第10講 三角形與全等三角形（題型訓(xùn)練）【有答案】-【2022年】中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識點·易錯點·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

三角形與全等三角形題型一與三角形有關(guān)的線段1．（2021·浙江·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院九年級期中）已知點G是△ABC的重心，連結(jié)BG，過點G作GDAB交BC于點D，若△BDG的面積為1，則△ABC的面積為（）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【解析】解：連接CG并延長交AB于E，如圖，∵點G是△ABC的重心，∴CG＝2EG，∵DG∥AB，∴，∴S△GDC＝2S△BDG＝2，∴S△BCG＝1+2＝3，而EG＝CG，∴S△BEG＝S△BCG＝，∴S△BCE＝+3＝，∵CE為中線，∴S△ABC＝2S△BCE＝2×＝9．故選：C．2．（2021·廣東海珠·九年級期中）已知關(guān)于的方程的一個根，且這個方程的兩個根恰好是等腰的兩條邊長，則的周長為（）．A．8 B．10 C．8或10 D．6或10【答案】B【解析】∵關(guān)于的方程的一個根，∴，∴，∴方程變形為，解得，∵方程的兩個根恰好是等腰的兩條邊長，∴其三邊可能是2，2，4或4，4，2，∵2+2=4，故三角形不存在，故三角形的周長為10，故選B．3．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)．則PE+PF的值為（）A． B． C． D．不是定值【答案】A【解析】解：如圖所示，連接，過點作于，，，由勾股定理可得，，即，解得：，在矩形中，，，．故．故選：A．4．（2021·福建·重慶實驗外國語學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在中，，分別是，邊上的中線，且與相交于點，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：點是，邊上的中線，的交點，，，，，，，故選：．5．如圖G是△ABC的重心，直線過A點與BC平行．若直線CG分別與AB、交于D、E兩點，直線BG與AC交于F點，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積＝（）A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2【答案】D【解析】解：設(shè)三角形ABC的面積是2，

∴三角形BCD的面積和三角形BCF的面積都是1，

∵BG：GF＝CG：GD＝2，

∴三角形CGF的面積是，

∴四邊形ADGF的面積是2?1?＝，∵,∴,∵,

∵△ADE≌△BDC（ASA）

∴△ADE的面積是1

∴△AED的面積：四邊形ADGF的面積＝1：＝3：2．

故選：D．6．（2021·江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校二模）如圖，在等邊中，，點E在中線上，現(xiàn)有一動點P沿著折線運動，且在上的速度是4單位/秒，在上的速度是2單位/秒，當(dāng)點P從A運動到C所用時間最少時，長為（）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】解：作于點，則點在上運動時間為，，，，，當(dāng)，，共線時，點運動時間最短，為三角形中線，點為重心，，，，∴．故選：D．7．等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點E在直線AC上，2CE＝AC，若AD＝6，BE＝5，則BC＝_______．【答案】或【解析】解：如圖1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵AC＝2CE，∴AE＝EC，∴點F是三角形的重心，∴DF＝AD＝2，BF＝BE＝，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝，如圖2，過點E作EH⊥BC于H，∵∴∴∴∴∴∴EH＝AD＝3，CD＝2CH，在Rt△BHE中，（CD）2+32＝52，解得：CD＝，∴BC＝2CD＝．綜上所述：BC的長為或，故答案為：或8．（2021·福建省泉州市培元中學(xué)九年級期中）已知?ABC中，是邊上的中線，點為?ABC重心，，若?ABC的面積為6，則的面積是______．【答案】【解析】解：點為?ABC重心，?ABC中，是邊上的中線，?ABC的面積為6，故答案為：9．如圖，D是△ABC的BC邊上一點，連接AD，把△ACD沿AD翻折得到△AED，DE與AB交于點G，連接CE交AD于F．若EG：ED=2：5，AF=6，CF=4，△ADG的面積是，則點F到BC的距離為_______．【答案】【解析】解：∵EG：ED=2：5，△ADG的面積是，∴∴，∴,∵把△ACD沿AD翻折得到△AED，∴，∵把△ACD沿AD翻折得到△AED，連接CE交AD于F．∴垂直平分,∴,∵,解得：,在中，,設(shè)點F到BC的距離為，則：，解得：，∴點F到BC的距離為：，故答案為：．10．（2021·廣東·廣州市南武實驗學(xué)校九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D是半徑為2的⊙A上一動點，點M是CD的中點，則BM的最大值是__．【答案】【解析】解：如圖，取AC的中點N，連接MN，BN，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∵AN=NC=AC=，∴BN=AC=∵點M是CD的中點，∴DM=MC，∴MN=AD=1∴BM≤BN＋NM，∴BM≤+1=，即BM的最大值是.11．（2021·江西省臨川第二中學(xué)九年級期中）圖①、圖②、圖③都是的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，?ABC的頂點A、B、C均在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求作圖．不要求寫出畫法．（1）在圖①中畫出?ABC邊BC上的中線AD，則_______；（2）在圖②中畫出?BEF，點E、F分別在邊AB、BC上，滿足，且；【答案】（1）作圖見解析部分，6；（2）作圖見解析部分．【分析】（1）取的中點，連接，線段即為所求．（2）分別取，的中點，，連接，線段即為所求．【解析】解：（1）如圖①中，線段即為所求．，故答案為6．（2）如圖②中，線段即為所求．12．已知CD為△ABC的中線，∠A及∠BDC的度數(shù)分別是方程x2-75x+1350=0的兩根，（1）求∠A及∠BDC的度數(shù)；（2）求∠B的度數(shù)．【答案】（1）；（2）105°【解析】（1）∠A及∠BDC的度數(shù)分別是方程x2-75x+1350=0的兩根，，，解得，，，∠A=30°，∠BDC=45°；（2）過點B作BH⊥AC于H，連接DH，，，是△ABC的中線，，，△BHD為正三角形，，，，，，，，，，，△BHC為等腰直角三角形，，．13．已知，如圖，△ABC中，AE，BD，CF為三條中線，它們交于一點O，點O稱為三角形的重心，重心三等分其所在的中線，即AO＝2OE，BO＝2OD，CO＝2OE．（1）如圖1，若△ABC中，中線AE長為6，那么圖中線段OE長為；（2）如圖2，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于點O，求AB的長．【答案】（1）2；（2）【解析】解：（1）∵點O為三角形的重心，∴OA＝2OE，∴OE＝AE＝×6＝2；故答案為2；（2）由題意：設(shè)OE＝a，OD＝b，則OB＝2a，OA＝2b在Rt△AOE中，＝=4，在Rt△OBD中，=，∴=，即＝，在Rt△OBA中，．∴AB＝．14．如圖，已知?ABC∽，相似比為，且?ABC的三邊長分別為a、b、c，的三邊長分別為、、．（1）若，求證：；（2）若，試給出符合條件的一對?ABC和，使得a、b、c和、、．都是正整數(shù)，并加以說明；（3）若，，是否存在?ABC和使得？請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）取，，，同時取，，；（3）不存在，理由見解析【解析】解：（1）證明：△，且相似比為，，；又，；（2）解：取，，，同時取，，；此時，△且；（3）解：不存在這樣的和△，理由如下：若，則，，；又，，；；，，∴，而應(yīng)該是；故不存在這樣的?ABC和△，使得．15．已知在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，點在上，連接．（1）如圖①，求線段的長；（2）如圖②，連接，作，垂足為，求的長度；（3）如圖③，點是線段的中點，點是線段上的動點（不與點重合），求周長的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）周長的最小值為．【解析】解：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，?BOC．（2），，?BOC，，．（3）如解圖，連接，，連接交于點．?OBC為等邊三角形，點為的中點，即在中，，，在?BAO和?，垂直平分，即點關(guān)于直線的對稱點為點的周長為，為定值當(dāng)取最小值時，周長最小即當(dāng)點、、三點共線時，的周長取得最小值，為點是的中點，周長的最小值為．題型二與三角形有關(guān)的角1．（2021·北京師范大學(xué)亞太實驗學(xué)校九年級期中）如圖，將△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)20°，B點落在B'位置，A點落在A'位置，若AC⊥A'B'，則∠BAC的度數(shù)是（）

A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】A【解析】解：∵△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)20°，B點落在B'位置，A點落在A′位置，∴，∵，∴；故選A．2．（2021·山東德州·九年級期中）如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數(shù)是（）A．55° B．45° C．42° D．40°【答案】B【解析】解：∵∠AOC的度數(shù)為105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，∴∠C＝∠B＝45°，故選：B．3．（2021·四川·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，E點是對角線BD上的一點，AE的延長線交CD于點F，連接CE，若∠BAE＝56°，則∠CEF的度數(shù)為（）A．30° B．79° C．22° D．81°【答案】C【解析】∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠DAF＝34°，∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，故選：C．4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＜30°，按下列步驟作圖：①分別以點B和點C為圓心，大于BC一半為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N；②作直線MN，與邊AB相交于點D，連接CD．下列結(jié)論正確的是（）A．∠ADC＝∠BDN B．BD＝2ADC．∠DCA＝∠B D．2∠DCB＋∠ACD＝90°【答案】D【解析】解：由作圖可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠B＝∠BCD＜30°，∴∠ACB＞60°，∴∠ACD＞30°，∴∠ADC＜60°，∠BDN＞60°，∴∠ADC＜∠BDN，故A選項錯誤；∵∠B＝∠BCD＜30°，∠BAC＝90°，∴∠ACD＞30°，∴CD≠2AD，即BD≠2AD，故B選項錯誤；∠ACD＞∠B，故C選項錯誤；由作圖可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠B＝∠BCD，∴∠ADC＝2∠DCB，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，即2∠DCB＋∠ACD＝90°，故D選項正確；故選D．5．（2021·廣西平果·九年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3cm，點D為△ABC內(nèi)一點，∠CAD＝15°，AD＝4cm，連接CD，將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，點D的對應(yīng)點為點E，連接DE交AB于點F，則BF的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：如圖，過點作于點，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，是等腰直角三角形，∴，∴，，∴，，，故選：D．6．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)東校三模）如圖，a∥b，∠ABD的平分線交直線a于點C，CE⊥直線c于點E，∠1＝24°，則∠2的大小為（）A．114° B．142° C．147° D．156°【答案】C【解析】∵CE⊥直線c于點E，∠1＝24°，∴，∵a∥b，∴，又∵BC平分∠ABD，∴，∴；故答案選C．7．（2021·黑龍江訥河·九年級期中）等腰一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則頂角的度數(shù)為________．【答案】40°或140°【解析】解：分兩種情況討論：

①若∠A＜90°，如圖1所示：

∵BD⊥AC，AB＝AC，

∴∠A＋∠ABD＝90°，

∵∠ABD＝50°，

∴∠A＝90°?50°＝40°；

②若∠A＞90°，如圖2所示：

同①可得：∠DAB＝90°?50°＝40°，

∴∠BAC＝180°?40°＝140°；

綜上所述，頂角的度數(shù)為40°或140°，故答案為：40°或140°．8．如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，則∠C=____°．【答案】45【解析】解：∵?ODC是由?OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40∴∴又∵∴又∵∴∴故答案為：459．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），將CB繞C順時針旋轉(zhuǎn)120°得CD，當(dāng)DA長的最小值為時，a的值為____．【答案】【解析】解：如圖1所示，連接BD，則可知，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CD=BC，∠BCD=∠BAC=120°，∴BD，AB的長度都是一個定值，∴當(dāng)A、B、D三點共線時，AD有最小值；如圖2所示，∵CB=CD，∠BCD=120°，∴∠B=∠D=30°，又∵∠BAC=120°，∴∠ACB=30°，∴AB=AC，∠ACD=90°，∴∵AB+AC=a，∴，∴，故答案為：．10．如圖，三角形紙片中，，將沿翻折，使點C落在?ABC外的點處．若，則的度數(shù)為_________．【答案】【解析】解：，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，故答案是：．11．（2021·天津河西·九年級期中）如圖，將?ABC繞點順時針旋轉(zhuǎn)得?DBE，點的對應(yīng)點恰好落在的延長線上，連接．AC，DE相交于點P．（Ⅰ）求證：△ADB是等邊三角形；（Ⅱ）直接寫出∠APD的度數(shù)______．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）60°【解析】（Ⅰ）證明：∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴△ABC≌△DBE，∴BA=BD，∠ABD=，∴△ADB是等邊三角形；（Ⅱ）解：∵△ABC≌△DBE，∴∠BAC=∠BDE，∵∠AFB=∠DFP，∴∠BAF+∠ABF=∠FDP+∠APD，∴∠APD=∠ABF=60°，故答案為：60°．．12．將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得線段AC，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)a(0°<a<120°)得線段AD，連接CD，BD．（1）如圖，若a=80°，則∠BDC的度數(shù)為______；（2）如圖，∠BDC的大小是否改變？若不變，求出∠BDC的度數(shù)；若改變，請說明理由．【答案】（1）30°；（2）∠BDC的大小不改變，∠BDC=30°．【解析】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=80°，∴∠ADC=∠ACD=（180°-80°）=50°，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+80°=140°，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=（180°-140°）=20°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=50°-20°=30°，故答案為：30°；（2）結(jié)論：∠BDC的大小不改變．理由：∵AC=AD，∠CAD=α°，∴∠ADC=∠ACD=（180°-α），∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+α，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=（180°-60°-α）=（120°-α），∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=（180°-α）-（120°-α）=30°．∴∠BDC=30°．13．如圖，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分線DE交AB、BC于點D、E．（1）若∠C＝72°，求∠B、∠1的度數(shù)；（2）若BD＝6，AC＝7，求△AEC的周長．【答案】（1）∠B＝36°，∠1=54°；（2）19【解析】解：（1）∵AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，∴BE＝AE，∠ADE＝∠BDE=90°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC＝∠3＋∠4＝72°，∴∠B＝180°?∠C?∠BAC＝180°?72°?72°＝36°，∴∠3＝∠B＝36°，∴∠1＝90°?∠3＝54°；（2）∵BD＝6，∴AB＝2BD＝2×6＝12，∴BC＝12，∵AE＝BE，∴AE＋CE＋AC＝BC＋AC＝12＋7＝19．即△AEC的周長為19．14．在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點．（1）如圖①，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB＝32°，求∠P的大小；（2）如圖②，D為優(yōu)弧ADC上一點，且DO的延長線經(jīng)過AC的中點E，連接DC與AB相交于點P，若∠CAB＝16°，求∠DPA的大?。敬鸢浮浚?）26°；（2）69°【解析】解：（1）如圖①，連接OC，∵PC為切線，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∠CAB＝32°，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°∴∠P=90°-∠POC=90°-64°=26°；（2）如圖②，∵點E為AC的中點，∴OD⊥AC，∵∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C=∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°．15．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE與AC交于E．（1）當(dāng)∠BDA=115°時，∠BAD=°，∠DEC=°；當(dāng)點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】（1）25，115，??；（2）2，理由見解析；（3）能，110°或80°．【解析】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-40°-115°=25°；∵∠ADE=40°，∠ADB=115°，∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°．∴∠DEC=180°-40°-25°=115°，當(dāng)點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變小；故答案為：25，115，小；（2）當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當(dāng)∠BDA的度數(shù)為80°時，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．∴當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．題型三全等三角形1．（2021·遼寧岫巖·九年級期中）如圖，中，，，，點是邊上的一個動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則在點運動過程中，線段的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖，取AB的中點T，連接PT，過點T作TH⊥AC于H．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠ABC=60°，∵AT=TB，∴BC=BT，∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ，∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ，∴△TBP≌△CBQ（SAS），∴CQ=PT，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點P與H重合時，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5，∴CQ的最小值為5．故選A2．（2021·遼寧本溪·九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，，，?AEF為等邊三角形點E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合，則四邊形AECF的面積是（）A．4 B． C．8 D．【答案】B【解析】連接AC，如圖所示，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC、△ACD為等邊三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴S△ABE＝S△ACF，故S四邊形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，過A作AH⊥BC于H，則BH＝BC＝2，∴AH＝，S四邊形AECF＝S△ABC＝BC?AH＝×4×2＝4，故選：B．3．（2021·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校九年級期中）在平行四邊形中，，于，于，，BF相交于H，BF與AD的延長線相交于點G，下面給出四個結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解析】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，∴BE=DE，∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，∴BD=BE，故①正確；∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，∴∠BHE=∠C，又∵在?ABCD中，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，故②正確；在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴BH=CD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，∴AB=BH，故③正確；∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，∴不能得到△BCF≌△DCE，故④錯誤．故選A．4．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級期中）如圖所示，O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到F，使FC＝EC，連結(jié)DF交BE的延長線于點H，連結(jié)OH交DC于點G，連結(jié)HC，則下列結(jié)論：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°，∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BE平分∠DBC，∴∠HBD=∠HBF，∵BH=BH，∴△BHD≌△BHF（ASA），∴DH=HF，∵O為正方形ABCD的中心，∴OD=OB，∴OH是△DBF的中位線∴OH∥BF，故①正確；∴，∠DOH=∠CBD=45°，∠DGO=∠CGO=∠DCB=90°，連接OC，則∠ODG=∠OCG=45°，∴△OGC≌△OGD（AAS），∴，∴GH是△DCF的中位線，∴，∵CE=CF，∴，∵，∴，故③錯誤．∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位線，CD⊥BF，∴FH=CH，∴∠HCF=∠HFC=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正確；∵∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴三角形BDF不是直角三角形，故④錯誤；故選B．5．（2021·廣西·南寧三中九年級期中）將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G．若，，則（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】解：如圖，過點作于，交于點，則，∵四邊形ABCD為正方形，∴，，∵，∴四邊形CDHF為矩形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，∴，，∵，，，在和中，，，，∵，，∴，，∴，∴，故選：D．6．（2021·遼寧·沈陽市第七中學(xué)九年級開學(xué)考試）?BDE和?FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形內(nèi)．若?ABC的周長為9，則五邊形A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】解：為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，．和是兩個全等的等邊三角形，，等邊的周長為9,等邊的邊長為3，五邊形的周長，，．故選：B．7．（2021·福建·武夷山市第二中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為邊AB的中點，E、F分別為邊AC、BC上的點，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，則AB的長為________【答案】【解析】如圖，延長FD到M使得DM=DF，連接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．∵AE=AD，BF=BD，∴∠AED=∠ADE，∠BDF=∠BFD，∴2∠ADE+∠BAC=180°，2∠BDF+∠B=180°，∴2∠ADE+2∠BDF=270°，∴∠ADE+∠BDF=135°，∴∠EDF=180°﹣（∠ADE+∠BDF）=45°，∵∠END=90°，DE=，∴∠EDN=∠DEN=45°，∴EN=DN=1，在△DAM和△DBF中，∴△ADM≌△BDF，∴BF=AM=BD=AD=AE，∠MAD=∠B，∴∠MAE=∠MAD+∠BAC=90°，∴EM=AM，在RT△EMN中，∵EN=1，MN=DM+DN=3，∴EM==，∴AM=，AB=2AM=2，故答案為2．8．（2021·云南·昆明市第三中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、AC于點M、N，分別以M、N為圓心，以大于MN長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點P，連接AP交BC于點E，則BE的長是_____．【答案】【解析】∵AB＝BC＝1，∠B＝36°，∴∠BAC＝∠C＝72°，根據(jù)作圖過程可知：AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝36°，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，∴BE＝AE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝72°，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BE＝AE＝AC，∴△BAC∽△AEC，∴＝，∴＝，整理得：解得BE＝或（舍去），故答案為：．9．（2021·湖北漢川·九年級期中）如圖，已知點P是等邊?ABC內(nèi)一點，，，．將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接PQ，CQ．則的面積為______．【答案】6【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AQ，∠PAQ=60°∴△APQ是等邊三角形，∴PQ=AP=4，∵△ABC、△APQ是等邊三角形，∴∠BAC=∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP=CQ=3，∵在△PQC中，PQ2+CQ2=PC2∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，∴，故答案為：6．10．（2021·山東長清·九年級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中點，連接DE，DE的垂直平分線分別交AB、DE、CD于M、O、N，連接EN，過E作EF⊥EN交AB于F．下列結(jié)論中，正確結(jié)論是______．（填序號）①△BEF∽△CNE；②MN＝3；③BF＝AF；④△BEF的周長是12．【答案】①②④【解析】解：∵EF⊥EN，∴∠FEN=90°，∴∠BEF+∠CEN＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠CEN，∵∠B＝∠C，∴△BEF∽△CNE，故①正確；∵四邊形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中點，∴CD=AB=BC＝6，∴CE=BE＝3，∴，∵MN垂直平分BE，∴，EN＝DN，設(shè)DN＝x，則EN＝x，CN＝6﹣x，連接MD，∵，∴，解得，∴，∵，∴，即，∴，故②正確；∵△BEF∽△CNE，∴，∵BE＝CE＝3，，∴，∴BF＝4，∴AF＝6﹣4＝2，∴BF＝2AF，故③錯誤；∵BE＝3，BF＝4，∴EF＝5，∴△BEF的周長＝3+4+5＝12，故④正確；故答案為：①②④．11．（2021·北京市西城外國語學(xué)校九年級期中）如圖，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α．作CD⊥AB于點D，將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)角α后得到線段BE，連接AE．求證：BE⊥AE．【答案】見解析．【解析】∵線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)角α得到線段BE，∴∵，∴∵CD⊥AB∴在△CBD與△ABE中，∴△CBD≌△ABE.∴∴．12．（2021·江西章貢·九年級期中）如圖，△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，連接DE．（1）求證：△BDE≌△BCE；（2）試說明四邊形ABED為菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）證明：是由在平面內(nèi)繞點旋轉(zhuǎn)而得，，，，，，，在和中，，；（2）四邊形為菱形；由（1）得，是由旋轉(zhuǎn)而得，，，，又，，四邊形為菱形．13．（2021·浙江臺州·九年級期中）如圖，在等腰三角形中，是邊上一點，把點繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點，連接，（1）求證：?（2）當(dāng)點在同一條直線上時，求證：．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析．【解析】（1）證明：∵點繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點，，∴，，∴在△ABD和△ACD’中∴?ABD≌?（2）證明：∵?A