機(jī)械工程控制基礎(chǔ)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第1頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。第2頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。實(shí)驗(yàn)法第3頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3、數(shù)學(xué)模型的形式時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖頻率域：頻率特性二、系統(tǒng)的微分方程1、定義：時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。2、

建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；第4頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程；消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列3、

控制系統(tǒng)微分方程的列寫機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：第5頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x

(t)v

(t)彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第6頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第7頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響第8頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。第9頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。第10頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ—旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K—扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C—粘性阻尼系數(shù)柔性軸第11頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五電氣系統(tǒng)電阻電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)電容Ci(t)u(t)第13頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五電感Li(t)u(t)第14頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)第15頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。若L=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：第16頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五有源電網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：第17頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t),輸出為x(t)2)列寫微分方程，受力分析3)整理可得：第18頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五小結(jié)

物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)；

通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。第19頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)；線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：齊次性：或：第20頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五疊加液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。A：箱體截面積；第21頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，為常數(shù)。線性系統(tǒng)微分方程的一般形式第22頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，m≤n。三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1、線性化問題的提出

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。

非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。第23頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化泰勒級(jí)數(shù)展開法函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0,y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為：略去含有高于一次的增量x=x-x0的項(xiàng)，則：或：y-y0=y=Kx，其中：第24頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開獲得線性化的增量方程。增量方程：靜態(tài)方程：其中：第25頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五滑動(dòng)線性化——切線法0xy=f(x)y0x0xy’y非線性關(guān)系線性化A線性化增量增量方程為：y

y'=xtg切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立步驟第26頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)；列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程；消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：非線性項(xiàng)的泰勒展開為：第27頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五則：由于：注意到：所以：第28頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：此時(shí)，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點(diǎn)的增量。4、線性化處理的注意事項(xiàng)線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)；線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；第29頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問題處理。inout0近似特性曲線真實(shí)特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性第30頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五inout0繼電器非線性inout0間隙非線性例：液壓伺服機(jī)構(gòu)P31:解：1）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入為x,輸出為y2)列寫原始微分方程：第31頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3)非線性函數(shù)線性化：4)代入方程，整理可得：第32頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五四、拉氏變換和拉氏反變換1、拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)(t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實(shí)數(shù)）；第33頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。2、拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號(hào)。第34頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3、幾種典型函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)第35頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1第36頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉公式，有：第37頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從而：同理：第38頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五單位脈沖函數(shù)(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)1由洛必達(dá)法則：所以：第39頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)1第40頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。第41頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五常用拉氏變換表第42頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五5、拉氏變換的主要定理疊加定理齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。實(shí)微分定理第43頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：由于即：所以：同樣有：第44頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：第45頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五積分定理當(dāng)初始條件為零時(shí)：第46頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：同樣：第47頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)初始條件為零時(shí)：延遲定理設(shè)當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意0，有：函數(shù)f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第48頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五位移定理例：初值定理第49頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：其中:第50頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。終值定理若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面，即：存在。則：第51頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五證明：又由于：即：終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。第52頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五7、求解拉氏反變換的部分分式法部分分式法如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)第53頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負(fù)值，稱為F(s)的極點(diǎn)；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時(shí)，即可將F(s)展開成部分分式。第54頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五F(s)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點(diǎn)處的留數(shù)。實(shí)際常如下計(jì)算：第55頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：求的原函數(shù)。解：即：第56頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例求所示象函數(shù)的原函數(shù)f（t）解：其中：p1＝0、p2＝-2、p3＝-5同理：A2=0.5、A3＝－0.6其反變換為：第57頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)共軛復(fù)數(shù)根p1＝α+jω、p2＝α－jω第58頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j2第59頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五F(s)含有重極點(diǎn)設(shè)F(s)存在r重極點(diǎn)-p0，其余極點(diǎn)均不同，則：式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。第60頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五……第61頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五注意到：所以：第62頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：B（s）＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F（s）可以展開為：從而：第63頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：求的原函數(shù)。解：第64頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五于是：8、應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程求解步驟將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程；解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。第65頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第66頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五實(shí)例設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換：第67頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五即：對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：從而：第68頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五第69頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第70頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡(jiǎn)單地用sn代替dn/dtn得到。由上述實(shí)例可見：系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)第71頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五五、傳遞函數(shù)1、傳遞函數(shù)的概念和定義傳遞函數(shù)在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。零初始條件：

t<0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；第72頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)求解示例質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第73頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：第74頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五幾點(diǎn)結(jié)論傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。第75頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：第76頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五令：則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)特征方程式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)：G(0)=bm/an=K第77頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。零點(diǎn)和極點(diǎn)將G(s)寫成下面的形式：

N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性第78頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。零、極點(diǎn)分布圖

將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“×”表示。G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖012312-1-2-3-1-2j第79頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五3、傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律；第80頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。4、脈沖響應(yīng)函數(shù)初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：即：g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的相同信息。第81頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五5、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。典型環(huán)節(jié)示例比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。第82頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器第83頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五慣性環(huán)節(jié)凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：T—時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；第84頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC第85頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五微分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量的微分。運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，—微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨(dú)立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。第86頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò)顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|<<1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：第87頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢(shì)的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，T—積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。第88頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量取決于輸入量對(duì)時(shí)間的積累過程。且具有記憶功能；具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當(dāng)輸入量為常值A(chǔ)時(shí)，由于：輸出量須經(jīng)過時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t=0時(shí)的值A(chǔ)。第89頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五如：有源積分網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a第90頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五液壓缸Aqi(t)xo(t)第91頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五振蕩環(huán)節(jié)含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數(shù)第92頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，第93頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。二階微分環(huán)節(jié)式中，—時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于二階微分環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數(shù)運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：第94頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五延遲環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值；運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：式中，為純延遲時(shí)間。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0～時(shí)間內(nèi),沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：第95頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測(cè)量小結(jié)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；第96頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性共同組成；同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖1、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。第97頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五方框圖的結(jié)構(gòu)要素信號(hào)線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。X(s),x(t)信號(hào)線信號(hào)引出點(diǎn)（線）表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向。

同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)第98頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五函數(shù)方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）信號(hào)之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號(hào)“”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。第99頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。第100頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五求和點(diǎn)函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號(hào)線、函數(shù)方框、信號(hào)引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方框圖來表示。第101頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)方框圖的建立步驟建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號(hào)的因果關(guān)系（輸入/輸出）。對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。第102頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五示例RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)無源RC網(wǎng)絡(luò)拉氏變換得：第103頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖第104頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化方框圖的運(yùn)算法則串聯(lián)連接G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)第105頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五并聯(lián)連接Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)第106頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五反饋連接G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)第107頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五方框圖的等效變換法則求和點(diǎn)的移動(dòng)G(s)ABC±求和點(diǎn)后移G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±G(s)ABC±求和點(diǎn)前移第108頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五引出點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)前移G(s)ACC引出點(diǎn)后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA第109頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五一般系統(tǒng)方框圖簡(jiǎn)化方法：1)明確系統(tǒng)的輸入和輸出。對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，針對(duì)每個(gè)輸入及其引起的輸出分別進(jìn)行化簡(jiǎn)；2)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)無交叉回路，則根據(jù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，并聯(lián)和反饋連接的等效從里到外進(jìn)行簡(jiǎn)化；3)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)有交叉回路，則根據(jù)相加點(diǎn)、分支點(diǎn)等移動(dòng)規(guī)則消除交叉回路，然后按每2）步進(jìn)行化簡(jiǎn)；注意：分支點(diǎn)和相加點(diǎn)之間不能相互移動(dòng)。第110頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A解：1、A點(diǎn)前移；H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)第111頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、消去H2(s)G3(s)反饋回路H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)H3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反饋回路第112頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五Xi(s)Xo(s)4、消去H3(s)

反饋回路例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡(jiǎn)化第113頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五第114頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡(jiǎn)化第115頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五2、梅遜公式

在相加點(diǎn)，對(duì)反饋信號(hào)為相加時(shí)取負(fù)號(hào)，對(duì)反饋信號(hào)為相減時(shí)取正號(hào)。條件：1）整個(gè)方框圖只有一條前向通道；2）各局部回路存在公共的傳遞函數(shù)方框。第116頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡(jiǎn)化第117頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五7、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)考慮擾動(dòng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)N(s)++Xi(s)到Xo(s)的信號(hào)傳遞通路稱為前向通道；Xo(s)到B(s)的信號(hào)傳遞通路稱為反饋通道；第118頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)也可定義為反饋信號(hào)B(s)和偏差信號(hào)

(s)之間的傳遞函數(shù)，即：將閉環(huán)控制系統(tǒng)主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開，此時(shí)，前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。記為GK(s)。第119頁，共134頁，2023年，2月20日，星期五

xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0，此時(shí)在輸入