概率學(xué)中的基本使用

概率學(xué)中的基本使用第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五熟練掌握MATLAB軟件的基本操作;(2)熟練掌握MATLAB中數(shù)據(jù)輸入的基本方法;(3)熟練掌握數(shù)據(jù)加、減、乘和除四則運(yùn)算的基本方法;(4)熟練掌握函數(shù)求導(dǎo)數(shù)、求微分和積分運(yùn)算的基本方法;(5)熟悉與排列、組合有關(guān)的操作命令．

二.實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五1、啟動(dòng)與退出

;2、MATLAB的常用命令有：help,clc,clear.3、數(shù)據(jù)的輸入

（1）標(biāo)量的輸入對(duì)于標(biāo)量數(shù)據(jù),只要在命令窗口中直接輸入即可.例1-1

在命令窗口中輸入:a=4%將數(shù)值4賦給變量a.回車后顯示:a=4三.實(shí)驗(yàn)操作過程第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)行向量的輸入(a)直接輸入:數(shù)據(jù)放在方括號(hào)“[]”內(nèi)，其間加逗號(hào)“,”或空格分開.例1-2在命令窗口中輸入:a1=[1,3,6,8]%將行向量(1368)賦給變量a1.回車后顯示:a1=1368

第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(b)等差數(shù)列:以確定的步長等分區(qū)間,得到等差數(shù)列.如果向量中的數(shù)據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列,則可以用冒號(hào)算符來創(chuàng)建.例1-3

在命令窗口中輸入:a2=1:0.5:3%將區(qū)間[1,3]以0.5為步長等分,賦給變量a2.回車后顯示:a2=1.00001.50002.00002.50003.0000當(dāng)步長為1時(shí),還可以省略步長.第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(3)列向量的輸入(a)直接輸入:

數(shù)據(jù)放在方括號(hào)“[]”內(nèi)，其間加分號(hào)“;”分行.例1-4在命令窗口中輸入:b1=[1;3;6;8]%將列向量(1368)'賦給變量b1.回車后顯示:b1=1368

第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(b)把行向量轉(zhuǎn)置成列向量:加轉(zhuǎn)置運(yùn)算符號(hào)“'”.例1-5在命令窗口中輸入:b2=[1,3,6,8]'%將行向量(1368)轉(zhuǎn)置后賦給變量b2.

回車后顯示:b2=1368

第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(4)矩陣的直接輸入簡單的矩陣可以直接輸入.其行間數(shù)據(jù)用逗號(hào)“,”或空格分隔，用分號(hào)“；”分行.例1-6

在命令窗口中輸入:A=[1,2,3;4,5,7]回車后顯示:A=123457注意:在MATLAB中,無論是向量,還是矩陣,直接輸入的時(shí)候都是用方括號(hào)“[]”括了進(jìn)來.在方括號(hào)中的數(shù)據(jù),如果是用逗號(hào)“,”分隔的,則數(shù)據(jù)在同一行中;如果是用分號(hào)“；”分隔的,則數(shù)據(jù)在不同行中.第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(5)生成矩陣的函數(shù)在MATLAB中,有許多的函數(shù)可以生成矩陣,常用的有ones,zeros,eye.這三個(gè)函數(shù)的調(diào)用方式類似.(a)全1陣函數(shù)用函數(shù)ones(n,m),可以生成n行m列元素全是1的矩陣.例1-7在命令窗口中輸入:A1=ones(3)%生成3行3列的元素都是1的矩陣.

回車后顯示:A1=111111111

第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(b)全0陣函數(shù)用函數(shù)zeros(n,m),可以生成n行m列元素全是0的矩陣.例1-8在命令窗口中輸入:A2=zeros(2,3)%生成2行3列的元素都是0的矩陣.回車后顯示:A2=000000

第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(c)單位陣函數(shù)用函數(shù)eye(n,m),可以生成n行m列單位矩陣.它和線性代數(shù)中講的單位矩陣(要求方陣)含義不同.例1-9在命令窗口中輸入:A3=eye(2,3)%生成2行3列的單位矩陣.

回車后顯示:A3=100010注意:MATLAB中的單位陣的意義更廣泛,不一定是方陣.第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五3.數(shù)組加、減、乘、除四則運(yùn)算及其冪、開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1)數(shù)組運(yùn)算①數(shù)組與標(biāo)量的四則運(yùn)算數(shù)組與標(biāo)量之間的四則運(yùn)算是指數(shù)組中的每個(gè)元素與標(biāo)量進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算.例1-10

對(duì)數(shù)組進(jìn)行乘、除與加、減一個(gè)數(shù)的運(yùn)算.在命令窗口中輸入:x=[134;265;324];a=2*x-2c=x/2第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五回車后顯示:a=0462108426c=0.50001.50002.00001.00003.00002.50001.50001.00002.0000第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-11

進(jìn)行數(shù)組間的加、減法、乘法與除法運(yùn)算.在命令窗口中輸入:a=[134;265;324];b=[231;412;453];c=a+bd=a./b%注意比較沒有小點(diǎn)號(hào)時(shí)的d=a/b矩陣運(yùn)算.回車后顯示:c=365677777d=0.50001.00004.00000.50006.00002.50000.75000.40001.3333第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五由于數(shù)組的除法運(yùn)算有點(diǎn)特殊,為了便于讀者使用,我們對(duì)數(shù)組的除法運(yùn)算規(guī)則總結(jié)如下:(a)數(shù)組間的除法運(yùn)算為參與運(yùn)算的數(shù)組中對(duì)應(yīng)元素相除,結(jié)果數(shù)組與參與運(yùn)算的數(shù)組大小相同.(b)數(shù)組與標(biāo)量的除法運(yùn)算為數(shù)組中的每個(gè)元素與標(biāo)量相除,結(jié)果數(shù)組與參與運(yùn)算的數(shù)組大小相同.(c)數(shù)組的除法運(yùn)算符號(hào)有兩個(gè),即左除號(hào)“./”與右除號(hào)“.\”,它們的關(guān)系是:a./b=b.\a.第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五③數(shù)組的冪運(yùn)算在MATLAB中,數(shù)組的冪運(yùn)算與矩陣的冪運(yùn)算完全不同.數(shù)組的冪運(yùn)算符號(hào)為“.^”(注意運(yùn)算符中的小點(diǎn)號(hào)),用來表示元素對(duì)元素的冪運(yùn)算.而矩陣的冪運(yùn)算符號(hào)為“^”.例1-12

進(jìn)行數(shù)組與數(shù)的冪運(yùn)算.在命令窗口中輸入:a=[134;265;324];c=a.^2回車后顯示:c=1916436259416為了便于比較,下面列出矩陣的冪運(yùn)算.第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-13與數(shù)組冪運(yùn)算比較,進(jìn)行矩陣的冪運(yùn)算.a=[134;265;324];c=a^2c=192935295258192938例1-14

進(jìn)行數(shù)組與數(shù)組的冪運(yùn)算.在命令窗口中輸入:a=[134;2,6,5;32,4];b=[231;412;453];c=a.^b回車后顯示:c=127416625813264上面兩數(shù)組的冪運(yùn)算為數(shù)組中各對(duì)元素間的運(yùn)算.第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五④數(shù)組的開方運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算由于在MATLAB中,數(shù)組的運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是數(shù)組內(nèi)部每個(gè)元素的運(yùn)算,因此數(shù)組的開方運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算與標(biāo)量運(yùn)算完全一樣,運(yùn)算函數(shù)分別為“sqrt”,“exp”,“l(fā)og”等.例1-15

進(jìn)行數(shù)組的開方運(yùn)算.在命令窗口中輸入:a=[194;251636];c=sqrt(a)回車后顯示:c=132546數(shù)組的對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算與數(shù)組的開方運(yùn)算形式完全一樣.第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五4.矩陣的基本運(yùn)算矩陣的基本運(yùn)算包括矩陣的四則運(yùn)算、矩陣與標(biāo)量的運(yùn)算、矩陣的冪運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、開方運(yùn)算以及矩陣的逆運(yùn)算、行列式運(yùn)算等.下面僅對(duì)矩陣的四則運(yùn)算、矩陣與標(biāo)量的運(yùn)算進(jìn)行說明.(1)矩陣的四則運(yùn)算矩陣的四則運(yùn)算與前面講的數(shù)組運(yùn)算基本相同,但也有一些差別.其中,矩陣的加、減運(yùn)算與數(shù)組的加、減運(yùn)算完全相同,要求進(jìn)行運(yùn)算的兩個(gè)矩陣的大小完全相同,使用的運(yùn)算符號(hào)也是“+”與“-”.第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-16

進(jìn)行矩陣加減運(yùn)算.在命令窗口中輸入:a=[12;35;26];b=[24;18;90];c=a+b回車后顯示:c=36413116第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)矩陣A是一個(gè)i×j大小的矩陣,則要求與之相乘的矩陣B必須是一個(gè)j×k大小的矩陣,此時(shí)A與B矩陣才能進(jìn)行相乘.矩陣的乘法運(yùn)算使用的運(yùn)算符號(hào)是“*”.例1-17

進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算.在命令窗口中輸入:a=[12;35;26];b=[241;890];c=a*b%注意比較d=b*a,可見a*b≠b*a.d=b*a回車后顯示:c=182214657352622d=16303561第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)然,矩陣乘法也可以像數(shù)組乘法那樣,進(jìn)行矩陣元素的相乘,此時(shí)要求進(jìn)行相乘的兩矩陣大小完全相同,用的運(yùn)算符號(hào)為“.*”.

例1-18

進(jìn)行矩陣乘法“*”運(yùn)算,比較矩陣元素間乘法“.*”運(yùn)算.在命令窗口中輸入:a=[120;25-1;410-1];c=[124;2510;0-1-1];d=c.*a%注意比較e=a.*c,可見a.*c=c.*a.e=a.*c回車后顯示:d=140425-100-101e=140425-100-101第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五在MATLAB中,矩陣的除法運(yùn)算有兩個(gè)運(yùn)算符號(hào),分別為左除“\”與右除“/”.

矩陣的右除運(yùn)算速度要慢一點(diǎn),而左除運(yùn)算可以避免奇異矩陣的影響.對(duì)于方程Ax=b,若此方程為超定方程,則使用除法運(yùn)算符“\”與“/”可以自動(dòng)找到使誤差A(yù)x-b的平方和最小的解.若此方程為不定方程,則使用除法運(yùn)算符“\”與“/”求得的解至多有Rank(A)(矩陣A的秩)個(gè)非零元素,而且求得的解是這種類型的解中范數(shù)最小的一個(gè).例1-19進(jìn)行矩陣除法運(yùn)算:解矩陣方程Ax=b.在命令窗口中輸入:a=[213420;57820;211417;343138];b=[10203040]';x=b\a%方程x=A-1b,A存在逆矩陣.回車后顯示:x=0.76671.18670.8767上例的方程Ax=b為超定情況.注意,結(jié)果矩陣X是列向量形式.第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-20

進(jìn)行矩陣除法運(yùn)算:解矩陣方程Ax=b.在命令窗口中輸入:a=[2134205;78202114;17343138];%A為3行4列矩陣.b=[102030]';x=b\a%對(duì)于方程Ax=b,A不存在逆矩陣.回車后顯示:x=1.62861.25711.10711.0500上例的方程Ax=b為不定情況.它有三個(gè)方程、四個(gè)未知量,理論上有無窮多解.這里的解是使解中范數(shù)最小的一個(gè).第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)矩陣與標(biāo)量的四則運(yùn)算矩陣與標(biāo)量間的四則運(yùn)算和數(shù)組與標(biāo)量間的四則運(yùn)算完全相同,即矩陣中的每個(gè)元素與標(biāo)量進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算.需要說明的是,當(dāng)進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí),標(biāo)量只能做除數(shù).例1-21進(jìn)行矩陣與標(biāo)量的四則運(yùn)算.在命令窗口中輸入:b=[213420;782021;173431];c=b+2d=b/2回車后顯示:c=233622802223193633d=10.500017.000010.000039.000010.000010.50008.500017.000015.5000第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五5.函數(shù)求導(dǎo)數(shù)、微分和積分

(1)數(shù)值微分與符號(hào)微分微分是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一.在MATLAB中,符號(hào)微分由函數(shù)“diff”來實(shí)現(xiàn).diff函數(shù)可同時(shí)計(jì)算數(shù)值微分和符號(hào)微分.當(dāng)輸入的參數(shù)是數(shù)值時(shí),MATLAB能非常巧妙地對(duì)其進(jìn)行數(shù)值微分;當(dāng)輸入的參數(shù)是符號(hào)字符串時(shí),MATLAB同樣能非常巧妙地對(duì)其進(jìn)行符號(hào)微分.diff函數(shù)的調(diào)用格式如下:·diff(f)%對(duì)findsym函數(shù)返回的獨(dú)立變量求微分,f為符號(hào)表達(dá)式;·diff(f,'a')%對(duì)a變量求微分,f為符號(hào)表達(dá)式;·diff(f,n)%對(duì)findsym函數(shù)返回的獨(dú)立變量求n次微分,f為符號(hào)表達(dá)式;·diff(f,'a',n)或diff(f,n,'a')%對(duì)變量a求n次微分,f為符號(hào)表達(dá)式.

第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-22

對(duì)函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)和.

在命令窗口中輸入:symsx;%syms創(chuàng)建變量x.f=sym('(x-1)^3/(x-1)');%sym和單引號(hào)創(chuàng)建變量符號(hào)表達(dá)式.b=diff(f);c=diff(f,'2')回車后顯示:b=2*x-2c=2.0000第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五同樣地,函數(shù)diff也可對(duì)符號(hào)矩陣進(jìn)行運(yùn)算.此時(shí),它是對(duì)符號(hào)矩陣中的每個(gè)元素進(jìn)行微分.例1-23

對(duì)符號(hào)矩陣進(jìn)行微分運(yùn)算:求矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在命令窗口中輸入:f=sym('[cos(x),sin(x);x^2+x+1tan(x)]');b=diff(f)回車后顯示:b=[-sin(x),cos(x)][2*x+1,1+tan(x)^2]第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)數(shù)值積分與符號(hào)積分由高等數(shù)學(xué)可知,積分比微分復(fù)雜得多,很多情況下,積分不一定能成功.當(dāng)在MATLAB中進(jìn)行符號(hào)積分找不到原函數(shù)時(shí),它將返回未經(jīng)計(jì)算的命令.符號(hào)積分由函數(shù)“int”來實(shí)現(xiàn).int函數(shù)的調(diào)用格式如下表示:·int(f)%對(duì)findsym函數(shù)返回的獨(dú)立變量求不定積分,f為符號(hào)表達(dá)式;·int(f,v)%對(duì)v變量求不定積分,f為符號(hào)表達(dá)式;·int(f,a,b)%對(duì)findsym函數(shù)返回的獨(dú)立變量求從a到b的定積分,f為符號(hào)表達(dá)式;·int(f,v,a,b)%對(duì)v變量求從a到b的定積分,f為符號(hào)表達(dá)式.

第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-24

計(jì)算含參變量的不定積分在命令窗口中輸入:symsualpha;%syms創(chuàng)建變量(sin(alpha*u),alpha)回車后顯示:ans=-1/u*cos(alpha*u)例1-25計(jì)算不定積分在命令窗口中輸入:symsxint(1/(1+x^2))回車后顯示:ans=actan(x)第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-26計(jì)算不定積分在命令窗口中輸入:int('log(x)/exp(x^2)')回車后顯示:Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.InC:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.matline58ans=int(log(x)/exp(x^2),x)上例中,當(dāng)找不到原函數(shù)時(shí),返回未經(jīng)計(jì)算的函數(shù).與函數(shù)diff一樣,函數(shù)int也可對(duì)符號(hào)矩陣進(jìn)行運(yùn)算.此時(shí),它是對(duì)符號(hào)矩陣中的每個(gè)元素進(jìn)行積分.第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-27對(duì)符號(hào)矩陣進(jìn)行積分運(yùn)算.在命令窗口中輸入:symstalpha;int([exp(t),exp(alpha*t)],t)回車后顯示:ans=[exp(t),1/alpha*exp(alpha*t)]第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五5.概率計(jì)算中常用的函數(shù)

在古典概型中,計(jì)算概率時(shí),經(jīng)常要用到階乘、組合數(shù)等,在MATLAB中,有相應(yīng)的函數(shù)可以計(jì)算階乘、組合.(1)計(jì)算階乘在MATLAB中,用函數(shù)factorial計(jì)算階乘.基本調(diào)用格式:·N=factorial(n)%計(jì)算出n的階乘,并賦給N.例1-28

計(jì)算階乘3!.在命令窗口中輸入:N=factorial(3)%計(jì)算3!,賦給變量N.回車后顯示:N=6在使用這一函數(shù)時(shí),要注意,當(dāng)n不超過170時(shí),可以正確地計(jì)算出n的階乘;當(dāng)n超過170后,因?yàn)槌^了計(jì)算機(jī)中整數(shù)的表示范圍,所以顯示為Inf(即無窮大).第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)雙階乘的計(jì)算在MATLAB沒有直接計(jì)算雙階乘的函數(shù),但可以用連乘積函數(shù)prod來計(jì)算.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),雙階乘n!!=2*4*…*n.計(jì)算雙階乘用N=prod(2:2:n).例1-29

計(jì)算偶數(shù)雙階乘8!!.在命令窗口中輸入:N=prod(2:2:8)%計(jì)算偶數(shù)雙階乘8!!.回車后顯示:N=384當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),雙階乘n!!=1*3*…*n.計(jì)算雙階乘用N=prod(1:2:n).例1-30

計(jì)算奇數(shù)雙階乘9!!.在命令窗口中輸入:N=prod(1:2:9)%計(jì)算奇數(shù)雙階乘9!!.回車后顯示:N=945也可以用prod函數(shù)計(jì)算階乘.比如計(jì)算n的階乘,只要在命令窗口中輸入:N=prod(1:n),回車后就得到了n的階乘.使用這個(gè)函數(shù)也要注意n不能過大.第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(3)計(jì)算組合數(shù)計(jì)算組合