管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論

對(duì)策論由“齊王賽馬”引入1管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論1.對(duì)策論的基本概念三個(gè)基本要素；1.局中人：參與對(duì)抗的各方；2.策略集：局中人選擇對(duì)付其它局中人的行動(dòng)方案稱(chēng)為策略。某局中人的所有可能策略全體稱(chēng)為策略集；3.局勢(shì)對(duì)策的益損值：各局中人各自使用一個(gè)對(duì)策就形成一個(gè)局勢(shì)，一個(gè)局勢(shì)決定了個(gè)局眾人的對(duì)策結(jié)果（量化）稱(chēng)為該局勢(shì)對(duì)策的益損值）2管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論“齊王賽馬”齊王在各局勢(shì)中的益損值表（單位：千金）3管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論齊王的策略集:

S1={1,2,3,4,5,6}田忌的策略集：

S2={1,2,3,4,5,6}

下列矩陣稱(chēng)齊王的贏得矩陣：

3111-1113111-1A=1-13111-111311111-13111-11134管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論1.基本概念（續(xù)）二人有限零和對(duì)策：（又稱(chēng)矩陣策略）局中人為2；每局中人的策略集中策略權(quán)目有限；每一局勢(shì)的對(duì)策均有確定的損益值，并且對(duì)同一局勢(shì)的兩個(gè)局中人的益損值之和為零。5管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論1.基本概念（續(xù)）記矩陣對(duì)策為:

G={S1,S2,A}

甲的策略集甲的贏得矩陣乙的策略集“齊王賽馬”即是一個(gè)矩陣策略.6管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論2.矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略在甲方贏得矩陣中：

A=[aij]m*ni行代表甲方策略i=1,2…mj行代表乙方策略j=1,2…naij代表甲方取策略i,乙方取策略j,這一局勢(shì)下甲方的益損值，此時(shí)乙方的益損值為-aij（零和性質(zhì)）。在討論各方采用的策略是必須注意一個(gè)前提就是對(duì)方是理智的。這就是要從最有把握取得的益損值情況考慮。7管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論2.矩陣對(duì)策的最優(yōu)純策略(續(xù))例：有交易雙方公司甲和乙，甲有三個(gè)策略1，2，3；乙有四個(gè)策略1，2，3，4，根據(jù)獲利情況建立甲方的益損值贏得矩陣。

-30-20A=2301-2-4-13問(wèn)：甲公司應(yīng)采取什么策略比較適合？8管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論甲：采取1至少得益–3(損失3）203-4(損失4）乙：采取1甲最多得益2

（乙最少得益-2）23（乙得益-3）30（乙得益0）43（乙得益-3）取大則取2maxminaij=0

ij取小則取3minmaxaij=0ji9管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論甲采取策略2不管乙采取如何策略，都至少得益。乙采取策略3不管甲采取如何策略，都至少可以得益。（最多損失0）分別稱(chēng)甲，乙公司的最優(yōu)策略，由唯一性又稱(chēng)最優(yōu)純策略。存在前提：

maxminaij=minmaxaij=v

ijji又稱(chēng)（2，3）為對(duì)策G={s1,s2,A}的鞍點(diǎn)。值V為G的值。10管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論3.矩陣對(duì)策的混合策略設(shè)矩陣對(duì)策G={S1,S2,A}當(dāng)maxminaijminmaxaij

ijji

時(shí)，不存在最優(yōu)純策略求解混合策略。11管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論3.矩陣對(duì)策的混合策略例：設(shè)一個(gè)贏得矩陣如下:

min595A=max6策略2866imax89min8

策略1

j12管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論矛盾：甲取2，乙取時(shí)1，甲實(shí)際贏得8比預(yù)期多2（乙就少2）這對(duì)乙講是不滿意的，考慮這一點(diǎn)，乙采取策略2，若甲分析到這一點(diǎn)，取策略1，則贏得更多為9…此時(shí)，甲，乙芳沒(méi)有一個(gè)雙方均可接受的平衡局勢(shì)。一個(gè)思路：對(duì)甲（乙）給出一個(gè)選取不同策略的概率分布，以使甲（乙）在各種情況下的平均贏得（損失）最多（最少）。-----即混合策略13管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論求解方法：線性規(guī)劃法（其他方法：圖解法，迭代法，線性方程法等略）例：59

設(shè)在最壞的情況下，

A=

甲贏得的平均值為V.

86

（未知）STEP11)設(shè)甲使用策略1的概率為X1′X1′+X2′=1

設(shè)甲使用策略2的概率為X2′X1′,X2′014管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論2)無(wú)論乙取何策略，甲的平均贏得應(yīng)不少于V:對(duì)乙取1：5X1’+8X2’V對(duì)乙取2：9X1’+6X2’V

注意V>0,因?yàn)锳各元素為正。STEP2

作變換：X1=X1’/V;X2=X2’/V得到上述關(guān)系式變?yōu)椋?/p>

X1+X2=1/V(V愈大愈好）待定

5X1+8X219X1+6X21X1,X2015管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論建立線性模型：

minX1+X2

s.t.5X1+8X21X1=1/21

9X1+6X21X2=2/21X1,X201/V=X1+X2=1/7

所以：V=7

返回原問(wèn)題：X1’=X1V=1/3

X2’=X2V=2/3

于是甲的最優(yōu)混合策略為：以1/3的概率選1；以2/3的概率選2

最優(yōu)值V=7.16管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論同樣可求乙的最優(yōu)混合策略：設(shè)乙使用策略1的概率為Y1′Y1′+Y2′=1

設(shè)乙使用策略2的概率為Y2′Y1′,Y2′0設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值為V.

這也是乙損失的平均值，越小越好作變換：Y1=Y1’/V;Y2=Y2’/V建立線性模型：

maxY1+Y2

s.t.5Y1+9Y21Y1=1/14

8Y1+6Y21Y2=1/14Y1,Y201/V=Y1+Y2=1/7

所以：V=7

17管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論返回原問(wèn)題：Y1’=Y1V=1/2

Y2’=Y2V=1/2

于是乙的最優(yōu)混合策略為：以1/2的概率選1；以1/2的概率選2

最優(yōu)值V=7.當(dāng)贏得矩陣中有非正元素時(shí)，V0的條件不一定成立，可以作下列變換：選一正數(shù)k，令矩陣中每一元素加上k得到新的正矩陣A’，其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策

G’={S1,S2,A’}與G={S1,S2,A}解相同，但VG=VG’-k18管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論再討論“齊王賽馬”“齊王賽馬”的贏得矩陣A有

maxminaij＝－1minmaxaij＝3

ijji

故需求混合策略，由于A中有非正元素，可選k＝2，令矩陣中每一元素加上k得到新的正矩陣A’：

533313353331

A’=31533313353333315333133519管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論再討論“齊王賽馬”(續(xù))求甲方(齊王)最優(yōu)策略的線性規(guī)劃模型：

minX1+X2+X3+X4+X5+X6

s.t.5X1+3X2+3X3+X4+3X5+3X613X1+5X2+X3+3X4+3X5+3X613X1+3X2+5X3+3X4+3X5+X613X1+3X2+3X3+5X4+X5+3X61X1+3X2+3X3+3X4+5X5+3X613X1+X2+3X3+3X4+3X5+5X61X1，X2，X3，X4，X5，X60

可得兩組解：(0,1/9,1/9,0,0,1/9)T,(1/18,1/18,1/18,1/18,1/18,1/18)T,V’=3于是，X’＝(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T,X’＝(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)T

V=V’-2=1即齊王的最優(yōu)混合策略值是贏1千金20管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論再討論“齊王賽馬”(續(xù))求乙方(田忌)最優(yōu)策略的線性規(guī)劃模型：

minY1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6

s.t.5Y1+3Y2+3Y3+3Y4+Y5+3Y613Y1+5Y2+3Y3+3Y4+3Y5+Y613Y1+Y2+5Y3+3Y4+3Y5+3Y61Y1+3Y2+3Y3+5Y4+3Y5+3Y613Y1+3Y2+3Y3+Y4+5Y5+3Y613Y1+3Y2+Y3+3Y4+3Y5+5Y61Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y60

可得兩組解：(1/9,0,0,1/9,1/9,0)T,(1/18,1/18,1/18,1/18,1/18,1/18)T,V’=3于是，Y’＝(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T,Y’＝(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)T

V=V’-2=1即田忌的最優(yōu)混合策略值是輸1千金21管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論優(yōu)超原則：假設(shè)矩陣對(duì)策G={S1,S2,A}

甲方贏得矩陣A=[aij]mn--若存在兩行，s行的各元素均優(yōu)于t行的元素，即

asjatjj=1,2…n

稱(chēng)甲方策略s優(yōu)超于t--若存在兩列，s列的各元素均優(yōu)于t列的元素，即

ais

aiti=1,2,…,m

稱(chēng)乙方策略s優(yōu)超于t3.矩陣對(duì)策的混合策略(續(xù))22管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論--優(yōu)超原則：當(dāng)局中人甲方的策略t被其它策略所優(yōu)超時(shí)，可在其贏得矩陣A中劃去第t行（同理，當(dāng)局中人乙方的策略t被其它策略所優(yōu)超時(shí)，可在矩陣A中劃去第t列）。如此得到階數(shù)較小的贏得矩陣A’，其對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)策

G’={S1,S2,A’}與G={S1,S2,A}等價(jià)，即解相同。3.矩陣對(duì)策的混合策略(續(xù))23管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論例設(shè)甲方的益損值贏得矩陣。

32030

被第3、4行所優(yōu)超

50259

被第3行所優(yōu)超

A=7395946875.560883得到

73959被第1列所優(yōu)超

A1=46875.5被第2列所優(yōu)超

608833.矩陣對(duì)策的混合策略(續(xù))24管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論續(xù)例得到

739A2=465.5

603

被第1行所優(yōu)超得到

739

被第1列所優(yōu)超

A3=465.573最終得到A4=463.矩陣對(duì)策的混合策略(續(xù))25管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論對(duì)A4計(jì)算，用線性規(guī)劃方法得到：（注意：余下的策略為3，4，1，2）甲：X*=(0，0，1/15，2/15，0)TV=5X*’=(0，0，1/3，2/3，0)T

乙：Y*=(1/10，1/10，0，0，0)TV=5Y*’=(1/2，1/2，0，0，0)T

注：利用有超原則化簡(jiǎn)贏得矩陣時(shí)，有可能將原對(duì)策問(wèn)題的解也劃去一些（多解情況）；線性規(guī)劃求解時(shí)有可能是多解問(wèn)題。習(xí)題：P343-1，3，43.矩陣對(duì)策的混合策略(續(xù))決策分析26管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論SWTOSTWTOSOW附1：SWOT分析27管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論重要緊急IIVIIIII附2：如何安排自己的日程生活呢？28管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論BIES附3：誰(shuí)也不能阻礙你成為一個(gè)富人------羅博特.清崎1.4種人對(duì)資產(chǎn)(asset)與負(fù)債(liability)的認(rèn)可是不一樣的2.Viewpointsoneducation1)academic2)professional3)financial3.Somesuggestions1)vocabularyrelatedtomoney2)team3)mistakes29管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論附4：人的分類(lèi)與企業(yè)剩余的關(guān)系*錢(qián)財(cái)才能IIIIIIIVIIIIIIIV剩余索取權(quán)剩余控制權(quán)30管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論例1：例一：囚徒困境(prisoner’sdilemma)

在這個(gè)例子中，納什均衡就是（坦白，坦白）。囚徒困境反映了一個(gè)很深刻的問(wèn)題，這就是個(gè)人理性與集體理性的矛盾，如果兩個(gè)人都抵賴(lài)，各判刑1年，顯然比都坦白判刑8年好。但這個(gè)帕累托改進(jìn)辦不到，因?yàn)樗粷M足個(gè)人理性要求，（抵賴(lài)，抵賴(lài)）不是納什均衡。該例子在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用：如果兩個(gè)企業(yè)聯(lián)合起來(lái)形成卡特爾，選擇壟斷利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，每個(gè)企業(yè)都可得到更多的利潤(rùn)。但卡特爾協(xié)定不是一個(gè)納什均衡，因?yàn)榻o定對(duì)方遵守協(xié)議的情況下，每個(gè)企業(yè)都想增加生產(chǎn)，結(jié)果是，每個(gè)企業(yè)都只能得到納什均衡產(chǎn)量的利潤(rùn)，它嚴(yán)格小于卡特爾產(chǎn)量下的利潤(rùn)。這個(gè)例子說(shuō)明，在有些情況下，個(gè)人理性與集體理性的沖突對(duì)逐個(gè)社會(huì)來(lái)說(shuō)，也許是件好事，盡管它對(duì)該集體的成員來(lái)說(shuō)是件壞事。當(dāng)然這里的前提條件是集體成員的數(shù)量嚴(yán)格小于全體社會(huì)成員的數(shù)量。囚徒B坦白抵賴(lài)囚徒A坦白

（-8，-8）（0，-10）

抵賴(lài)（-10，0）（-1，-1）31管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論

公共產(chǎn)品的估計(jì)也是一個(gè)囚徒困境問(wèn)題。如果大家都出錢(qián)興辦公用事業(yè)，所有人的福利都會(huì)增加，問(wèn)題是，如果我出錢(qián)你不出錢(qián)，我得不償失，而你出錢(qián)我不出錢(qián)，我就可以占你的便宜。所以每個(gè)人的最優(yōu)選擇都是“不出錢(qián)”，這種納什均衡使得所有人的福利都得不到提高。經(jīng)濟(jì)改革本身也可能是這樣。在許多改革中，改革者要付出成本（包括風(fēng)險(xiǎn)），而改革的成果大家享受，結(jié)果是，盡管人人都認(rèn)為改革好，卻沒(méi)有人真正去改革，大家只好在都不滿意的體制下繼續(xù)生活下去。從囚徒困境中，我們可以引出一個(gè)很重要的結(jié)論：一種制度安排，要發(fā)生效力，必須是一種納什均衡。否則，這種制度安排便不能成立。32管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論例2：智豬博弈（boxerpigs）

納什均衡是（大豬按，小豬等）。這反映了一個(gè)不合理的現(xiàn)象：多勞者不多得。在股票市場(chǎng)，大戶是大豬，小戶是小豬。一個(gè)村子里有兩戶人家，一個(gè)是富裕戶，一個(gè)是窮戶，要修一條路。富戶是大豬，窮戶是小豬。大豬修路，小豬搭便車(chē)。改革中，一部分人的好處比另一部分人的好處多，好處多的人是大豬，后者是小豬。大豬推動(dòng)改革的進(jìn)程。小豬按等待大豬按

（5，1）（4，4）等待（9，-1）（0，0）33管理運(yùn)籌學(xué)-對(duì)策論

例3：性別戰(zhàn)（battleofsexes）

有兩個(gè)納什均衡（足球，足球）、（芭蕾，芭蕾）。究竟實(shí)際中發(fā)生哪一個(gè)，我們不知道，但我們知道這里存在一個(gè)先動(dòng)優(yōu)勢(shì)。

例4：斗雞博弈（chickengame）

也有兩個(gè)納什均衡（進(jìn)，退）和（退，進(jìn)）。究竟誰(shuí)進(jìn)誰(shuí)退呢？女足球芭蕾男足球

（2，1）