第三知識塊導數(shù)及其應用易錯及熱點知識分

第三知識塊導數(shù)及其應用易錯及熱點知識分析考點點擊導數(shù)的概念曲線的切線導數(shù)的運算導數(shù)的應用（用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、利用導數(shù)解應用性最值問題）備考指南通過2022高考可以看到有關(guān)導數(shù)的高考題主要考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值，應用問題中的最值．其中導數(shù)在函數(shù)中的應用作為2022年高考命題重點應引起高度注意．考查的方向還是利用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間上的最大值或最小值，或利用求導法解應用題．研究函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間等，這些已成為高考的一個新的熱點問題．利用導數(shù)的幾何意義作為解題工具，有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復習時要注意到這一點.易錯、熱點知識及其學法指導1、求過曲線上點的切線方程（1）解題步驟：eq\o\ac(○,1)先求函數(shù)的導數(shù)，將帶入導數(shù)中，得切線斜率；eq\o\ac(○,2)將帶入原函數(shù)表達式計算得到該點的縱坐標，則切點為eq\o\ac(○,3)最后用點斜式寫出切線方程（2）切線方程問題注意點：eq\o\ac(○,1)求切線方程時，要注意直線在某點相切還是切線過某點，因此在求切線方程時，除明確指出某點是切點之外，一定要設(shè)出切點，再求切線方程；eq\o\ac(○,2)和曲線只有一個公共點的直線不一定是切線，反之，切線不一定和曲線只有一個公共點，因此，切線不一定在曲線的同側(cè)，也可能有的切線穿過曲線；eq\o\ac(○,3)兩條曲線的公切線有兩種可能，一種是有公共切點，這類公切線的特點是在切點的函數(shù)值相等，導數(shù)值相等；另一種是沒有公共切點，這類公切線的特點是分別求出兩條曲線的各自切線，這兩條切線重合。2、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的求解過程已知（1）分析的定義域；（2）求導數(shù)（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間（2）導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系eq\o\ac(○,1)與為增函數(shù)的關(guān)系：能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。eq\o\ac(○,2)時，與為增函數(shù)的關(guān)系：若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有?！喈敃r，是為增函數(shù)的充分必要條件。eq\o\ac(○,3)與為增函數(shù)的關(guān)系：為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。研究函數(shù)的單調(diào)性問題是導數(shù)的一個主要應用，解決單調(diào)性、參數(shù)的范圍等問題，需要解導函數(shù)不等式，這類問題常常涉及解含參數(shù)的不等式或含參數(shù)的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函數(shù)的表達式常常含有參數(shù)，所以在研究函數(shù)的單調(diào)性時要注意對參數(shù)的分類討論和函數(shù)的定義域。3、利用導數(shù)求函數(shù)極值問題求極值的步驟說明：（1）導數(shù)為0的點不一定是極值點，如函數(shù)，但在左右導數(shù)符號并無變化，因此該點并非極值（2）若方程無根，則函數(shù)無極值；若方程有根，則方程的根將數(shù)軸分為若干區(qū)間，逐一計算導數(shù)在每個區(qū)間的符號，畫出“符號分布表”，判斷符號時，若導數(shù)是二次函數(shù)可根據(jù)其圖象來判斷符號分布，若高于二次則將表達式化為乘積形式逐區(qū)間判斷符號；（3）判斷極值類型后應將坐標帶入原函數(shù)計算得到極值。(4)三次函數(shù)若有極值，則一定有兩個，有極值的充要條件是其導數(shù)與x軸有兩個不同交點，即這個方程有兩個不等實根，即。4．利用導數(shù)求函數(shù)的最值：在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在［a，b］上必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，先求出的點，然后求出使的所有點的函數(shù)值，再與端點函數(shù)值比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.注意：極值與最值的區(qū)別：（1）函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義區(qū)間而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性概念.（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值.（3）函數(shù)在定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值則可能不止一個，也可能沒有.5、利用導數(shù)求函數(shù)零點函數(shù)的零點即曲線與軸的交點，零點的個數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān)，解題時要用圖像幫助思考，研究函數(shù)的極值點相對于軸的位置，和函數(shù)的單調(diào)性。6、利用導數(shù)解決不等式的證明證明不等式在區(qū)間D上成立，等價于函數(shù)在區(qū)間D上的最小值等于零；而證明不等式在區(qū)間D上成立，等價于函數(shù)在區(qū)間D上的最小值大于零，或者證明、。因此不等式的證明問題可以轉(zhuǎn)化為用導數(shù)求函數(shù)的極值或最大(小)值問題。錯解剖析易錯點一、求過一點的曲線的切線導數(shù)的幾何意義是曲線數(shù)在某點處切線的斜率．所以求切線的方程可通過求導數(shù)先得到斜率，再由切點利用點斜式方程得到，求過點p（x0，y0）的切線方程時，一要注意p（x0，y0）是否在曲線上，二要注意該點可能是切點，也可能不是切點，因而所求的切線方程可能不只有1條例1、已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程.【錯解】：，過點的切線斜率，過點的曲線的切線方程為.【正解】：設(shè)過點的切線與曲線切于點，則過點的曲線的切線斜率，又，。①點在曲線上，②，②代入①得化簡，得，或.若，則，過點的切線方程為；若，則，過點的切線方程為過點的曲線的切線方程為或【點評】：曲線在某點處的切線斜率是該曲線對應的函數(shù)在該點處的導數(shù)值，這是導數(shù)的幾何意義.在此題中，點湊巧在曲線上，求過點的切線方程，卻并非說切點就是點，上述解法對求過點的切線方程和求曲線在點處的切線方程，認識不到位，發(fā)生了混淆.易錯點二、復合函數(shù)求導復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)，即。因此掌握復合函數(shù)的求導方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復合關(guān)系，適當選定中間變量，分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)例2、函數(shù)的導數(shù)為。【錯解】：【正解】：.【點評】：復合函數(shù)求導數(shù)計算不熟練,沒有分清函數(shù)的復合關(guān)系，適當選定中間變量，如的復合結(jié)構(gòu),所以有的同學求導錯了.易錯點三、導數(shù)的應用例3、已知函數(shù)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間。【錯解】：由得出函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。【正解】：據(jù)解析式可知函數(shù)定義域為，由于,故函數(shù)在和上分別為增函數(shù).【點評】：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要樹立定義域優(yōu)先的原則例4、已知向量，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍．【錯誤分析】：此題考查的是可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想的應用．判斷的法則是：設(shè)在某個區(qū)間內(nèi)可導，若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù)，反之亦然．【正解】：依向量數(shù)量積的定義：故：，若在上是增函數(shù)，則在上可設(shè)．的圖象是開口向下的拋物線，由根的分布原理可知：當且僅當，且，上滿足，即在上是增函數(shù)．綜上所述的取值范圍是．【點評】：是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件。例5、已知，討論函數(shù)的極值點的個數(shù)【錯誤分析】：利用一階導數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入是導數(shù)應用的關(guān)鍵知識點，通過對函數(shù)極值的判定，可使學生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)關(guān)系的理解．【解析】：令=0得．當即<0或>4時有兩個不同的實根,，不妨設(shè)<，則，易判斷在和兩側(cè)的符號都相反，即此時有兩個極值點．（2）當△=0即=0或=4時，方程有兩個相同的實根，于是，故在的兩側(cè)均有>0，因此無極值．（3）當△<0即0<<4時無實數(shù)根，即，故為增函數(shù)，此時無極值．綜上所述：當無極值點．【點評】：此題考查的是可導函數(shù)在某點取得極值的充要條件，即：設(shè)在某個區(qū)間內(nèi)可導，函數(shù)在某點取得極值的充要條件是該點的導數(shù)為零且在該點兩側(cè)的導數(shù)值異號．本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化例6、已知是實數(shù)，函數(shù).⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值.（i）寫出g(a)的表達式；（ii）求的取值范圍，使得.【錯誤分析】：通過求導來研究函數(shù)性質(zhì)是一種非常重要而有效的方法。通常的步驟：先求導，要注意求導后定義域的情況；將導數(shù)整理變形，能看出導數(shù)的符號性質(zhì)或零點。再列表，從表中回答所要求解答的問題?！窘馕觥浚海?）解：函數(shù)的定義域為，（）．若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間．若，令，得，當時，，當時，．有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間．（2）解：（i）若，在上單調(diào)遞增，所以．若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．若，在上單調(diào)遞減，所以．綜上所述，（ii）令．若，無解．若，解得．若，解得．故的取值范圍為．【點評】：函數(shù)，導數(shù)，方程，不等式綜合在一起，解決極值，極值點、最值等問題，這類問題常常涉及求函數(shù)解析式、求參數(shù)值或取值范圍問題。解決極值，極值點問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性；參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為解不等式的問題；有時需要借助于方程的理論來解決。從而達到考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學思想。思維方法總結(jié)1．應用復合函數(shù)的求導法則時，首先要分析所給函數(shù)是由哪些函數(shù)復合而成，或者說，所給函數(shù)能分解成哪些函數(shù)，直至能用求導法則為止．2．函數(shù)在某點處的切線的斜率．3．利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則在這個區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在這個區(qū)間上為減函數(shù)．應當注意，在區(qū)間內(nèi)是在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件；也只是在區(qū)間上為減函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．4．利用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟：①求；②求方程的根；③分析在方程根左、右兩側(cè)的值的符號