函數(shù)與方程巧聯(lián)姻

函數(shù)與方程巧聯(lián)姻函數(shù)與方程不僅是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，而且有著密切的聯(lián)系，形成一個(gè)完整的知識體系，涉及知識面廣，可帶動(dòng)初中數(shù)與式，方程與函數(shù)的知識聯(lián)系，運(yùn)用靈活性大，可強(qiáng)化解題方法、技巧的訓(xùn)練，形成能力．1、一次函數(shù)與二元一次方程（組）二元一次方程與一次函數(shù)既有著本質(zhì)的區(qū)別，又有著內(nèi)在的聯(lián)系.具體地講：區(qū)別：(1)二元一次方程有兩個(gè)未知數(shù)，而一次函數(shù)則有兩個(gè)變量；(2)二元一次方程有一個(gè)等式表示兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系，而一次函數(shù)既可以有一個(gè)等式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，又可以有列表或圖象來表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系.聯(lián)系：(1)在直角坐標(biāo)系中分別描出以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，這些點(diǎn)都在相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象上.如方程2x+y=5有無數(shù)組解，如…，以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)(1，3)、(2，1)；…都在一次函數(shù)y=－2x+5的圖象上；(2)在一次函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程.如一次函數(shù)y=－x+2的圖象上任取一點(diǎn)(－3，3)，則一定是二元一次方程x+y=2的一組解.在同一直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定是相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn).如一次函數(shù)y=－2x+4與y=圖象的交點(diǎn)為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解，反之也成立.當(dāng)二元一次方程組無解時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖象就沒有交點(diǎn)，則兩個(gè)一次函數(shù)圖象就平行.反過來，當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)圖象平行時(shí)，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.例1、用作圖象的方法解二元一次方程組解由3x+2y=5，得y=－，由x+y=1，得y=－x+1.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)y=－的圖象L1和y=－x+1的圖象L2，如圖，觀察圖象，得L1、L2的交點(diǎn)為(3，－2)，即二元一次方程組的解是2、二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)與一元二次方程從形式上看十分相似，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.當(dāng)拋物線的y的值為0時(shí)，就得到一元二次方程，拋物線與x軸是否有交點(diǎn)就取決于一元二次方程的根的情況.一般來說，當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸的只有一個(gè)交點(diǎn)，此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的根；當(dāng)<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).例2、已知拋物線的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為，且，求m的值.【分析】令y=0，則，可利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解.值得注意的是，此題求出m的值后，必須檢驗(yàn)一元二次方程的△的取值，因?yàn)槿簟?lt;0，方程無解，拋物線與x軸也無交點(diǎn).解：令y=0，則，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，，，∴，當(dāng)時(shí)，得方程，而△=，當(dāng)時(shí)，得方程，而△=，∴.例3、已知二次函數(shù)（1）若拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍.（2）若拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求k的取值.【分析】此題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系來解，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可利用>0來確定k的取值范圍.當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，說明拋物線與x軸只有有一個(gè)的交點(diǎn)，可利用=0