線面垂直與面面垂直典型例題

線面垂直與面面垂直基礎(chǔ)要點線面垂直線線垂直面面垂直1、若直線a與平面:-,1所成的角相等，則平面:-與］的地點關(guān)系是（B）A、：II：B、不一定平行于1C、〉不平行于］D、以上結(jié)論都不正確2、在斜三棱柱ABC-ABCBAC=90',又BC1丄AC，過C1作CH丄底面ABC垂足111為H，則H—定在（B）、直線BC上D、△ABC的內(nèi)部A、直線AC上B、直線AB上C3、如圖示，平面「丄平面,A，B」AB與兩平面J所成的角分別為-和-過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A,B，貝yAB:AB(A)A、2:1B、3:1C、3:2D、4:3BB:Ci4、如圖示，直三棱柱ABB^DCC1中ABB=90',AB=4BC=2,CG=1DC上有一動點卩，則厶APG周長的最小值是

ADC5.已知長方體ABCD-A^G。！中，AA=AB=2ADi

BCi若棱AB上存在點P,使得DjP_PC,則棱AD長B1/"的取值范圍是ZD—C—--------------------1題型一：直線、平面垂直的應(yīng)用1.（2014,江蘇卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點.已

B知PA_AC,PA二6,BC=8,DF=5求證：⑴PAL平面DEF錯誤！未找到引用源平面BDE_平面ABC⑵錯誤！未找到引用源。.證明：⑴因為D,E分別為棱PC,AC的中點,所以DE//PA.又因為PA?平面DEF,DE平面DEF,所以直線PA//平面DEF.(2)因為D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點，PA=6,BC=8,所以DE//PA,DE=11-PA=3,EF=_BC=4.22又因DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以/DEF=90°即DE丄EF.又PA丄AC,DE//PA,所以DE丄AC.因為ASEF=E,AC二平面ABC,EF二平面ABC,所以DE丄平面ABC.又DE二平面BDE,所以平面BDE丄平面ABC.(2014,北京卷，文科)如圖，在三棱柱ABC-ABG中，側(cè)棱垂直于底面，AB_BC,AA=AC=2,E、F分別為ACi、BC的中點.求證：平面ABE_平面B1BCC1；(2)求證：C1F//平面ABE.證明：(1)在三棱柱ABC—ABG中，BB_底面ABC,.BB_AB,.AB_BC,AB_平面B1BCC1,TAB平面ABE,.平面ABE_平面BBCG.⑵取AB的中點G,連結(jié)EG,FG1■-E、F分別為AG、BC的中點，?FGLAC,FG二AC,2\*AC」AC,AC=AC,FG_EG,FG=EGFGE1,則四邊形。為平行四邊形,.GFLEG,TEG平面ABE,GF二平面ABE,GF」平面ABE.3.如圖，P是.ABC所在平面外的一點，且PA_平面ABC，平面PAC_平面PBC?求證BC_AC.剖析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條歸入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直獲得線線垂直.證明：在平面PAC內(nèi)作AD_PC，交PC于D.因為平面PAC—平面PBC于PC,AD平面PAC，且AD_PC，所以AD_平面PBC?又因為BC平面PBC，于是有AD_BC①?此外PA_平面ABC,BC平面ABC，所以PA_BC?由①②及ADPA二A，可知BC_平面PAC?因為AC平面PAC，所以BC_AC?說明：在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系，經(jīng)過此題能夠看到，面面垂直=線面垂直=?線線垂直.4.過點S引三條不共面的直線SA、SB、SC，如圖，.BSC=90,._ASC=-ASB=60，若截取SA=SB=SC=a⑴求證：平面ABC_平面BSC；(2)求S到平面ABC的距離.A剖析：要證明平面

ABC

_平面

BSC

,根據(jù)面面垂直的判斷定理，

須在平面

ABC

或平面BSC

內(nèi)找到一條與另一個平面垂直的直線

.(1)證明：TSA=SB=SC=a又.ASC=/ASB=60,

,/?ASB和AASC都是等邊三角形，AB=AC=a,取BC的中點H，連結(jié)AH,???AH

_BC

?在RtBSC中，BS二CS二a,?SH_BC,BC=?2a,=AC-CH=a2-(a)在二SHA中，?AH,SH,SA2?-SA2-SH2HA2,?AH—SH,?AH—平面SBC??/AH二平面ABC，?平面ABC_平面BSC.或：???二AB，?極點A在平面BSC內(nèi)的射影H為厶BSC的外心,又BSC為Rt,?H在斜邊SA=ACBC上，又BSC為等腰直角三角形，H為?BC的中點，AH_平面BSC.???AH平面ABC，?平面ABC_平面BSC.(2)解：由前所證：SH_AH,SH_BC,?.SH_平面ABC,I—?SH的長即為點S到平面ABC的距離，SH二匹二上a,22巧???點到平面ABC的距離為a?S25、如圖示，ABCD為長方形，SA垂直于ABCD所在平面，過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G,求證：AE丄SB,AG丄SDC在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為2-3的菱形，?ADC=60,M是PB中點。⑴求證：PA_CD⑵求證：平面PAB_平面CDM7.在多面體ABCDE中,AB=BC=AC=AE=1CD=2AE丄面ABCAE//CD。⑴求證:AE//平面BCD(2)求證：平面BED_平面BCDB1C1題型二、空間角的問題1.女口圖示，在正四棱柱ABC-U1AB中：，DCBFED1A1B1C1AB=1,BB^,31,E為BB上使BE=1的點，平面AEC交DD于F,交AU的延,,,,長線于G,求：(1)異面直線AD與GG所成的角的大小(2)二面角A-GG-A的正弦值2.如圖，點A在銳二面角〉—MN一■-的棱MN上，在面〉內(nèi)引射線AP，使AP與MN所成的角?PAM為45，與面1所成的角大小為30，求二面角〉-MN-的大小.N剖析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個可解的三角形中(最好是直角三角形)，經(jīng)過解三角形使問題得解.Fp、解：在射線AP上取一點B，作BH_1于H,4/2H連結(jié)AH，則.BAH為射線AP與平面1所成的角，BAH-30.再作BQ_MN，交MN于Q,連結(jié)HQ，則HQ為BQ在平面一：內(nèi)的射影?由三垂線定理的逆定理，HQ_MN,BQH為二面角〉-MN--的平面角.設(shè)BQ=a,在Rt=BAQ中，一BQA=90，-BAM二45,AB=.2a,在Rt△BHQ中,2.2BHBHQ-90,BQ=a,BHa,sinBQHBQ2.BQH是銳角，..BQH=45,即二面角：-?MN-■-等于45.說明：此題綜合性較強，在一個圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫娼牵疫€要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個平面角的定義增添適合的協(xié)助線.3.正方體ABCD—AB.GD,的棱長為1,P是AD的中點?求二面角,—P的大小.A—BD剖析：求二面角重點是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點，在二個半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡易，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這個平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用?在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如慮圖到考AB垂直于平面AD,,BD,在平面AD,上的射影就是AD,?再過P作AD,的垂線PF,則PF

_面

ABD

,，過

F作

D,B

的垂線

FE,

.PEF即為所求二面角的平面角了

.a解：過P作BDi及AD,的垂線，垂足分別是E、F,連結(jié)EF.AB_面AD,,PF面AD,,AB_PF，又PF_AD,,???PF_面ABD,.又???PE_BD,,?EF_BD,,PEF為所求二面角的平面角.PFAP?/RtAD,Ds：PFA,DD,AD,而APDD,=,,AD,=2,?PF-.24.52在PBD,中，PD,二PB二.???PE_BD,,?BE」BD2在RtPEB中，PE二PB2-BE22，在RtPEF中，snPEFPF?PEF=30.2PE4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分別是AB、CD和PC的中點,求證：MN//平面PAD若二面角P—DC—A為—，求證：平面MND丄平面PDC45?已知正方體中ABC^A1B1C1D1,E為棱CC1上的動點，求證：AE丄BD(2)當E恰為棱CC1的中點時，求證：平面ABD丄平面EBD在棱CC1上是否存在一個點E，能夠使二面角A-BD-E的大小為45?如果存在，試確定E在棱CC1上的地點；如果不存在，請說明原因。題型三、探索性、開放型問題1.如圖，已知正方形

ABCD