歐拉方法在常微分方程

歐拉方法在常微分方程第1頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第8章常微分方法的數(shù)值解法

科學(xué)技術(shù)與工程問題常常需要建立微分方程形式的數(shù)學(xué)模型，下面是這類問題的例子。設(shè)N（t）為某物種的數(shù)量，為該物種的的出生率與死亡率之差，為生物的食物供給及它們所占空間的限制，描述該物種增長(zhǎng)率的數(shù)學(xué)模型是設(shè)Q是電容器上的帶電量，C為電容，R為電阻，E為電源的電動(dòng)勢(shì)，描述該電容器充電過程的數(shù)學(xué)模型是第2頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五以上兩個(gè)例子是常微分方程初值問題，下面是一個(gè)兩點(diǎn)邊值問題的例子。設(shè)一跟長(zhǎng)為L(zhǎng)的矩形截面的梁，兩端固定。E是彈性模量，S是端點(diǎn)作用力，I（x）是慣性矩，q是均勻荷載強(qiáng)度，梁的橈度y（x）滿足如下方程針對(duì)實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型，要找出模型解的解析表達(dá)式往往是困難的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的數(shù)值解法，即計(jì)算解域內(nèi)離散點(diǎn)上的近似值的方法。本章討論常微分方程數(shù)值解的基本方法和理論。第3頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8.1Euler方法8.1.1Euler方法及其有關(guān)的方法考慮一階常微分方程初值的問題：設(shè)f（x,y）是連續(xù)函數(shù)，對(duì)y滿足Lipschitz條件，這樣初值問題的解是存在唯一的，而且連續(xù)依賴于初始條件。為了求得離散點(diǎn)上的函數(shù)值，將微分方程的連續(xù)問題（8.1.1）進(jìn)行離散化。一般是引入點(diǎn)列{}，這里為步長(zhǎng)，經(jīng)?？紤]定長(zhǎng)的情形，即。記為初始問題（8.1.1）的問題準(zhǔn)確解在處的值，用均差近似代替（8.1.1）的導(dǎo)數(shù)得第4頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五令為的近似值，將上面兩個(gè)近似寫成等式，整理后得（8.1.2）（8.1.3）從處的初值開始，按（8.1.2）可逐步計(jì)算以后各點(diǎn)上的值。稱（8.1.2）式為顯式Euler。由于（8.1.3）式的右端隱含有待求函數(shù)值，不能逐步顯式計(jì)算，稱（8.1.3）式為隱式Euler公式或后退Euler公式。如果將（8.1.2）和（8.1.3）兩式作算術(shù)平均，就得梯形公式。第5頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五梯形公式也是隱式公式。以上公式都是由去計(jì)算，故稱它們?yōu)閱尾椒?。?.1取h=0.1，用Euler方法、隱式Euler方法和梯形方法解解本題有如果用Euler方法，由（8.1.2）并代入h=0.1得同理，用隱式Euler方法有（8.1.4）第6頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五用梯形公式有三種方法及準(zhǔn)確解的數(shù)值結(jié)果如表8-1所示。從表中看到，在處，Euler方法和隱式Euler方法的誤差分別是和，而梯形方法的誤差卻是。

在例8.1中，由于f（x，y）對(duì)y是線性的，所以對(duì)隱式公式也可以方便地計(jì)算。但是，當(dāng)f（x，y）是y的非線性函數(shù)時(shí)，如，其隱式Euler公式為。顯然，它是的非線性方程，可以選擇非線性方程求根的迭代求解。以梯形公式為例，可用顯式Euler公式提供迭代初值，用公式第7頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五表8-1Euler方法隱式Euler方法梯形法準(zhǔn)確解011110.11.0000001.0090911.0047621.0048370.21.0100001.0264461.0185491.0187310.31.0290001.0513151.0406331.0408180.41.0561001.0830131.0700961.0703200.51.0904901.1209211.1062781.106531第8頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五反復(fù)迭式，直到其中，步長(zhǎng)h成為迭代參數(shù)，它需要滿足一定的條件，才能收斂。若將（8.1.4）式減去該迭代公式，得假設(shè)f（x，y）關(guān)于y滿足Lipschiz條件，則有第9頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五這里，L是Lipschiz常數(shù)。當(dāng)hL/2<1即h<2/L時(shí)，迭代序列收斂。對(duì)于隱式公式，通常采用估計(jì)-校正技術(shù)，即先用顯式公式計(jì)算，得到預(yù)估值，然后以預(yù)估值作為隱式公式的迭代初值，用隱式公式迭代一次得到校正值，稱為預(yù)估-校正技術(shù)。例如，用顯式Euler公式作預(yù)估，用梯形公式作校正，即稱該公式為改進(jìn)的Euler公式。它顯然等價(jià)于顯式公式為，（8.1.6）第10頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五也可以表示為下列平均化的形式例8.2取h=0.1，用改進(jìn)的Euler方法解解按（8.1.5），改進(jìn)的Euler方法解第11頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由得計(jì)算結(jié)果如表8-2。該初值問題的準(zhǔn)確解為。表8-20.10.20.30.40.50.60.70.81.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61531.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.6165第12頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8.1.2局部誤差和方法的階

初值問題（8.1.1）的單步法可以寫成如下統(tǒng)一形式（8.1.7）其中與有關(guān)。若中不含，則方法是顯式的，否則是隱式的，所以一般顯式單步法表示為（8.1.8）例如，Euler方法中，有對(duì)于不同的方法，計(jì)算值與準(zhǔn)確解的誤差各不相同。所以有必要討論方法的截?cái)嗾`差。我們稱為某一方法在點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差。顯然，不單與這步的計(jì)算有關(guān)，它與以前各步的計(jì)算也有關(guān)，所以誤差被稱為整體的。分析和估計(jì)整體截?cái)嗾`差是復(fù)雜的。為此，我們假設(shè)處的沒有誤差，即，考慮從到這一步的誤差，這就是如下的局部誤差的概念。第13頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定義8.1設(shè)是初值問題（8.1.1）的準(zhǔn)確解，則稱為單步法（8.1.7）的局部截?cái)嗾`差。

定義8.2如果給定方法的局部截?cái)嗾`差，其中為整數(shù)，則稱該方法是p階的，或具有p階精度。若一個(gè)p階單步法的局部截?cái)嗾`差為則稱其第一個(gè)非零項(xiàng)為該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。對(duì)于Euler方法，有Taylor展開有第14頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，