第三知識(shí)塊導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用易錯(cuò)及熱點(diǎn)知識(shí)分

第三知識(shí)塊導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用易錯(cuò)及熱點(diǎn)知識(shí)分析考點(diǎn)點(diǎn)擊導(dǎo)數(shù)的概念曲線的切線導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用性最值問(wèn)題）備考指南通過(guò)2022高考可以看到有關(guān)導(dǎo)數(shù)的高考題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值，應(yīng)用問(wèn)題中的最值．其中導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作為2022年高考命題重點(diǎn)應(yīng)引起高度注意．考查的方向還是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間上的最大值或最小值，或利用求導(dǎo)法解應(yīng)用題．研究函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間等，這些已成為高考的一個(gè)新的熱點(diǎn)問(wèn)題．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為解題工具，有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復(fù)習(xí)時(shí)要注意到這一點(diǎn).易錯(cuò)、熱點(diǎn)知識(shí)及其學(xué)法指導(dǎo)1、求過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程（1）解題步驟：eq\o\ac(○,1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將帶入導(dǎo)數(shù)中，得切線斜率；eq\o\ac(○,2)將帶入原函數(shù)表達(dá)式計(jì)算得到該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則切點(diǎn)為eq\o\ac(○,3)最后用點(diǎn)斜式寫出切線方程（2）切線方程問(wèn)題注意點(diǎn)：eq\o\ac(○,1)求切線方程時(shí)，要注意直線在某點(diǎn)相切還是切線過(guò)某點(diǎn)，因此在求切線方程時(shí)，除明確指出某點(diǎn)是切點(diǎn)之外，一定要設(shè)出切點(diǎn)，再求切線方程；eq\o\ac(○,2)和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是切線，反之，切線不一定和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此，切線不一定在曲線的同側(cè)，也可能有的切線穿過(guò)曲線；eq\o\ac(○,3)兩條曲線的公切線有兩種可能，一種是有公共切點(diǎn)，這類公切線的特點(diǎn)是在切點(diǎn)的函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值相等；另一種是沒(méi)有公共切點(diǎn)，這類公切線的特點(diǎn)是分別求出兩條曲線的各自切線，這兩條切線重合。2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程已知（1）分析的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系eq\o\ac(○,1)與為增函數(shù)的關(guān)系：能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。eq\o\ac(○,2)時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系：若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有?！喈?dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。eq\o\ac(○,3)與為增函數(shù)的關(guān)系：為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用，解決單調(diào)性、參數(shù)的范圍等問(wèn)題，需要解導(dǎo)函數(shù)不等式，這類問(wèn)題常常涉及解含參數(shù)的不等式或含參數(shù)的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函數(shù)的表達(dá)式常常含有參數(shù)，所以在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意對(duì)參數(shù)的分類討論和函數(shù)的定義域。3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值問(wèn)題求極值的步驟說(shuō)明：（1）導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)，但在左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)并無(wú)變化，因此該點(diǎn)并非極值（2）若方程無(wú)根，則函數(shù)無(wú)極值；若方程有根，則方程的根將數(shù)軸分為若干區(qū)間，逐一計(jì)算導(dǎo)數(shù)在每個(gè)區(qū)間的符號(hào)，畫出“符號(hào)分布表”，判斷符號(hào)時(shí)，若導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)可根據(jù)其圖象來(lái)判斷符號(hào)分布，若高于二次則將表達(dá)式化為乘積形式逐區(qū)間判斷符號(hào)；（3）判斷極值類型后應(yīng)將坐標(biāo)帶入原函數(shù)計(jì)算得到極值。(4)三次函數(shù)若有極值，則一定有兩個(gè)，有極值的充要條件是其導(dǎo)數(shù)與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即這個(gè)方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即。4．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值：在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在［a，b］上必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，先求出的點(diǎn)，然后求出使的所有點(diǎn)的函數(shù)值，再與端點(diǎn)函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.注意：極值與最值的區(qū)別：（1）函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題，是一個(gè)局部概念，而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義區(qū)間而言，是在整體范圍內(nèi)討論問(wèn)題，是一個(gè)整體性概念.（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開(kāi)區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值.（3）函數(shù)在定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有.5、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)即曲線與軸的交點(diǎn)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān)，解題時(shí)要用圖像幫助思考，研究函數(shù)的極值點(diǎn)相對(duì)于軸的位置，和函數(shù)的單調(diào)性。6、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的證明證明不等式在區(qū)間D上成立，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間D上的最小值等于零；而證明不等式在區(qū)間D上成立，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間D上的最小值大于零，或者證明、。因此不等式的證明問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最大(小)值問(wèn)題。錯(cuò)解剖析易錯(cuò)點(diǎn)一、求過(guò)一點(diǎn)的曲線的切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線數(shù)在某點(diǎn)處切線的斜率．所以求切線的方程可通過(guò)求導(dǎo)數(shù)先得到斜率，再由切點(diǎn)利用點(diǎn)斜式方程得到，求過(guò)點(diǎn)p（x0，y0）的切線方程時(shí)，一要注意p（x0，y0）是否在曲線上，二要注意該點(diǎn)可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，因而所求的切線方程可能不只有1條例1、已知曲線及點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程.【錯(cuò)解】：，過(guò)點(diǎn)的切線斜率，過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程為.【正解】：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線切于點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的曲線的切線斜率，又，。①點(diǎn)在曲線上，②，②代入①得化簡(jiǎn)，得，或.若，則，過(guò)點(diǎn)的切線方程為；若，則，過(guò)點(diǎn)的切線方程為過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程為或【點(diǎn)評(píng)】：曲線在某點(diǎn)處的切線斜率是該曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在此題中，點(diǎn)湊巧在曲線上，求過(guò)點(diǎn)的切線方程，卻并非說(shuō)切點(diǎn)就是點(diǎn)，上述解法對(duì)求過(guò)點(diǎn)的切線方程和求曲線在點(diǎn)處的切線方程，認(rèn)識(shí)不到位，發(fā)生了混淆.易錯(cuò)點(diǎn)二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即。因此掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)例2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為?！惧e(cuò)解】：【正解】：.【點(diǎn)評(píng)】：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,沒(méi)有分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，如的復(fù)合結(jié)構(gòu),所以有的同學(xué)求導(dǎo)錯(cuò)了.易錯(cuò)點(diǎn)三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3、已知函數(shù)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間?！惧e(cuò)解】：由得出函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)?！菊狻浚簱?jù)解析式可知函數(shù)定義域?yàn)?，由?故函數(shù)在和上分別為增函數(shù).【點(diǎn)評(píng)】：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則例4、已知向量，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍．【錯(cuò)誤分析】：此題考查的是可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．判斷的法則是：設(shè)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù)，反之亦然．【正解】：依向量數(shù)量積的定義：故：，若在上是增函數(shù)，則在上可設(shè)．的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，由根的分布原理可知：當(dāng)且僅當(dāng)，且，上滿足，即在上是增函數(shù)．綜上所述的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】：是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過(guò)程中易誤作是充要條件。例5、已知，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【錯(cuò)誤分析】：利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解．【解析】：令=0得．當(dāng)即<0或>4時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)根,，不妨設(shè)<，則，易判斷在和兩側(cè)的符號(hào)都相反，即此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（2）當(dāng)△=0即=0或=4時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，于是，故在的兩側(cè)均有>0，因此無(wú)極值．（3）當(dāng)△<0即0<<4時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根，即，故為增函數(shù)，此時(shí)無(wú)極值．綜上所述：當(dāng)無(wú)極值點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】：此題考查的是可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充要條件，即：設(shè)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充要條件是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零且在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)．本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化例6、已知是實(shí)數(shù)，函數(shù).⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值.（i）寫出g(a)的表達(dá)式；（ii）求的取值范圍，使得.【錯(cuò)誤分析】：通過(guò)求導(dǎo)來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)是一種非常重要而有效的方法。通常的步驟：先求導(dǎo)，要注意求導(dǎo)后定義域的情況；將導(dǎo)數(shù)整理變形，能看出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)性質(zhì)或零點(diǎn)。再列表，從表中回答所要求解答的問(wèn)題?！窘馕觥浚海?）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，（）．若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間．若，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間．（2）解：（i）若，在上單調(diào)遞增，所以．若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．若，在上單調(diào)遞減，所以．綜上所述，（ii）令．若，無(wú)解．若，解得．若，解得．故的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】：函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式綜合在一起，解決極值，極值點(diǎn)、最值等問(wèn)題，這類問(wèn)題常常涉及求函數(shù)解析式、求參數(shù)值或取值范圍問(wèn)題。解決極值，極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性；參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為解不等式的問(wèn)題；有時(shí)需要借助于方程的理論來(lái)解決。從而達(dá)到考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想。思維方法總結(jié)1．應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則時(shí)，首先要分析所給函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成，或者說(shuō)，所給函數(shù)能分解成哪些函數(shù)，直至能用求導(dǎo)法則為止．2．函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率．3．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)．應(yīng)當(dāng)注意，在區(qū)間內(nèi)是在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件；也只是在區(qū)間上為減函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．4．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟：①求；②求方程的根；③分析在方程根左、右兩側(cè)的值的符號(hào)