2023年中考數(shù)學(xué)專題《 函數(shù)中的新定義問題》原卷

例題精講例題精講考點(diǎn)1一次函數(shù)新定義問題【例1】．定義：我們把一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與正比例函數(shù)y＝x的交點(diǎn)稱為一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的“不動點(diǎn)”．例如求y＝2x﹣1的“不動點(diǎn)”：聯(lián)立方程，解得，則y＝2x﹣1的“不動點(diǎn)”為（1，1）．（1）由定義可知，一次函數(shù)y＝3x+2的“不動點(diǎn)”為；（2）若一次函數(shù)y＝mx+n的“不動點(diǎn)”為（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直線y＝kx﹣3（k≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且直線y＝kx﹣3上沒有“不動點(diǎn)”，若P點(diǎn)為x軸上一個動點(diǎn)，使得S△ABP＝3S△ABO，求滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．變式訓(xùn)練【變1-1】．在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式一一利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一一運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程．在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點(diǎn)或平移的方法畫出了所學(xué)的函數(shù)圖象．同時，我們也學(xué)習(xí)了絕對值的意義．結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當(dāng)x＝2時，y＝﹣4；當(dāng)x＝0時，y＝﹣1．（1）求這個函數(shù)的表達(dá)式；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．考點(diǎn)2反比例函數(shù)新定義問題【例2】．探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請按要求完成下列各小題．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中m及表格中a，b的值；m＝，a＝，b＝；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集為．變式訓(xùn)練【定義】在平面內(nèi)，把一個圖形上任意一點(diǎn)與另一個圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點(diǎn)，當(dāng)AB的長最小時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，AB⊥l1，線段AB的長度稱為點(diǎn)A與直線l1之間的距離，當(dāng)l2∥l1時，線段AB的長度也是l1與l2之間的距離．【應(yīng)用】（1）如圖2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．若AB＝6，AD＝4，則DE與BC之間的距離是；（2）如圖3，已知直線l3：y＝﹣x+4與雙曲線C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）與B兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離是，點(diǎn)O與雙曲線C1之間的距離是；【拓展】（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80m時，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障（如圖4）．有一條“東南﹣西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80m．現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，此時高速路所在直線l4的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x，小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是多少？考點(diǎn)3二次函數(shù)新定義問題【例3】．小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2進(jìn)行了探究．在經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四個實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．（2）延伸思考：將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)1＜y1≤2時，自變量x的取值范圍．變式訓(xùn)練【變3-1】．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|ax2+bx+c|的圖象（如圖所示），下列結(jié)論正確的是（）A．圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1.5 B．有且只有﹣1≤x≤1時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大 C．若a＜0，則8a+c＞0 D．若a＜0，則a+b≥m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)）【變3-2】．已知拋物線y＝ax2+c過點(diǎn)A（﹣2，0）和D（﹣1，3）兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)B．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是BD上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BD，PD，當(dāng)BD平分∠ADP時，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將拋物線圖象繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點(diǎn)M，N分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E、F是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點(diǎn)．①直線EF的解析式是；②點(diǎn)G、H是“心形”圖案上兩點(diǎn)且關(guān)于EF對稱，則線段GH的最大值是．1．對于實(shí)數(shù)a，b，定義符號max|a，b|，其意義為：當(dāng)a≥b時，max|a，b|＝a，當(dāng)a＜b時，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若關(guān)于x的函數(shù)y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，則該函數(shù)的最小值為（）A． B．1 C． D．32．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（ka+b，a+）（其中k為常數(shù)且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上運(yùn)動，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，當(dāng)線段OB最短時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．3．定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax+b叫做二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函數(shù)y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函數(shù)”是y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“不動點(diǎn)”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不動點(diǎn)”．已知雙曲線．（1）下列說法不正確的是．A．直線y＝x的圖象上有無數(shù)個“不動點(diǎn)”B．函數(shù)的圖象上沒有“不動點(diǎn)”C．直線y＝x+1的圖象上有無數(shù)個“不動點(diǎn)”D．函數(shù)y＝x2的圖象上有兩個“不動點(diǎn)”（2）求雙曲線上的“不動點(diǎn)”；（3）若拋物線y＝ax2﹣3x+c（a、c為常數(shù)）上有且只有一個“不動點(diǎn)”，①當(dāng)a＞1時，求c的取值范圍．②如果a＝1，過雙曲線圖象上第一象限的“不動點(diǎn)”做平行于x軸的直線l，若拋物線上有四個點(diǎn)到l的距離為m，直接寫出m的取值范圍．5．在并聯(lián)電路中，電源電壓為U總＝6V，小亮根據(jù)“并聯(lián)電路分流不分壓”的原理知道：I總＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1為定值電阻，當(dāng)R變化時，干路電流I總也會發(fā)生變化，且干路電流I總與R之間滿足如下關(guān)系：I總＝1+．（1）定值電阻R1的阻值為Ω；（2）小亮根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，參照研究函數(shù)的過程與方法，對比反比例函數(shù)I2＝來探究函數(shù)I總＝1+的圖象與性質(zhì)．①列表：如表列出I總與R的幾組對應(yīng)值，請寫出m，n的值：m＝，n＝；R…3456…I2＝…21.51.21…I總＝1+…3m2.2n…②描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系中，以①給出的R的取值為橫坐標(biāo)，以I總相對應(yīng)的值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，并將各點(diǎn)用光滑曲線順次連接起來；（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：①I總隨R的增大而；（填“增大”或“減小”）②函數(shù)I總＝1+的圖象是由I2＝的圖象向平移個單位而得到．6．小欣研究了函數(shù)的圖象與性質(zhì)．其研究過程如下：（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中m＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣012…y…﹣﹣﹣1﹣2﹣332m…②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y）；③連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，請把圖象補(bǔ)充完整．（2）探究函數(shù)性質(zhì)：下列說法不正確的是A．函數(shù)值y隨x的增大而減小B．函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限C．函數(shù)圖象與直線x＝﹣1沒有交點(diǎn)D．函數(shù)圖象對稱中心（﹣1，0）（3）如果點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，如果x1+x2＝﹣2，則y1+y2＝．7．九年級某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下：（1）繪制函數(shù)圖象，列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，請你描出剩下的點(diǎn)；連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，已經(jīng)畫出了部分圖象，請你把圖象補(bǔ)充完整；（2）通過觀察圖象，下列關(guān)于該函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是：；（填寫代號）①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②關(guān)于y軸對稱；③關(guān)于原點(diǎn)對稱；（3）在上圖中，若直線y＝2交函數(shù)的圖象于A，B兩點(diǎn)（A在B左邊），連接OA．過點(diǎn)B作BC∥OA交x軸于C．則S四邊形OABC＝．8．【定義】從一個已知圖形的外一點(diǎn)引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點(diǎn)，則這兩條射線所成的最大角稱為該點(diǎn)對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點(diǎn)P對線段AB的視角．【應(yīng)用】（1）如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，），B（2，2），C（3，），則原點(diǎn)O對三角形ABC的視角為；（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O，半徑為2畫圓O1，以原點(diǎn)O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點(diǎn)P對圓O1的視角是定值；【拓展應(yīng)用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點(diǎn)建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時天橋所在的直線的表達(dá)式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo)．9．小明在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中遇到這樣一個函數(shù)：y＝[x]，若x≥0時，[x]＝x2﹣1；若x＜0時，[x]＝﹣x﹣1．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對該函數(shù)進(jìn)行了探究．（1）①列表：下表列出y與x的幾組對應(yīng)值，請寫出m，n的值m＝；n＝；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以①給出的自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)并連線，作出函數(shù)圖象；（2）下列關(guān)于該函數(shù)圖象的性質(zhì)正確的是；（填序號）①y隨x的增大而增大；②該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；③當(dāng)x＝0時，函數(shù)有最小值為﹣1；④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限．（3）若函數(shù)值y＝8，則x＝；（4）若關(guān)于x的方程2x+c＝[x]有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出c的取值范圍是．10．某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點(diǎn)A水平距離為d米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對d和h之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．下面是小紅的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應(yīng)值，如表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)；（2）在下面的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度AE為米；②公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE＝DF，要求游船能從C，D兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為米．（精確到0.1米）11．小明為了探究函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性質(zhì)，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸納得到，并運(yùn)用性質(zhì)解決問題．（1）完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空．①列出y與x的幾組對應(yīng)值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝；②結(jié)合上表，在下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出當(dāng)x＞0時函數(shù)M的圖象；③觀察圖象，當(dāng)x＝時，y有最大值為；（2）求函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點(diǎn)在函數(shù)M的圖象上，當(dāng)y1＜y2時，請直接寫出m的取值范圍．12．定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)M繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，恰好落在函數(shù)圖象W上，則稱點(diǎn)M為函數(shù)圖象W的“直旋點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)y＝x圖象的“直旋點(diǎn)”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三點(diǎn)中，是一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有（填序號）；（2）若點(diǎn)N（3，1）為反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，求k的值；（3）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象的“直旋點(diǎn)”且在直線AC上，求D點(diǎn)坐標(biāo)．13．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界是1．（1）直接判斷函數(shù)y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，直接寫出其邊界值；（2）若一次函數(shù)y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的邊界值是3，且這個函數(shù)的最大值是2，求這個一次函數(shù)的解析式；（3）將二次函數(shù)y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向上平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是n，當(dāng)m在什么范圍時，滿足≤n≤1．14．在平面直角坐標(biāo)系中，由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖所示，拋物線C1與拋物線C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）的部分圖象組成一個“月牙線”，相同的交點(diǎn)分別為M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1）．（1）求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線C1的解析式；（2）若拋物線C2的頂點(diǎn)為D，當(dāng)m＝時，試判斷三角形MND的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P（t，﹣）是拋物線C1上一點(diǎn)，拋物線C2第三象限上是否存在一點(diǎn)Q，使得S△APM＝S△ONQ，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．15．閱讀材料：一般地，對于某個函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內(nèi)任取x＝a與x＝﹣a時，函數(shù)值相等，那么這個函數(shù)是“對稱函數(shù)”．例如：y＝x2，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任取x＝a時，y＝a2；當(dāng)x＝﹣a時，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“對稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝2|x|+1對稱函數(shù)（填“是”或“不是”）．當(dāng)x≥0時，y＝2|x|+1的圖象如圖1所示，請在圖1中畫出x＜0時，y＝2|x|+1的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象如圖2所示，當(dāng)它與直線y＝﹣x+n恰有3個交點(diǎn)時，求n的值．（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的圖象與矩形的邊恰有4個交點(diǎn)時，求b的取值范圍．16．定義：把一個半圓與拋物線的一部分合成封閉圖形，我們把這個封閉圖形稱為“蛋圓”．如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8），AB為半圓的直徑，半圓的圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為3．（1）請你直接寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng)，自變量的取值范圍是；（2）請你求出過點(diǎn)C的“蛋圓”切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式．17．規(guī)定：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一組點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互為“O—函數(shù)”．這組點(diǎn)稱為“XC點(diǎn)”．例如：點(diǎn)P（1，1）在函數(shù)y＝x2上，點(diǎn)Q（﹣1，﹣1）