2019版考前三個月高考數學理科總復習壓軸小題突破練5向量有關

5.與向量相關的壓軸小題1.(2017屆山西臨汾一中等五校聯考→→→→→)如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，則AC·AD的值為( )A.1B.2C.3D.4答案C分析方法一→→→→AD·AC＝|AD||AC·|cos∠CAD，→∵|AD|＝1，→→→∴AD·AC＝|AC|cos∠CAD，∵∠BAC＝π，2＋∠DAC→→→∴cos∠CAD＝sin∠BAC，AD·AC＝|AC|sin∠BAC，在△ABC中，由正弦定理得AC＝BC，變形得ACsin∠BAC＝BCsinB，sinBsin∠BAC→→→AD∴AD·AC＝|AC|sin∠BAC＝BC·＝3，應選C.BD方法二→→→→→→→→→→→→→→→→AD·AC＝AD·(BC－BA)＝AD·BC－AD·BA＝AD·3BD＝3AD·(BA＋AD)＝3AD·BA＋→→3AD·AD＝3.2.(2017屆河南省豫北名校結盟精英抗衡賽)已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為點O，且→→→→→)3OA＋4OB＋5OC＝0，則OC·AB的值為(87C.－1D.4A.5B.555答案C分析∵→→→3OA＋4OB＋5OC＝0，→→→∴4OB＋5OC＝－3OA，→2→→→2→2∴16OB＋40OB·OC＋25OC＝9OA，又∵→→→|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，→→→→3，∴OB·OC＝－4，同理可求OA·OC＝－55→→→→→431∴OC·AB＝OC·(OB－OA)＝－5－－5＝－5.應選C.3.(2017浙·江溫州中學月考→→)在△ABC中，已知AB·AC＝9，sinB＝cosA·sinC，S△ABC＝6，P→→→CACB，則xy的最大值為( )為線段AB上的點，且CP＝x·→＋y·→||||CACBA.1B.2C.3D.4答案C分析由題設sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0，也即cosC＝0，C＝90°，又∵bccosA＝9，故b2＝9，即b＝3.12ab＝6，故a＝4，c＝5，故成立如下圖直角坐標系xOy，則A(3，0)，B(0，4)，則由題設可知P(x，y)，直線AB的方程為x＋y＝1且x＞0，y＞0，34∴xyxy33＋4＝1≥212，即xy≤3，當且僅當x＝2，y＝2時“＝”成立，應選C.→→→4.(2017運·城期中)已知點O是△ABC內部一點，且知足2OA＋3OB＋4OC＝0，則△AOB，△BOC，△AOC的面積之比挨次為()A.4∶2∶3B.2∶3∶4C.4∶3∶2D.3∶4∶5答案A分析如下圖，延伸OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC，→→→∵2OA＋3OB＋4OC＝0，→→→∴OD＋OE＋OF＝0，即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面積相等，不如令它們的面積均為1，則△AOB的面積為1，△BOC的面積為1，△AOC的面積為1，故6128111△AOB，△BOC，△AOC的面積之比挨次為6∶12∶8＝4∶2∶3.應選A.5.若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，則|a＋b－c|的最小值為()A.2－1B.1C.2＋1D.2答案A分析∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，|a＋b|＝2，又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝2cos〈a＋b，c〉，|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－22cos〈a＋b，c〉，當cos〈(a＋b，c)〉＝1時，|a＋b－c|2min＝3－22＝(2－1)2，∴|a＋b－c|的最小值為2－1.6.已知向量m＝(sin2x，1)，n＝cos2x，－32，f(x)＝(m－n)·m，則函數f(x)的最小正周期與最大值分別為( )A.π，3＋2π27π2B.，3＋C.π，2D.，3222答案B分析∵m－n＝sin2x－cos2x，5，25215則f(x)＝(m－n)·m＝sin2x(sin2x－cos2x)＋2＝sin2x－2sin4x＋212π＝－2(cos4x＋sin4x)＋3＝－2sin4x＋4＋3，∴f(x)的最小正周期2ππ2T＝3＋2，應選B.4＝2，最大值為7.(2017湖·北部分要點中學聯考)已知P是△ABC所在平面內一點，若→3→2→AP＝BC－BA，則43△PBC與△ABC的面積的比為()11C.23A.3B.23D.4答案A2→2→分析在線段AB上取D使AD＝3AB，則AD＝－3BA，過A作直線l使l∥BC，在l上取點→3→E使AE＝4BC，過D作l的平行線，過E作AB的平行線，設交點為P，則由平行四邊形法→→－2→則可得AP＝3，4BC3BA設△PBC的高為h，△ABC的高為k，由三角形相像可得h∶k＝1∶3，∵△PBC與△ABC有公共的底邊BC，∴△PBC與△ABC的面積的比為13，應選A.8.(2017屆福建福州外國語學校期中)已知向量a，b知足|a|＝22|b|≠0，且對于x的函數f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在實數集R上單一遞加，則向量a，b的夾角的取值范圍是()πππππA.0，6B.0，3C.0，4，D.64答案C分析求導可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b，則由函數f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在實數集R上單一遞加，可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0恒成立，即x2＋|a|x＋a·b≥0恒成立，故鑒別式＝a2－4a·b≤0恒成立，再由|a|＝22|b|≠0，可得8|b|2≤82|b|2〈，〉，cosab2∴cos〈a，b〉≥2，又∵〈a，b〉∈[0，π]，π∴〈a，b〉∈0，4.9.(2017湖·南長沙長郡中學)已知點M(1，0)，A，B是橢圓x22→→＋y＝1上的動點，且MA·MB＝0，4→→)則MA·BA的取值范圍是(2，1B.[1，9]C.2，9D.6，3A.333答案C分析設A(x1，y1)，B(x2，y2→＝(x1－1，y1→＝(x2－1，y2→＝(x1－x2，y1－y2)，則MA)，MB)，BA)，→→由題意有MA·MB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，→→因此MA·BA＝(x1－1)(x1－x2)＋y1(y1－y2)(x1－1)x1－(x1－1)x2＋y21－y1y2x12－x1＋y12－[(x1－1)(x2－1)＋y1y2＋(x1－1)]x12－x1＋1－14x21－x1＋1＝34x21－2x1＋234224x1－3＋3，x1∈[－2，2].→→因此當x＝－2時，MA·BA有最大值9，4→→有最小值2，應選C.當x＝時，MA·BA3310.設雙曲線x2y2l交兩漸近線2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線ab于A，B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若→→→OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，λμ＝1，則該雙曲線的離心率為()83223A.2B.2C.3D.2答案Dbbcbc2分析雙曲線的漸近線為by＝±，Bc，－a，Pc，a，由于ax，焦點F(c，0)，則Ac，a→→→c，b2bcbOP＝λOA＋μOB，因此a＝λ＋μc，λ－μa，因此λ＋μ＝1，λ－μ＝，cc＋bc－b1c2－b21解得λ＝2c，μ＝2c，又由λμ＝8，得4c2＝8，21a解得c2＝2，因此e＝2，應選D.22→→的最11.若點O，F分別為橢圓x＋y＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任一點，則OP·FP43大值為______________.答案6分析→→22x2y2設P(x，y)，則OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x＋x＋y，又點P在橢圓上，故＋＝1，43232121212因此x＋x＋3－4x＝4x＋x＋3＝4(x＋2)＋2，又－2≤x≤2，因此當x＝2時，4(x＋2)＋2→→獲得最大值為6，即OP·FP的最大值為6.12.(2017江·西撫州市七校聯考)在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為2＋a，b，c，已知ab2－c2＝3ab，且acsinB＝2→→3sinC，則CA·CB＝________.答案3分析由a2223＝23sinC，得abc＋b－c＝3ab，得2cosC＝3，即cosC＝2，由acsinB＝23c，即ab＝2→→33，CA·CB＝abcosC＝23×＝3.2x2y2，213.(2017屆河南開封月考)過雙曲線a－b＝222a2→→→＋y＝4的切線，切點為E，延伸FE交雙曲線右支于點P，若OP＝2OE－OF，則雙曲線的離心率為________.答案102分析→→→由OP＝2OE－OF，得→1→→OE＝2(OF＋OP)可知，E為PF的中點，令右焦點為F′，則O為FF′的中點，PF′＝2OE＝a，∵E為切點，OE⊥PF，PF′⊥PF，|PF|－|PF′|＝2a，|PF|＝3a，|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2，則10a2＝4c2，e＝210.14.(2017北·京市豐臺區(qū)二模)已知O為△ABC的外心，且→→→BO＝λBA＋μBC.①若∠C＝90°，則λ＋μ＝______________；②若∠ABC＝60°，則λ＋μ的最大值為______________.答案1223分析①若∠C＝90°，則O為AB邊的中點，→1→11BO＝2BA，即λ＝2，μ＝0，故填2.②設△ABC