模糊數(shù)學(xué)模糊等價關(guān)系

模糊數(shù)學(xué)模糊等價關(guān)系1第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五作業(yè)答案2第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五習(xí)題3-63第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五習(xí)題3-74第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五習(xí)題3-7答案5第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五3-7模糊等價關(guān)系及聚類圖6第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊關(guān)系的三個概念自反性對稱性傳遞性7第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五自反性若模糊關(guān)系R滿足R(u,u)=1或I?R，則稱R具有自反性模糊自反矩陣rii=1例如：8第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五自反矩陣的定理定理.設(shè)模糊矩陣A∈Mn×n是自反矩陣，則有I?A?A2?A3

?…?An-1

?An?…證明:9第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五對稱性若模糊關(guān)系R滿足R(u,v)=R(v,u)，則稱R具有對稱性模糊對稱矩陣rij=rji例如：10第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五傳遞性若模糊關(guān)系R滿足RоR?R，則稱R具有傳遞性模糊傳遞矩陣11第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊傳遞矩陣——例12第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊傳遞矩陣的定理定理.設(shè)模糊矩陣Q∈Mn×n是傳遞矩陣，則有Q?Q2?Q3

?…?Qn-1

?Qn?…證明:13第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊等價關(guān)系定義.模糊關(guān)系R∈F(U×U),滿足（1）自反性：R(u,u)=1;（2）對稱性：R(u,v)=R(v,u);（3）傳遞性：R2?R則稱R為模糊等價關(guān)系14第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊等價矩陣若論域U是有限論域，則U上的模糊等價關(guān)系R可表示為模糊等價矩陣模糊等價矩陣自反性rii=1對稱性rij=rji傳遞性15第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五R是否為模糊等價矩陣？設(shè)論域U={x1,x2}，16第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五等價布爾關(guān)系一個布爾矩陣具有如下特性，則稱其為等價的布爾矩陣，對應(yīng)一個普通的等價關(guān)系自反性對稱性傳遞性17第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊等價矩陣的性質(zhì)若R為模糊等價矩陣，則

R=R2=R3=…=Rn-1=Rn證明：自反性：R?R2?…?Rn-1

?Rn傳遞性:R?R2?…?Rn-1?Rn18第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊等價矩陣的定理1定理1.R是模糊等價矩陣?對于任何λ∈[0,1]，Rλ是等價布爾矩陣。證明：對稱性、自反性顯然傳遞性19第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五定理1的意義模糊等價矩陣普通等價矩陣普通等價矩陣?普通等價關(guān)系普通等價關(guān)系可以分類當(dāng)λ在[0,1]上變動時，得到不同的Rλ,從而得到不同的分類20第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊等價矩陣分類——例設(shè)U={u1,u2,u3,u4,u5}求當(dāng)λ＝1，0.8，0.5，0.4時的聚類結(jié)果。21第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊等價矩陣的定理2定理2.R∈μn×n是模糊等價矩陣，則對于任何λ,μ∈[0,1]，且λ<μ，Rμ所決定的分類中的每個類都是Rλ所決定的分類中的某個類的子類。說明什么？λ越大，分類越細(xì)22第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五動態(tài)聚類圖λ由1變到0的過程，是Rλ的分類由細(xì)到粗的過程，從而形成了一個動態(tài)的聚類圖。x1x2x3x4x5λ=1λ=0.8λ=0.4λ=0.6λ=0.523第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五3-8模糊相似關(guān)系24第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊相似關(guān)系的定義設(shè)R∈F(U×U)，若R具有自反性和對稱性，則稱R為U上的一個模糊相似關(guān)系例如：模糊關(guān)系“彼此熟悉”、“朋友”等模糊相似關(guān)系vs.模糊等價關(guān)系沒有了傳遞性的要求25第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五為何研究模糊相似關(guān)系？實(shí)際應(yīng)用中，通常只能得到自反和對稱矩陣（相似矩陣），模糊等價矩陣較為少見Questions.

對具有相似關(guān)系的元素如何分類？相似矩陣可否改造為等價矩陣？26第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五全新概念——傳遞閉包設(shè)A,?,B∈F(U×U)，若?為包含A的傳遞關(guān)系即A??且?2??對于任何包含A的傳遞關(guān)系B，都有??B則稱?為A的傳遞閉包，記為t(A)=?27第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五傳遞閉包是什么？R的傳遞閉包t(R)是包含R的最小的傳遞關(guān)系28第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五傳遞閉包的定理1定理1.設(shè)模糊矩陣A∈μn×n

，則A的傳遞閉包t(A)是29第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五傳遞閉包定理1證明30第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五傳遞閉包的定理2定理2.設(shè)模糊矩陣A∈μn×n

，則其中，t(A)是傳遞閉包。31第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五定理2的意義定理2說明，當(dāng)R是n階方陣時，至多用n次并運(yùn)算，就可以得到R的傳遞閉包定理2極大地簡化了傳遞閉包的計(jì)算32第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五內(nèi)容回顧模糊相似矩陣自反性對稱性任意模糊矩陣其傳遞閉包——傳遞性模糊相似矩陣傳遞閉包模糊等價矩陣33第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五改造有理！定理.相似矩陣R∈μn×n

的傳遞閉包是等價矩陣，且t(R)=Rn證明：只需證明自反性和對稱性R自反?I?R?R2?…?Rn?t(R)=∪k=1nRk=Rn是自反的對稱性。R=RT?(Rn)T=(RT)n=(Rn)34第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五定理.設(shè)R∈μn×n

為相似矩陣。則對于任意自然數(shù)m≥n,都有t(R)=Rm證明：R自反=>

I?R?R2?…?Rnt(R)=Rn?Rm?∪k=1∞

Rk=t(R)35第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五模糊相似矩陣模糊等價矩陣將相似矩陣改造成等價矩陣只需求相似矩陣的傳遞閉包36第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五可否更簡單？t(R)=Rn定理.設(shè)R∈μn×n

是模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù)k(k≤n)，使得傳遞閉包t(R)=Rk，對于任何自然數(shù)b≥k，都有Rb=Rk，此時，t(R)是模糊等價矩陣。37第37頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五平方法求傳遞閉包從模糊相似矩陣R出發(fā)，依