第八節(jié) 討論單調(diào)區(qū)間-解析版

第八節(jié)討論單調(diào)區(qū)間知識與方法研究帶參函數(shù)的單調(diào)性往往需要對參數(shù)進行分類討論，常見的題型有兩類:.單零點：;(x)至多只有1個零點，討論的邏輯如圖1所示..雙零點：;(x)至多只有2個零點，討論的邏輯如圖2所示.(工)在定義域內(nèi)沒有零點(不變號)''"在定義域內(nèi)有零點(變號)圖1/(X)在定義域內(nèi)有一個零點辦求r3n/'(X)在定義域內(nèi)有兩個零點X和[%]>x2圖2注意：這類題主要的難點是分類討論的邏輯不易理清，建議同學(xué)們刷題后反思一下該題是屬于上面的哪種類型，不斷強化尋找分類討論分界點的方法.典型例題【例1】討論/(x)=41nx-x+1(qeR)的單調(diào)性.【解析】由題意,f\x)=--l=—(x>0),當(dāng)4<0時，r(x)<o,所以〃力在(0,+8)上單調(diào)遞減,當(dāng)〃>0時，/'(x)〉0=0<x<a,廣(x)<0ox〉q,所以“X)在(0,〃)上單調(diào)遞增，在(〃,+8)上單調(diào)遞減.變式1討論/(x)=eA-ax+l(tzeR)的單調(diào)性.【解析】由題意，/'(x)=e、-當(dāng)4<0時，-(力>0,所以〃力在R上單調(diào)遞增，當(dāng)〃>0時，由/'(x)>0得：x>lna,由/'(x)<0得：x<lna,所以/(x)在(-°°』nQ)上單調(diào)遞減，在(In/+oo)上單調(diào)遞增.變式2討論/(x)=xln%-ox+l在上的單調(diào)性.【解析】由題意，1(x)=lnx-(〃一1)(x〉0),當(dāng)工￡-,e時，_e_當(dāng)“KO時，a-\<-\,所以/'(x)=ln%-(a-l"0,故/(%)在J,e］上單調(diào)遞增，當(dāng)［22時，a-l>l,所以尸(%)=111%-(0-1)40,故/(x)在J,e］上單調(diào)遞減，當(dāng)0v.v2時，一Iva-lvl,由/'(x)>0得：ea~］<x<e,由/'(x)<0得：-<x<ea~l9e所以〃x)在卜］-“上單調(diào)遞減，在㈤上單調(diào)遞增._eJ匚」變式3(2017?新課標I卷?節(jié)選)已知函數(shù)/(司=4-+(。-2)/-X，討論/(X)的單調(diào)性.【解析】由題意，r(x)=2a/+(〃—2僻—1=(a—1)(2/+1),當(dāng)a<0時，r(x)<0,所以/(x)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)a>0時,由/'(X)〉。得：x>］na9由廣(x)〈0得:x<-］na9所以/(x)在(f°』na］上單調(diào)遞減，在［-In。,+oo)上單調(diào)遞增.【反思】例1及其變式這幾道題都是屬于/'(X)最多有一個零點的情況，討論的依據(jù)就是在定義域范圍內(nèi)是否有零點.【例2】(2019?新課標in卷?節(jié)選)己知函數(shù)〃x)=2d—依2+人討論/(另的單調(diào)性.【解析】由題意，/r(x)=6x2-2ax=2x(3x-tz),當(dāng)avO時，由/'(x)〉。得：或x>0,由/'(x)<0得：-<x<0,TOC\o"1-5"\h\z所以小)在［-上單調(diào)遞增，在化0)上單調(diào)遞減，在(0收)上單調(diào)遞增，\3J\3J當(dāng)〃=0時，廣(耳20恒成立，所以/(力在R上單調(diào)遞增，當(dāng)〃>0時，由/'(x)>0得：xvO或由/'(x)<。得：Q<x<—,/X/\所以“X)在(-00,0)上單調(diào)遞增，在0,-上單調(diào)遞減，在3+00上單調(diào)遞增.\k37變式1已知函數(shù)/(x)=alnx+L%2一(々+1)%+］(Q￡r),討論“X)的單調(diào)性.【解析】由題意，/⑴，+i—l=(i)g)(x〉0),XX當(dāng)時，由/'（x）〉。得：x＞\由/'（x）＜。得：Ovxvl,所以〃x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增,當(dāng)Ovavl口寸，由/'（X）〉。得：Ovxva或由/'（x）＜。得：avxvl,所以在（0,。）上單調(diào)遞增，在（。,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增,當(dāng)〃=1時，-（力20恒成立，所以/（力在（0,+8）上單調(diào)遞增,當(dāng)時，由/'（X）〉。得：Ovxvl或x＞Q,由廣（x）＜0得：\＜x＜a,所以在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,。）上單調(diào)遞減，在?+8）上單調(diào)遞增.變式2已知函數(shù)f(x)=Zlnx+L?-辦(cieR),討論f(x)的單調(diào)性.【解析】由題意，/,(%)=—+X-6Z(X>0),x+—>2Jx--=2V2,XXJC當(dāng)a42血時,/r（x）＞0,所以/⑴在（0,+向上單調(diào)遞增,當(dāng)當(dāng)a>2\/2時，1(x)>0=0<x<當(dāng)a>2\/2時，1(x)>0=0<x<當(dāng)a>2\/2時，1(x)>0=0<x<q—a/q?—8〃+a/q~—8/(x)<0<=>/(x)<0<=>/(x)<0<=>所以“X）在0,匕便三1\7,+oo27上單調(diào)遞增，在a—da2—8Q+JCT-8)單調(diào)遞減.變式3已知函數(shù)/（jc）=lnA：+—a:2-2x+l（＜7gR）,討論/(x)<0<=>所以“X）在0,匕便三1\7,+oo27上單調(diào)遞增，在a—da2—8Q+JCT-8)單調(diào)遞減.變式3已知函數(shù)/（jc）=lnA：+—a:2-2x+l（＜7gR）,討論了（x）的單調(diào)性.【解析】由題意，1（力='+仆一2=竺』生已（工〉0）,當(dāng)av0時，/(x)>0<=>0<x<所以“X）在0,1—J1-La>上單調(diào)遞增，在r(%)<0=%>---—―,ma,+8上單調(diào)遞減,7當(dāng)a=。時，,(x)>0o0<x<，,/1、,尸(x)<Oox>，,所以〃力在0二上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減,/aa1，/\八1—Jl—a1+J1—ar;匚i、［/?/、六(八1-Jl-a］f1+\j\—a］匚m、國/r(x)<0<=><x<，所以/(x)在0,，,+8上單調(diào)'aaIaaJ遞增，在(匕正2,匕正2］上單調(diào)遞減，當(dāng)aNl時，r(x)=6a2-2x+1>x2-2-X+1=^^->0,所以/(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.XXX變式4已知函數(shù)/(%)=(%—2)/—依—1,其中a為實數(shù)，討論〃力的單調(diào)性.【解析】由題意，1(x)=(x-l)e"-av+a=(x-D(e"-a),xgR,當(dāng)aKO時,r(x)>0ox>l,/'(%)vOoxvl,所以在(-oo,l)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)上單調(diào)遞增，當(dāng)0vq<6時，/'(力〉0=1<1114或%>1,jT(x)<O=lna<x<l,所以/(X)在(-00,Ina)上單調(diào)遞增，在(ln〃,1)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)上單調(diào)遞增，當(dāng)Q=e時，1(力20恒成立，所以/(另在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a〉e時，/'(%)>0=工<1或%>1口〃，/'(x)<0ol<x<lna,所以〃x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(l,ln〃)上單調(diào)遞減，在(Ina,+oo)上單調(diào)遞增.變式5已知函數(shù)〃x)=_L/x—(〃+1)/+以+1,其中Q為實數(shù)，討論的單調(diào)性.【解析】由題意，/(力=/_(a+i)e"+〃=(/_〃)(/—1),xeR,當(dāng)q<0時，/r(x)>0<=>x>0,/"(%)<0<=>x<0,所以/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+ao)上單調(diào)遞增，當(dāng)Ovavl時，/'(%)>00%<111〃或%>0,/'(x)<0=ln4<%<。，所以〃x)在(-oo/na)上單調(diào)遞增，在(In凡0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)a=l時，/(力2。恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，當(dāng)々>1時，/'(X)>0=x<0或x>lna，/r(x)<0<=>0<x<lntz,所以〃x)在(-00,0)上單調(diào)遞增，在(O』n〃)上單調(diào)遞減，在(ln〃,+00)上單調(diào)遞增.【反思】例2及其變式這幾道題，都是屬于r(x)最多有兩個零點的情形，討論的依據(jù)首先是廣(村有一個零點還是兩個零點，其次是:(x)有兩個零點的情形下，這兩個零點的大小關(guān)系是怎樣的.強化訓(xùn)練.已知函數(shù)/(x)=xlnx-(tz+l)x+1,討論/(x)在(0,e］上的單調(diào)性.【解析】由題意，/r(x)=\nx-a,當(dāng)X￡(0,e］時，lnx<l,當(dāng)心1時，/'(x)K。，所以/(%)在(0,e］上單調(diào)遞減,當(dāng)avl時，/"(x)>0<^>ea<x<e,尸(x)<0=0<九ve",所以在(0d)上單調(diào)遞減，在(以e］上單調(diào)遞增.依+2x(x>0),.已知函數(shù)/(x)=21nx+儀+1,依+2x(x>0),7【解析】由題意，/(司=±+4=X當(dāng).20時，當(dāng)(力>0恒成立,所以了(力在(0,+oo)上單調(diào)遞增,當(dāng)當(dāng)a<0時,當(dāng)a<0時,/'(X)>OoO<x</'(x)>Oox>所以在當(dāng)a<0時,/'(X)>OoO<x</'(x)>Oox>.已知函數(shù)"X)="+"，求〃%)在［0,1］上的最小值.【解析】由題意，r(x)=e”+a,當(dāng)xe［0,1］時，當(dāng)e時，((同“0恒成立，所以“X)在［0』上單調(diào)遞減，故⑴=e+。，當(dāng)“2—1時，/z(x)>0,所以在［0,1］上單調(diào)遞增，故“切疝”=〃0)=1,當(dāng)-evav-l時，/'(X)>0=In(-q)<1,/'(x)<O=O<x<ln(-a),所以〃x)在［0/n(-〃))上單調(diào)遞減，在(ln(-〃)」］上單調(diào)遞增,故〃x)min=/(in(-a))="In(-a)-a，e-\-a,a<-e綜上所述，在[0,1]上，/(x)^41n(一a<-1.已知函數(shù)/(光)./—"Zf+2以+1.gr),討論的單調(diào)性.【解析】由題意，ff(x)=x2-(6Z+2)X+26Z=(X-6Z)(X-2),當(dāng)av2時，/'(X)>0=x<a或x>2,/'(x)<0=a<x<2,所以/(X)在(-00,々)上單調(diào)遞增，在(4,2)上單調(diào)遞減，在(2,+00)上單調(diào)遞增，當(dāng)a=2時，/X%)=(%-2)2>0,所以〃力在R上單調(diào)遞增，當(dāng)〃>2時，/'(%)>00]<2或%>〃，/(X)v0=2<x<q,所以〃x)在(-00,-2)上單調(diào)遞增，在(2,q)上單調(diào)遞減，在(Q,+oo)上單調(diào)遞增..已知函數(shù)/(x)=(x+l)e"+@冗2+2辦+1R),討論/(x)的單調(diào)性.【解析】由題意，r(x)=(x+2)e"+ar+2〃=(x+2)(e"+q),當(dāng)aNO時，/'(x)〉0=x>-2,1(x)<0=x<-2,所以在(-oo,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+oo)上單調(diào)遞增,當(dāng)一-^<qvO時，ln(—Q)<—2,所以廣(x)>Oox—ln(—Q)或x>—2,e/r(x)<0<=>In<x<-2,故〃￡)在(-oo』n(-a))上單調(diào)遞增，在(ln(-Q),-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+oo)上單調(diào)遞增,當(dāng)a=-《時，廣(力20恒成立，所以/(%)在R上遞增，當(dāng)qv^時，ln(-tz)>-2,所以1(%)>0=%<-2或x>ln(-ci),e/'(%)<0<^>-2<x<In(-(2),故在(-00,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,ln(-a))上單調(diào)遞減，在(ln(-。),+8)上單調(diào)遞增.7r_1.(2016?山東?節(jié)選)已知〃x)=a(x-lnx)+——,討論的單調(diào)性.X(x-l](ax2-2)【解析】由題意，/(%)=-一二——L,x>0,當(dāng)aKO時，?2—2<0恒成立，所以/'(x)>0=0<xvl,/r(x)<0<=>x>l,故〃力在（0,1）上單調(diào)遞增，在（l,+oo）上單調(diào)遞減,當(dāng)Ova<2時，—>19所以>0<=>0<x<1或x〉,/，(x)<0ol<x<故〃x）在（0,1）故〃x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在2,+oo］上單調(diào)遞增,a）當(dāng)a=20寸，當(dāng)（x）=2（x+1）'T）20恒成立,所以/（“在（0,+oo）上單調(diào)遞增,X當(dāng)當(dāng)a>2時，0<當(dāng)a>2時，0<—<1,所以/當(dāng)a>2時，0<—<1,所以/'(%)>0=0<光<2或x>l,/,(%)<0<^>上單調(diào)遞增，在all上單調(diào)遞減，在（1,+00）上單調(diào)遞增.【反思】本題在，>0時，雖然廣（力看似可以有1、±J2這三個零點，但實際上，在定義域Va范圍內(nèi)只有兩個零點..已知函數(shù)〃x）=（2—i）lnx—x—0+1（qeR）,討論“力的單調(diào)性.x>■.1口犬*c,（、2—。ci—\（%+。—1）（1—x）【解析】由題意，f（x）=r1——二.x>0,XXX當(dāng)時，X+6Z-1>0,所以.f'(x)>OoO<x<l,/'(x)<O=x〉l,故f（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+00）上單調(diào)遞減,當(dāng)Ovavl時，/'(x)〉0=1—a<x<l,1(x)<0<=>。<%<1一a或x>l