2θ＝1－2sinθ＝－5，所以sin4＝272(sin2θ＋cos2θ)＝－10，故選D.210.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，→→→→BE·CE＝2，BF·CF＝－1，則→·→等于()BACAA．5B．6C．7D．8答案C解析→→→2→2→2→2→→→2→2→2→2BE·CE＝ED－BD＝4FD－BD＝2，BF·CF＝FD－BD＝－1，所以FD＝1，BD＝2，因→→→2→2→2→2此BA·CA＝AD－BD＝9FD－BD＝7，故選C.11．(2018·西寧檢測)定義：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于()A．6B．－8或83C．－8D．8答案D解析cosθ＝a·b＝－6＝－3，且θ∈[0，π]，則sinθ＝4，則|a×|＝|a|·||sinθ|a||b|1055bb410×5＝8，故選D.→→M的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點→→12．在△ABC中，CM＝2MB，過點P，Q，若AP＝mAB，→→)AQ＝nAC，則mn＋m的最小值為(A．63B．23C．6D．2答案D→2→1→解析由已知易得，AM＝3AB＋3AC，2→1→AM＝AP＋AQ.3m3n又M，P，Q三點共線，1＋＝1，3m3n2n∴m＝3n－1，易知3n－1>0.2nmn＋m＝m(n＋1)＝3n－1·(n＋1)24＝93n－1＋3n－1＋5≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時取等號．∴mn＋m的最小值為 2.第Ⅱ卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若復(fù)數(shù)(a＋i)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在y軸負(fù)半軸上，則實數(shù)a的值是________．答案－1解析因為復(fù)數(shù)(＋i)2＝(2－1)＋2i，aaa所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(a2－1,2a)．又因為該點在y軸負(fù)半軸上，所以有a2－1＝0，解得a＝－1.2a<0，14．(2018·石家莊檢測)已知若對任意一個單位向量e，滿足(a＋b)·e≤2成立，則a·b4的最大值是________．答案 1解析 (a＋b)·e＝|a＋b|·|e|cos〈a＋b，e〉≤|a＋b|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＋b，e同向共線時取等號，設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2≤4，a·b＝x1x2＋y1y2≤x＋x2＋y22y2≤×4＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝x，y＝y(tǒng)時取等號，故a·b111444的最大值是1.15．歐拉在1748年給出了著名公式iθθ(歐拉公式)是數(shù)學(xué)中最卓越的公式e＝cosθ＋isin之一，其中，底數(shù)e＝2.71828，根據(jù)歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一個復(fù)數(shù)z＝r(cosθ＋isinθ)，都可以表示成z＝reiθ的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，ππz1iiz＝________象限．若復(fù)數(shù)z1＝2e3，z2＝e2，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第z2答案四iπcosππ解析因為z1＝2e3＝23＋isin33i，ziπππ＝1＋＝e2＝cos＋isin＝i，222所以z＝z＝1＋3i＝1＋3i－i＝3－i.1z2ii－i復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z(3，－1)，點Z在第四象限．→→→S，12S1＝______.SS2答案16解析設(shè)E為AB的中點，連接OE，延長OC到D，使OD＝4OC，因為點O為△ABC內(nèi)一點，且滿足→＋→＋4→＝0，所以→＋→＋→＝0，則點O是△的重心，則，，，D共線，OAOBOCOAOBODABDEOC∶＝2∶1，所以∶＝1∶2，則∶＝3∶2，則1＝1△BCE＝1△ABC，所以S＝1.ODOEOCOECEOES3S6S1S26三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)在平面內(nèi)一點→→→A為直角，試求實數(shù)t的D滿足OD＝AB－tOC，若△ACD為直角三角形，且值．解→→，(1)由題意得AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)5→→→→，故AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)所以|→＋→|＝210，|→－→|＝42，ABACABAC故所求對角線的長分別為210，42.(2)由題設(shè)知→＝→－→＝(3＋2t,5＋)，ODABtOCt故D(3＋2t,5＋t)，→則AD＝(2t＋4，t＋7)．由△ACD為直角三角形，且→ →得AD·AC＝0，

πA＝2，即(2t＋4，t＋7)·(－1,1)＝0，解得t＝3.所以滿足題意的實數(shù) t的值為3.18．(12分)已知a＝(3，－2)，b＝(2,1)，O為坐標(biāo)原點．(1)若ma＋b與a－2b的夾角為鈍角，求實數(shù)m的取值范圍；(2)→→設(shè)OA＝a，OB＝b，求△OAB的面積．解(1)∵a＝(3，－2)，b＝(2,1)，ma＋b＝(3m＋2，－2m＋1)，a－2b＝(－1，－4)，令(ma＋b)·(a－2b)<0，6即－3m－2＋8m－4<0，解得m<5，11∵當(dāng)m＝－2時，ma＋b＝－2a＋b，a－2b與ma＋b方向相反，夾角為平角，不合題意．1∴m≠－2，∴若ma＋b與a－2b的夾角為鈍角，m的取值范圍為－∞，－1∪－1，6225.(2)設(shè)∠AOB＝θ，△OAB面積為S，1則S＝2|a|·|b|sinθ，22a·b2∵sinθ＝1－cosθ＝1－|a|·|b|，∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ222＝|a||b|－(a·b)＝65－16＝49.67∴S＝2.→ →19．(13分)如圖，在△OAB中，點P為線段AB上的一個動點 (不包含端點)，且滿足AP＝λPB.1→→→(1)若λ＝2，用向量OA，OB表示OP；(2)→→→→若|OA|＝4，|OB|＝3，且∠AOB＝60°，求OP·AB取值范圍．1→→→1→→解(1)∵AP＝2PB，∴OP－OA＝2(OB－OP)，∴3→＝→＋1→，即→＝2→＋1→.2OPOA2OBOP3OA3OB→→→→→→，(2)∵OA·OB＝|OA|·|OB|·cos60°＝6，AP＝λPB(λ>0)∴→－→＝λ(→－→)，(1＋λ)→＝→＋λ→，OPOAOBOPOPOAOB∴→＝1→＋λ→.OP1＋λOA1＋λOB→→→∵AB＝OB－OA，→→1→＋λ→→→∴OP·AB＝1＋λOA1＋λOB·(OB－OA)1→2λ→21λ→→＝－1＋λOA＋1＋λOB＋1＋λ－1＋λOA·OB－16＋9λ＋6－6λ3λ－1013＝1＋λ＝1＋λ＝3－1＋λ.13∵λ>0，∴3－1＋λ∈(－10,3)．→→．∴OP·AB的取值范圍是(－10,3)20．(13分)已知向量m＝3sinx，1，n＝cosx，cos2x444