2013春最北師大版七年級(jí)下冊(cè)21兩條直線的位置關(guān)系素材折紙中垂線

拓展練問(wèn)題2：你還能提出什么問(wèn)題？請(qǐng)解決你問(wèn)題H HEFAADBDC（2001?嘉興）如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公AB兩側(cè)的村莊．ABPMQ位置時(shí)，距離NABP，Q的位置（保留畫(huà)圖痕跡．當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段距離M，N兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的ABHM，NAB上畫(huà)出這一點(diǎn)（保留畫(huà)圖痕跡，不必證明；如果不存在，由（1）圖可得：在公路AB的AP上距離M，N兩村莊都越來(lái)越近，在PQ距離NM卻越來(lái)越遠(yuǎn)；MNHM，N（1（3）M卻越來(lái)越遠(yuǎn)．ABAB行駛，M，NABAB上點(diǎn)PM最近；行駛到點(diǎn)QN最近．請(qǐng)AB上分別畫(huà)出點(diǎn)P，Q的位置（保留畫(huà)圖痕跡）．當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段距離M，N兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論，不必證明）ABH，使汽車行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊M，N非歐幾里得幾 Non-EuclideangeometryNon-Euclideangeometry編輯本段誕生歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)，頭四條公設(shè)分別為：由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線。一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)。以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫(huà)圓。凡直角都相等。第五條公設(shè)說(shuō)：同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來(lái)，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn)。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書(shū)中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒(méi)有使用。也就是說(shuō)，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭(zhēng)論了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對(duì)不對(duì)？第五公設(shè)到底能不能證明？到了十九世紀(jì)二十年代， 喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，他走了另一條路子。他提出了一個(gè)和歐式平行公理相題,用它來(lái)代替第五公設(shè)，然羅巴切夫斯基后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開(kāi)一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。但是，在他極為細(xì)致深入的推理過(guò)程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在上匪夷所思，但在邏輯上毫無(wú)題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論：第一，第五公設(shè)不能被證明。第二，在新的公理體系中展開(kāi)的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無(wú)的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱羅氏幾何。這是第一個(gè)被非歐幾何學(xué)。從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不 的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。編輯本段羅氏幾何羅巴切夫斯基幾何的公理系統(tǒng)和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內(nèi)，從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來(lái)代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過(guò)演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。我們知道，羅氏幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明：歐式幾何：同一直線的垂線和斜線相交。垂直于同一直線的兩條直線互相平行。存在相似的多邊形。過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。羅氏幾何：同一直線的垂線和斜線不一定相交。垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。不存在相似的多邊形。過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來(lái)解釋羅氏幾何是正確的。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米 了一篇著名 《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒(méi)有 ，非歐幾何也就自然沒(méi)有 直到這時(shí)，長(zhǎng)期無(wú)人問(wèn)津的非歐幾何才開(kāi)始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。編輯本段黎曼幾何歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何黎曼講“過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過(guò)直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個(gè)問(wèn)題。黎曼幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇《論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)》中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，但總的長(zhǎng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛(ài)因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。編輯本段其他人的貢獻(xiàn)幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過(guò)程中也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對(duì)待。他的父親——數(shù)學(xué)家鮑耶·法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無(wú)功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式 了研究結(jié)果。高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)力量的打擊和，不敢公開(kāi)自己的研究成果，只是在書(shū)信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來(lái)公開(kāi)支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。編輯本段公設(shè)的不同同一直線的垂線和斜線相交。垂直于同一直線的兩條直線互相平行。存在相似的多邊形。過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。羅氏幾何同一直線的垂線和斜線不一定相交。垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。不存在相似的多邊形。過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有 。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐式幾何那樣容易被接受。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米 了一篇著名 《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。編輯本段三種幾何的關(guān)系歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自所有題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。編輯本段分析根據(jù)歐氏幾何的5條公理，可以看出，這里所說(shuō)的“歐氏幾何”實(shí)際上是平面幾何。除平面幾何外，還有立體幾何。我們通常所學(xué)的立體幾何，基本也就是空間中點(diǎn)、線、平面的關(guān)系，沒(méi)有涉及到曲面。羅氏幾何：根據(jù)羅氏幾何的定義：從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行。我們僅需將空間中的平行線，定義為：不相交的兩條直線叫羅氏平行線。就可以得到，過(guò)直線外一點(diǎn)，可以做任意多條直線和這條直線羅氏平行。同一直線的垂線和斜線不一定相交(可能是羅氏平行線)。垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，可能離散到無(wú)窮(不在同一平同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，可能離散到無(wú)窮(不在同一平面的兩條垂線，線距趨于無(wú)限遠(yuǎn))。過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。這個(gè)命題在一個(gè)特殊模型下成立：“過(guò)一個(gè)曲面上的不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，不一定能在曲面上做一個(gè)“公認(rèn)”的圓”。但可以在這個(gè)曲面上做過(guò)這三點(diǎn)的一個(gè)平面的投影圓。黎曼幾何：黎曼幾何的這個(gè)假設(shè)我們沒(méi)有模型：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，但總的長(zhǎng)度是有限的。這個(gè)在球面上是可以應(yīng)用的。此外：曲面上，兩點(diǎn)間最短的線稱為這兩點(diǎn)在該曲面上的直線，則曲面上兩點(diǎn)間的直線，可以有多條。如果一個(gè)曲面上的線，在一個(gè)平面上的投影為一條直線，則稱此直線為此曲面關(guān)于這個(gè)平面的直線，則過(guò)曲面上任意兩點(diǎn)，能且僅能做關(guān)于此平面的一條直線。曲面上三點(diǎn)，不在關(guān)于某平面的直線上，則能且僅能做一個(gè)關(guān)于此平面的圓拓?fù)鋵W(xué)是近代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱于希臘語(yǔ)Τοπολογ?α的音譯。Topology19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時(shí)主要研究的拓?fù)鋵W(xué)，是近代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱于希臘語(yǔ)Τοπολογ的音譯。Topology19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時(shí)主要研究的是和等變形，但不許割斷和粘合)；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。異的若干分支。19世紀(jì)末，在拓?fù)鋵W(xué)的孕育階段，就已出現(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與組合拓?fù)鋵W(xué)兩個(gè)1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的三大數(shù)學(xué)難題之一。中國(guó)曾邦哲于20世紀(jì)80-90年代（結(jié)構(gòu)論）將其命題轉(zhuǎn)換為“四色定理”四色猜想的提出來(lái)自于英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四戰(zhàn)。1878～1880年兩，著名兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想明的進(jìn)程。1976年，數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的證明方法。拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，是萊布尼茨1679年名詞。十九世紀(jì)中期，黎曼在復(fù)義的對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推動(dòng)作用拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的。過(guò)結(jié)點(diǎn)與通信線路之間的幾何關(guān)系來(lái)表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，反映出網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)實(shí)體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)可靠性與通信代價(jià)有很大影響。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲饕侵竿ㄐ抛泳W(wǎng)的拓?fù)錁?gòu)型。對(duì)于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面或割破，他的變換就是拓?fù)渥儞Q，就存在拓?fù)涞葹跛?1790～1868)1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來(lái)涂滿，應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚耐負(fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，這是G.W.萊布尼茨1679年名詞(中文譯成形勢(shì)，形指一個(gè)圖形本身的性質(zhì)，勢(shì)指一個(gè)圖形與其子圖形相對(duì)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)20世紀(jì)30年代中期起后波蘭學(xué)派和學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性（分離性緊性連通性等做了系統(tǒng)的研究。用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞（中文是音譯）是J.B.利斯廷H.龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)密他的主要在n維流形在1895～1904他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。.1873（即函數(shù)的函數(shù)B.9世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。這是萌芽階段。06年引進(jìn)了度量空間的概念。F.（1914）般的拓?fù)淇臻g，標(biāo)志著用公理化方法研究連續(xù)性的一般拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生。L.歐拉1736年解決了七橋問(wèn)題，隨后波蘭學(xué)派和學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）2030年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性L.E.J.布勞威爾在1910～1912提出了用單純映射近連續(xù)映射的方法，許多重要1915年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃浴Ｈ邕B通性、緊性，在影響下H.霍普夫1928年定義了同調(diào)群。從此組合拓?fù)鋵W(xué)逐步演變成利用抽象代數(shù)的方法研究拓?fù)鋯?wèn)題的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。如維數(shù)、歐拉數(shù)，S.N.E.1945年以同倫論研究空間的以及映射的同倫分類.赫維茨193～1936引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的nn?同它的逆映射1950..勒雷為研究纖維叢的同調(diào)論而發(fā)展起來(lái)的譜序列這個(gè)代數(shù)辟了道路。50K理論，解決了關(guān)于流形的30重新興起。H.1935年給出了微分流形的一般定義，并證明它總能嵌入高維歐氏空間1953R.托姆的協(xié)邊理論(見(jiàn)微分拓?fù)鋵W(xué))開(kāi)創(chuàng)了微分拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并肩躍進(jìn)的的進(jìn)一步發(fā)展。從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。1956J.W.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上流形的上述三大范疇之間的關(guān)系以及三維、流形的分類。80年代初的重大成果有：證連續(xù)性與離散性這對(duì)在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著數(shù)學(xué)也可以粗略地分為形上的測(cè)地線，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，H.M.莫爾斯在20世紀(jì)20年代建立了非臨圍變分法。莫爾斯理論后來(lái)又用于拓?fù)鋵W(xué)中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(K亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，陳省身在40年代引進(jìn)了“陳示性類”，就不但對(duì)微（見(jiàn)楊－米爾斯理論"></font>什么是曲線？猶如20世紀(jì)初黎曼幾何學(xué)對(duì)于A.愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的作用。規(guī)范場(chǎng)的研究又促進(jìn)了的微分拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。，3O(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。在托姆的影響下，然后隨意，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。S.60要七色才夠。就是流形上的常微分方程論。M.F.60年代初創(chuàng)立了微分流形上的K理論、指標(biāo)理論、葉K理論的產(chǎn)生?，F(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已此基礎(chǔ)上取得許多重大成果例關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和莫德?tīng)柌孪氲捏w與曲面的分類">歐拉的多面體與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn)，的分類)、化學(xué)（如分子的拓?fù)錁?gòu)形、生物學(xué)(DNA的環(huán)繞、拓?fù)洚悩?gòu)酶)都有直接的應(yīng)參考書(shū)目江澤涵著《拓?fù)鋵W(xué)引論》科學(xué)技術(shù)，1978。M.A.Armstrong著，孫以豐譯《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)，，，上有七座橋（見(jiàn)圖論。1983。(M.A.Armstrong，basicTopology，是20世紀(jì)理論數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)明顯特征McGraw-Hill，London1979S.EilenbergandN.Steenrod，F(xiàn)oundationsofAlgebraicTopology，又相繼出現(xiàn)PrincetonUniv.PressPrinceton，后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。1952.J.L.凱萊著現(xiàn)者已演化成一般拓?fù)鋵W(xué)吳從炘吳讓泉譯《一般拓?fù)鋵W(xué)，原書(shū)名Topology(2ndEdition)原PrenticeHall/Pearson作者（美）JamesR.Munkres機(jī)械工業(yè)本書(shū)最大的特點(diǎn)在于概念引入自然，循序漸進(jìn)。對(duì)于疑難的推理證（一筆畫(huà)問(wèn)題）柯尼斯堡是東普魯士首府，(m.a.armb，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見(jiàn)圖論18世紀(jì)的智力l.歐拉簡(jiǎn)化為用細(xì)