專(zhuān)題10 銳角三角函數(shù)及其運(yùn)用（講+練）-【2022年】中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專(zhuān)題復(fù)習(xí)攻略【無(wú)答案】

專(zhuān)題10銳角三角函數(shù)及其運(yùn)用復(fù)習(xí)考點(diǎn)攻略考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．【注意】根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定要根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造直角三角形.【例1】如圖，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，則sinA的值為（）A． B． C． D．考點(diǎn)二特殊角的三角函數(shù)值αsinαtanα30°45°160°【例2】的值為（）A． B． C． D．1考點(diǎn)三解直角三角形1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.【例3】如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形，∥,長(zhǎng)為6米，坡角為45°，的坡角為30°，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______米（結(jié)果保留根號(hào)）【例4】如圖，大海中有和兩個(gè)島嶼，為測(cè)量它們之間的距離，在海岸線(xiàn)上點(diǎn)處測(cè)得，；在點(diǎn)處測(cè)得，，．⑴判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由⑵求兩個(gè)島嶼和之間的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）考點(diǎn)四銳角三角函數(shù)的應(yīng)用1．仰角和俯角：仰角：在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫做仰角．俯角：在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：5．解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．6.解直角三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫(huà)出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．【例5】如圖，一名滑雪愛(ài)好者先從山腳下A處沿登山步道走到點(diǎn)B處，再沿索道乘坐纜車(chē)到達(dá)頂部C．已知在點(diǎn)A處觀測(cè)點(diǎn)C，得仰角為35°，且A，B的水平距離AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，長(zhǎng)度為2600米，求山的高度（即點(diǎn)C到AE的距離）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，結(jié)果保留整數(shù)）【例6】如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東30°方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處．（1）問(wèn)B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1海里）（2）假設(shè)有一圓形暗礁區(qū)域，它的圓心位于射線(xiàn)PB上，距離燈塔150海里的點(diǎn)O處．圓形暗礁區(qū)域的半徑為60海里，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域，就有觸礁的危險(xiǎn)．請(qǐng)判斷海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)？如果海倫從B處繼續(xù)向正北方向航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）第一部分選擇題一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分）1.比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示．設(shè)塔頂中心點(diǎn)為點(diǎn)，塔身中心線(xiàn)與垂直中心線(xiàn)的夾角為，過(guò)點(diǎn)向垂直中心線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)．通過(guò)測(cè)量可得、、的長(zhǎng)度，利用測(cè)量所得的數(shù)據(jù)計(jì)算的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求的大?。铝嘘P(guān)系式正確的是（）A． B． C． D．如圖，在中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanBD．b＝ctanB已知α是銳角，sinα=cos60°，則α等于（）A．30° B．45° C．60° D．不能確定若∠A是銳角，且sinA=13，則（

）A.

0°<∠A<30°

B.

30°<∠A<45°

C.

45°<∠A<60°

D.

60°<∠A<90°點(diǎn)（-sin60°，cos60°）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A.

（√32，12）

B.

（-√32，12）

C.

（-√32，-12）

D.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A． B． C． D．如圖，某停車(chē)場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長(zhǎng)為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC=10cm，BD=6cm，那么tan為（）A． B． C． D．如圖，AB是圓錐的母線(xiàn)，BC為底面直徑，已知BC＝6cm，圓錐的側(cè)面積為15πcm2，則sin∠ABC的值為（）

34

B.35

C.

45

如圖，四邊形是一張平行四邊形紙片，其高，底邊，，沿虛線(xiàn)將紙片剪成兩個(gè)全等的梯形，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．填空題二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）11..若tan（α–15°）=，則銳角α的度數(shù)是________．12.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，則sinB=___________．如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，若是等邊三角形，則___________．如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯的傾斜角為，在自動(dòng)扶梯下方地面處測(cè)得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動(dòng)扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號(hào)）如圖所示，在四邊形中，，，．連接，，若，則長(zhǎng)度是_________．如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．，斜坡長(zhǎng)，斜坡的坡比為12∶5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿至少向右移________時(shí)，才能確保山體不滑坡．（取）解答題二、解答題（本題有7小題，共46分）17.如圖，在中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)．求的長(zhǎng)？18.已知：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，對(duì)角線(xiàn)BD=8，tan∠CBD=．（1）求邊AB的長(zhǎng)；（2）求cos∠BAE的值．如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大橋主架在水面以上的高度，在觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得大橋主架頂端的仰角為30°，測(cè)得大橋主架與水面交匯點(diǎn)的俯角為14°，觀測(cè)點(diǎn)與大橋主架的水平距離為60米，且垂直于橋面．（點(diǎn)在同一平面內(nèi)） 求大橋主架在橋面以上的高度；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求大橋主架在水面以上的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)）如圖，某船向正東航行，在A處望見(jiàn)海島C在北偏東60°，前進(jìn)6海里到B點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得海島C在北偏東45°，已知在該島周?chē)?海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)船繼續(xù)向正東航行，有觸礁的危險(xiǎn)嗎?

如圖，直升飛機(jī)在隧道BD上方A點(diǎn)處測(cè)得B、D兩點(diǎn)的俯角分別為45°和31°．若飛機(jī)此時(shí)飛行高度AC為1208m，且點(diǎn)C、B、D在同一條直線(xiàn)上，求隧道BD的長(zhǎng)．（精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）如圖，在某建筑物AC上，掛著“緣分‘天柱’定，悠然在潛山”的宣傳條幅BC，小明站在點(diǎn)F處，看條幅頂端B，測(cè)得仰角為30°，再往條幅方向前行30米到達(dá)點(diǎn)E處，看到條幅頂端B，測(cè)得仰角為60°，求宣傳條幅BC的長(zhǎng)．（注：不計(jì)小明的身高，結(jié)果精確到1米，參考