中考數(shù)學(xué)《相似三角形 》專題訓(xùn)練(附答案解析)

第頁(yè)中考數(shù)學(xué)《相似三角形》專題訓(xùn)練(附答案解析)一單選題1．已知若則（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到代入求解即可．【詳解】解：∵∴即解得．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形性質(zhì)．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)角相等．相似三角形的相似比等于周長(zhǎng)比相似三角形的相似比等于對(duì)應(yīng)高對(duì)應(yīng)角平分線對(duì)應(yīng)中線的比相似三角形的面積比等于相似比的平方．2．如圖以點(diǎn)O為位似中心作四邊形的位似圖形﹐已知若四邊形的面積是2則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【解析】?jī)蓤D形位似必相似再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：由題意可知四邊形與四邊形相似由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：又四邊形的面積是2∴四邊形的面積為18故選：D．【點(diǎn)睛】本題考察相似多邊形的性質(zhì)屬于基礎(chǔ)題熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖五線譜是由等距離等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)ABC都在橫線上．若線段則線段的長(zhǎng)是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作五條平行橫線的垂線交第三四條直線分別于根據(jù)題意得然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作五條平行橫線的垂線交第三四條直線分別于根據(jù)題意得∵∴又∵∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖圖形甲與圖形乙是位似圖形是位似中心位似比為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)．若則的長(zhǎng)為（

）A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【解析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出線段比進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形是位似中心位似比為∴∵∴∴故答案為：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．在如圖所示的網(wǎng)格中以點(diǎn)為位似中心四邊形的位似圖形是（

）A．四邊形 B．四邊形C．四邊形 D．四邊形【答案】A【解析】以O(shè)為位似中心作四邊形ABCD的位似圖形根據(jù)圖像可判斷出答案．【詳解】解：如圖所示四邊形的位似圖形是四邊形．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了位似圖形的作法畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)③根據(jù)相似比確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)順次連接上述各點(diǎn)確定位似圖形．6．生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美如圖在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618可以增加視覺(jué)美感若圖中為2米則約為（

）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米【答案】A【解析】根據(jù)a:b≈0.618且b=2即可求解．【詳解】解：由題意可知a:b≈0.618代入b=2∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割比的定義根據(jù)題中所給信息即可求解本題屬于基礎(chǔ)題．7．如圖在中點(diǎn)在邊上若且則線段的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由∠BCD＝∠A∠B＝∠B可判定△BCD∽△BAC從而可得比例式再將BC＝3BD＝2代入可求得BA的長(zhǎng)然后根據(jù)AD＝BA?BD可求得答案．【詳解】解：∵∠BCD＝∠A∠B＝∠B∴△BCD∽△BAC∴∵BC＝3BD＝2∴∴BA＝∴AD＝BA?BD＝?2＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．8．（2020·湖南永州）如圖在中四邊形的面積為21則的面積是（

）A． B．25 C．35 D．63【答案】B【解析】在中即可判斷然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)難度不大注意相似三角形的面積比等于相似比的平方．9．（2020·四川成都）如圖直線直線和被所截則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式代入已知線段得長(zhǎng)度求解即可．【詳解】解：∵直線l1∥l2∥l3∴.∵AB=5BC=6EF=4∴.∴DE=.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．10．（2020·重慶）如圖在平面直角坐標(biāo)系中的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是以原點(diǎn)為位似中心在原點(diǎn)的同側(cè)畫使與成位似圖形且相似比為2：1則線段DF的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【解析】把AC的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到DF的坐標(biāo)然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段DF的長(zhǎng)．【詳解】解：∵以原點(diǎn)為位似中心在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF使△DEF與△ABC成位似圖形且相似比為2：1而A（12）C（31）∴D（24）F（62）∴DF＝=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心相似比為k那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k．11．（2020·重慶）如圖△ABC與△DEF位似點(diǎn)O為位似中心．已知OA∶OD=1∶2則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5【答案】C【解析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】由位似變換的性質(zhì)可知△ABC與△DEF的相似比為：1∶2△ABC與△DEF的面積比為：1∶4故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2020·浙江嘉興）如圖在直角坐標(biāo)系中△OAB的頂點(diǎn)為O（00）A（43）B（30）．以點(diǎn)O為位似中心在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD則點(diǎn)C坐標(biāo)（）A．（﹣1﹣1） B．（﹣﹣1） C．（﹣1﹣） D．（﹣2﹣1）【答案】B【解析】根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系把A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以即可．【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心位似比為而A（43）∴A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心相似比為k那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．13．（2020·貴州遵義）如圖△ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上∠ABO＝90°過(guò)AO邊的三等分點(diǎn)MN分別作x軸的平行線交AB于點(diǎn)PQ．若四邊形MNQP的面積為3則k的值為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】D【解析】由得到相似三角形利用相似三角形的性質(zhì)得到三角形之間的面積關(guān)系利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得答案．【詳解】解：四邊形MNQP的面積為3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·遼寧沈陽(yáng)）如圖與位似位似中心是點(diǎn)O若則與的周長(zhǎng)比是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)位似圖形的概念得到△進(jìn)而得出△根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：與△位似△△與△的周長(zhǎng)比為故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念相似三角形的性質(zhì)掌握位似圖形是相似圖形位似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行是解題的關(guān)鍵．15．（2021·四川巴中）如圖ABC中點(diǎn)DE分別在ABAC上且下列結(jié)論正確的是（）A．DE：BC＝1：2B．ADE與ABC的面積比為1：3C．ADE與ABC的周長(zhǎng)比為1：2D．DEBC【答案】D【解析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵∴AD：AB=AE：AC=1：3∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴DE：BC=1：3故A錯(cuò)誤∵△ADE∽△ABC∴△ADE與△ABC的面積比為1：9周長(zhǎng)的比為1：3故B和C錯(cuò)誤∵△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B∴DE∥BC．故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．16．（2021·湖南湘西）如圖在中于點(diǎn)則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意易得則有然后可得然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵∴∴∴∴∵∴∴∴故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．（2021·山東濟(jì)寧）如圖已知．（1）以點(diǎn)A為圓心以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)M交于點(diǎn)N．（2）分別以MN為圓心以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P．（3）作射線交于點(diǎn)D．（4）分別以AD為圓心以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧兩弧相交于GH兩點(diǎn)．（5）作直線交分別于點(diǎn)EF．依據(jù)以上作圖若則的長(zhǎng)是（）A． B．1 C． D．4【答案】C【解析】連接則根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)果【詳解】如圖連接垂直平分,平分同理可知四邊形是平行四邊形又平行四邊形是菱形又解得：故選C【點(diǎn)睛】本題考查了由已知作圖分析角平分線的性質(zhì)垂直平分線的性質(zhì)相似三角形菱形的性質(zhì)與判定熟知上述各類圖形的判定或性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)尋找未知量與已知量之間的等量關(guān)系是關(guān)鍵．18．（2022·廣西）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形位似比是1：3則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【解析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方即可得到答案．【詳解】∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形位似比是1：3∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查位似圖形的性質(zhì)熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．19．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖相交于點(diǎn)E則的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C． D．6【答案】C【解析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例可求得BE的長(zhǎng)即可求得BD的長(zhǎng)．【詳解】∵∴∴∵∴∵∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例解題的關(guān)鍵在于找到對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)．20．（2022·山東臨沂）如圖在中若則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得再建立方程即可．【詳解】解：解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例證明“”是解本題的關(guān)鍵．21．（2022·四川雅安）如圖在△ABC中DE分別是AB和AC上的點(diǎn)DE∥BC若＝那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求解再證明可得【詳解】解：＝DE∥BC故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)證明是解本題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂大拇指緊直向上大臂與身體垂直第二步：閉上左眼調(diào)整位置使得右眼大拇指被測(cè)物體在一條直線上第三步：閉上右眼睜開(kāi)左眼此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)與大拇指指向的位置有一段橫向距離參照被測(cè)物體的大小估算橫向距離的長(zhǎng)度第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長(zhǎng)度與眼距的比值一般為10）得到的值約為被測(cè)物體離觀測(cè)點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車到觀測(cè)點(diǎn)距離的示意圖該汽車的長(zhǎng)度大約為4米則汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【答案】C【解析】參照題目中所給的“跳眼法”的方法估測(cè)出距離即可．【詳解】由“跳眼法”的步驟可知被測(cè)物體與觀測(cè)點(diǎn)的距離是橫向距離的10倍．觀察圖形橫向距離大約是汽車長(zhǎng)度的2倍為8米所以汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為80米故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了測(cè)量距離正確理解“跳眼法”測(cè)物距是解答本題的關(guān)鍵．23．（2022·貴州貴陽(yáng)）如圖在中是邊上的點(diǎn)則與的周長(zhǎng)比是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先證明△ACD∽△ABC即有則可得問(wèn)題得解．【詳解】∵∠B=∠ACD∠A=∠A∴△ACD∽△ABC∴∵∴∴∴△ADC與△ACB的周長(zhǎng)比1:2故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)證明△ACD∽△ABC是解答本題的關(guān)鍵．24．（2022·江蘇連云港）如圖將矩形ABCD沿著GEECGF翻折使得點(diǎn)ABD恰好都落在點(diǎn)O處且點(diǎn)GOC在同一條直線上同時(shí)點(diǎn)EOF在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC②AB=AD③GE=DF④OC=2OF⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【解析】由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°∠GEC=90°點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)設(shè)AD=BC=2aAB=CD=2b在Rt△CDG中由勾股定理求得b=然后利用勾股定理再求得DF=FO=據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF∠AGE=∠OGE∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO)=90°同理∠GEC=90°∴GF∥EC故①正確根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GOGA=GO∴DG=GO=GA即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)同理可得點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)設(shè)AD=BC=2aAB=CD=2b則DG=GO=GA=aOC=BC=2aAE=BE=OE=b∴GC=3a在Rt△CDG中CG2=DG2+CD2即(3a)2=a2+(2b)2∴b=∴AB=2=AD故②不正確設(shè)DF=FO=x則FC=2b-x在Rt△COF中CF2=OF2+OC2即(2b-x)2=x2+(2a)2∴x==即DF=FO=GE=a∴∴GE=DF故③正確∴∴OC=2OF故④正確∵∠FCO與∠GCE不一定相等∴△COF∽△CEG不成立故⑤不正確綜上正確的有①③④故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題解題時(shí)我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切芜\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．25．（2022·重慶）如圖與位似點(diǎn)為位似中心相似比為．若的周長(zhǎng)為4則的周長(zhǎng)是（

）A．4 B．6 C．9 D．16【答案】B【解析】根據(jù)周長(zhǎng)之比等于位似比計(jì)算即可．【詳解】設(shè)的周長(zhǎng)是x∵與位似相似比為的周長(zhǎng)為4∴4：x=2：3解得：x=6故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)熟練掌握位似圖形的周長(zhǎng)之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．26．（2021·山東淄博）如圖在中是斜邊上的中線過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若的面積為5則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意易得設(shè)則有則有然后可得過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解問(wèn)題．【詳解】解：∵∴∴∵是斜邊上的中線∴設(shè)則有∵∴由勾股定理可得∵的面積為5∴∵∴即化簡(jiǎn)得：解得：或當(dāng)時(shí)則AC=2與題意矛盾舍去∴當(dāng)時(shí)即過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H如圖所示：∴∴∴∴∴故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理熟練掌握三角函數(shù)相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．27．（2021·吉林長(zhǎng)春）如圖在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)AB在函數(shù)的圖象上x過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先設(shè)出A的坐標(biāo)根據(jù)題意得出C的坐標(biāo)表示出CE的長(zhǎng)度過(guò)點(diǎn)B作BF垂直x軸證明由題目條件得出相似比代換出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)即可求出B的橫坐標(biāo)．【詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為設(shè)AC與x軸的交點(diǎn)為E過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸垂足為F如圖：∵點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上且AC⊥x軸∴C的坐標(biāo)為∴EC=k∵BF⊥x軸CE⊥x軸∴∴又∵∴∴即∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為代入反比例函數(shù)解析式：當(dāng)時(shí)∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)及相似三角形解題關(guān)鍵是將線段比轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似三角形的相似比由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊得出點(diǎn)的坐標(biāo)．28．（2021·黑龍江黑龍江）如圖平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)點(diǎn)為的中點(diǎn)連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)交于點(diǎn)連接若平行四邊形的面積為48則的面積為（）A．4 B．5 C．2 D．3【答案】C【解析】由題意易得進(jìn)而可得則有然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴AE=EF∵平行四邊形的面積為48∴∵點(diǎn)為的中點(diǎn)∴∴∴∴∵和同高不同底∴故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．29．（2021·黑龍江）如圖在正方形中對(duì)角線與相交于點(diǎn)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上連接點(diǎn)是的中點(diǎn)連接交于點(diǎn)連接若．則下列結(jié)論：①②③④⑤點(diǎn)D到CF的距離為．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤【答案】C【解析】由題意易得①由三角形中位線可進(jìn)行判斷②由△DOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解④根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解⑤過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴∵∴則∵OF∥BE∴△DGF∽△DCE∴∴故①正確∴點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)∴OG⊥CD∵∠ODC=45°∴△DOC是等腰直角三角形∴故②正確∵CE=4CD=8∠DCE=90°∴故③正確∵∴∴故④錯(cuò)誤過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H如圖所示：∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)∴CF=DF∴∠CDE=∠DCF∴設(shè)則在Rt△DHC中解得：∴故⑤正確∴正確的結(jié)論是①②③⑤故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)熟練掌握正方形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．30．（2021·海南）如圖在菱形中點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)連接．若菱形的面積為8則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】連接相交于點(diǎn)交于點(diǎn)先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得再根據(jù)三角形中位線定理可得然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得從而可得最后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖連接相交于點(diǎn)交于點(diǎn)四邊形是菱形且它的面積為8點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)則的面積為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)三角形中位線定理相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．31．（2021·廣西來(lái)賓）如圖矩形紙片點(diǎn)分別在上把紙片如圖沿折疊點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出是的垂直平分線則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)可得∠AEO=∠AGD∠FHE＝∠D＝90°根據(jù)相似三角形判定推出△EFH∽△GAD再利用矩形判定及性質(zhì)證得FH＝AB即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H∵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為∴∴EF是AA＇的垂直平分線．∴∠AOE=90°．∵四邊形是矩形∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°∴四邊形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問(wèn)題掌握折疊的性質(zhì)矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2021·江蘇連云港）如圖中相交于點(diǎn)D則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)由等高三角形的面積性質(zhì)得到再證明解得分別求得AECE長(zhǎng)最后根據(jù)的面積公式解題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與是等高三角形設(shè)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)正切等知識(shí)是重要考點(diǎn)掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．33．（2021·浙江紹興）如圖中點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE使連結(jié)CE則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出在結(jié)合題意可得即證明從而得出即易證得出．再由等腰三角形的性質(zhì)可知即證明從而可間接推出．最后由即可求出的值即的值．【詳解】∵在中點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)∴∴∴．∴∴在和中∴∴∵為等腰三角形∴∴∴即．∵∴∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)平行線的判定和性質(zhì)全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．二填空題34．（2022·湖南邵陽(yáng)）如圖在中點(diǎn)在邊上點(diǎn)在邊上請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________使．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．【解析】已知有一個(gè)公共角則可以再添加一個(gè)角從而利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定或添加夾此角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例也可以判定．【詳解】解∶∵∠A=∠A∴根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等可添加條件證相似．故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．35．（2021·貴州黔西）如圖與是位似圖形點(diǎn)為位似中心若則與的面積比為_(kāi)_．【答案】1：4【解析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出△ABC∽△A'B'C'和相似比的值然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)面積比是相似比比值的平方解答即可．【詳解】解：由題意得△ABC和△A'B'C'是位似圖形∴△ABC∽△A'B'C'AB：A'B'=OA：AA'=1：2∴與的面積比為：1：4．故答案為：1：4．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)為：位似的概念三角形相似的性質(zhì)掌握面積比是相似比比值的平方是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．36．（2020·遼寧盤錦）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為以原點(diǎn)為位似中心相似比為將縮小則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.【答案】或【解析】利用以原點(diǎn)為位似中心相似比為k位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k把B點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別乘以或即可得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)．【詳解】解：∵以點(diǎn)為位似中心相似比為將縮小∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（24）或（-2-4）．故答案為：（24）或（-2-4）．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換,根據(jù)位似比求得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心相似比為k那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．37．（2020·遼寧錦州）如圖在中D是中點(diǎn)若的周長(zhǎng)為6則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】12【解析】由可知再由D是中點(diǎn)可得到相似比即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵∴又∵D是中點(diǎn)∴即與的相似比為1:2∴與的周長(zhǎng)比為1:2∵的周長(zhǎng)為6∴的周長(zhǎng)為12故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)熟練掌握相似三角形的相似比等于周長(zhǎng)比是解題的關(guān)鍵．38．（2020·湖南婁底）若則________．【答案】【解析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)代入求職即可．【詳解】由可得代入．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)準(zhǔn)確觀察分析是解題的關(guān)鍵．39．（2020·湖南湘潭）若則________．【答案】【解析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)變形代入求職即可【詳解】由可設(shè)k是非零整數(shù)則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比的基本性質(zhì)準(zhǔn)確利用性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．40．（2020·貴州黔東南）如圖矩形ABCD中AB＝2BC＝E為CD的中點(diǎn)連接AEBD交于點(diǎn)P過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q則PQ＝_____．【答案】【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB∥CDAB＝CDAD＝BC∠BAD＝90°根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到DE＝CD＝AB根據(jù)相似三角形的判定證明△ABP∽△EDP再利用相識(shí)三角形的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AB∥CDAB＝CDAD＝BC∠BAD＝90°∵E為CD的中點(diǎn)∴DE＝CD＝AB∴△ABP∽△EDP∴＝∴＝∴＝∵PQ⊥BC∴PQ∥CD∴△BPQ∽△DBC∴＝＝∵CD＝2∴PQ＝故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用運(yùn)用矩形的性質(zhì)和相似三角形判定和性質(zhì)證明△ABP∽△EDP得到＝是解題的關(guān)鍵．41．（2021·四川德陽(yáng)）我們把寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)勻稱的美感世界各國(guó)許多著名的建筑為取得最佳的視覺(jué)效果都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形ABCD是黃金矩形邊AB的長(zhǎng)度為1則該矩形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________________．【答案】或4【解析】分兩種情況：①邊為矩形的長(zhǎng)時(shí)則矩形的寬為求出矩形的周長(zhǎng)即可②邊為矩形的寬時(shí)則矩形的長(zhǎng)為求出矩形的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：分兩種情況：①邊為矩形的長(zhǎng)時(shí)則矩形的寬為矩形的周長(zhǎng)為：②邊為矩形的寬時(shí)則矩形的長(zhǎng)為：矩形的周長(zhǎng)為綜上所述該矩形的周長(zhǎng)為或4故答案為：或4．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．42．（2021·貴州黔東南）已知在平面直角坐標(biāo)系中△AOB的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A（21）點(diǎn)B（20）點(diǎn)O（00）若以原點(diǎn)O為位似中心相似比為2將△AOB放大則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】（42）或（－4－2）【解析】根據(jù)位似變換的定義作出圖形可得結(jié)論．【詳解】解：如圖觀察圖象可知點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（42）或（-4-2）．故答案為：（42）或（-4-2）．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-位似變換解題的關(guān)鍵是正確作出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)EG點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)FH．43．（2021·吉林）如圖為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩高把一根長(zhǎng)為的竹竿斜靠在石壩旁量出竿上長(zhǎng)為時(shí)它離地面的高度為則壩高為_(kāi)_________．【答案】2.7【解析】根據(jù)可得進(jìn)而得出即可．【詳解】解：如圖過(guò)作于則∴即解得故答案為：2.7【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形應(yīng)用解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．44．（2021·內(nèi)蒙古）如圖在中過(guò)點(diǎn)B作垂足為B且連接CD與AB相交于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)M作垂足為N．若則MN的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC得,可得,因?yàn)?列出關(guān)于MN的方程即可求出MN的長(zhǎng)．【詳解】∵M(jìn)N⊥BCDB⊥BC,∴AC∥MN∥DB∴∴即又∵∴解得故填：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對(duì)應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．45．（2022·廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測(cè)影的方法在金字塔影子的頂部直立一根木桿借助太陽(yáng)光測(cè)金字塔的高度．如圖木桿EF長(zhǎng)2米它的影長(zhǎng)FD是4米同一時(shí)刻測(cè)得OA是268米則金字塔的高度BO是________米．【答案】134【解析】在同一時(shí)刻物高和影子成正比即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體影子經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵∴∵∴∴∴∴故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用解題的關(guān)鍵是了解：同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比．46．（2022·浙江杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量直立在水平地面上的旗桿AB的高度把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是BC=8.72mEF=2.18m．已知BCEF在同一直線上AB⊥BCDE⊥EFDE=2.47m則AB=_________m．【答案】9.88【解析】根據(jù)平行投影得AC∥DE可得∠ACB=∠DFE證明Rt△ABC∽△Rt△DEF然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是BC=8.72mEF=2.18m．∴AC∥DE∴∠ACB=∠DFE∵AB⊥BCDE⊥EF∴∠ABC=∠DEF=90°∴Rt△ABC∽△Rt△DEF∴即解得AB=9.88∴旗桿的高度為9.88m．故答案為：9.88．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影．證明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解題的關(guān)鍵．47．（2022·北京）如圖在矩形中若則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】1【解析】根據(jù)勾股定理求出BC以及平行線分線段成比例進(jìn)行解答即可．【詳解】解：在矩形中：∴∴∴故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．48．（2022·上海）如圖在△ABC中∠A=30°∠B=90°D為AB中點(diǎn)E在線段AC上則_____．【答案】或【解析】由題意可求出取AC中點(diǎn)E1連接DE1則DE1是△ABC的中位線滿足進(jìn)而可求此時(shí)然后在AC上取一點(diǎn)E2使得DE1＝DE2則證明△DE1E2是等邊三角形求出E1E2＝即可得到問(wèn)題得解．【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)∴即取AC中點(diǎn)E1連接DE1則DE1是△ABC的中位線此時(shí)DE1∥BC∴在AC上取一點(diǎn)E2使得DE1＝DE2則∵∠A=30°∠B=90°∴∠C=60°BC＝∵DE1∥BC∴∠DE1E2=60°∴△DE1E2是等邊三角形∴DE1＝DE2＝E1E2＝∴E1E2＝∵∴即綜上的值為：或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)平行線分線段成比例等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．49．（2022·廣西）數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)來(lái)求旗桿的高度他們?cè)谀骋粫r(shí)刻測(cè)得高為2米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為1.2米此時(shí)旗桿影長(zhǎng)為7.2米則旗桿的高度為_(kāi)_____米．【答案】12【解析】根據(jù)同時(shí)同地物高和影長(zhǎng)的比不變構(gòu)造相似三角形然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：設(shè)旗桿為AB如圖所示：根據(jù)題意得：∴∵米米米∴解得：AB=12米．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．50．（2022·黑龍江）如圖在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)……在x軸上且……按此規(guī)律過(guò)點(diǎn)……作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)……記……的面積分別為……則______．【答案】【解析】先求出可得再根據(jù)題意可得從而得到∽∽∽∽……∽再利用相似三角形的性質(zhì)可得∶∶∶∶……∶=即可求解．【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)∴點(diǎn)∴∴∵根據(jù)題意得：∴∽∽∽∽……∽∴∶∶∶：……∶=OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2∵……∴……∴∶∶∶∶……∶=∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題相似三角形的判定和性質(zhì)明確題意準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．51．（2022·湖北鄂州）如圖在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中DE分別為邊BCAC上的點(diǎn)AD與BE相交于點(diǎn)P若BD=CE=2則△ABP的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【解析】如圖所示過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F先解直角三角形求出AFEF從而求出BF利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)證明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBEAD=BE再證明△BDP∽△ADB得到即可求出BPPD從而求出AP由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°∵CE=BD=2AB=AC=6∴AE=4∴∴BF=4∴又∵BD=CE∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD=∠CBEAD=BE又∵∠BDP=∠ADB∴△BDP∽△ADB∴∴∴∴∴△ABP的周長(zhǎng)故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)解直角三角形勾股定理相似三角形的性質(zhì)與判定全等三角形的性質(zhì)與判定正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．52．（2022·遼寧沈陽(yáng)）如圖將矩形紙片ABCD折疊折痕為MN點(diǎn)MN分別在邊ADBC上點(diǎn)CD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在EF且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部MF的延長(zhǎng)線交BC與點(diǎn)GEF交邊BC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)H為GN三等分點(diǎn)時(shí)MD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】或4【解析】由折疊得∠DMN=∠GMNEF=CD==4CN=EN=2∠EFM=∠D=90°證明得再分兩種情況討論求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AD//BCCD=AB=4∠D=∠C=90°∴∠DMN=∠GNM由折疊得∠DMN=∠GMNEF=CD==4CN=EN=2∠EFM=∠D=90°∴∠GMN=∠GNM∠GFH=∠NEH∴GM=GN又∠GHE=∠NHE∴∴∵點(diǎn)H是GN的三等分點(diǎn)則有兩種情況：①若時(shí)則有：∴EH=GF=2NE=4由勾股定理得∴GH=2NH=∴GM=GN=GH+NH=∴MD=MF=GM-GF=②若時(shí)則有：∴EH=GF=NE=1由勾股定理得∴GH=NH=∴GM=GN=GH+NH=5∴MD=MF=GM-GF=綜上MD的值為或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)折疊的性質(zhì)等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．53．（2022·湖南常德）如圖已知是內(nèi)的一點(diǎn)若的面積為2則的面積是________．【答案】12【解析】延長(zhǎng)EFDF分布交AC于點(diǎn)MN可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AMMNCN之間的關(guān)系從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)EFDF分布交AC于點(diǎn)MN令則設(shè)求出故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形中的A型也可以利用平行線分線段成比例知識(shí)具有一定的難度不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)度利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．54．（2021·四川內(nèi)江）如圖矩形中對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)交于點(diǎn)則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】##7.5【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD證明△BOF∽△BCD根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式求出EF即可．【詳解】解：如圖：四邊形是矩形又是的垂直平分線又解得四邊形是矩形是的垂直平分線在和中．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用掌握矩形的四個(gè)角是直角對(duì)邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．55．（2021·甘肅蘭州）如圖在矩形中．①以點(diǎn)為圓心以不大于長(zhǎng)為半徑作弧分別交邊于點(diǎn)再分別以點(diǎn)為圓心以大于長(zhǎng)為半徑作弧兩弧交于點(diǎn)作射線分別交于點(diǎn)②分別以點(diǎn)為圓心以大于長(zhǎng)為半徑作弧兩弧交于點(diǎn)作直線交于點(diǎn)則長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】由作圖步驟可知AG是的角平分線MN是CQ的垂直平分線則BQ=AB=1利用勾股定理可得AQ=QG=因?yàn)锳D∥BQ所以則即解得OQ=所以O(shè)G=OQ+QG=．【詳解】由題意可知：AG是的角平分線MN是CQ的垂直平分線=45°BQ=AB=1在中AD∥BQ即解得OQ=OG=OQ+QG=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線垂直平分線的作圖方法相似三角形判定勾股定理解題的關(guān)鍵是掌握角平分線垂直平分線的作圖方法以及找準(zhǔn)相似三角形進(jìn)行線段計(jì)算．56．（2021·遼寧營(yíng)口）如圖矩形中點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)連接點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)連接且則_________．【答案】6【解析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AF可證明∠NDM=∠GDM從而得DN=DG設(shè)DN=DG=x列出比例式求出x的值進(jìn)而即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AF則∠MAD+∠ADM=90°∵在矩形中∠ADM+∠CDM=90°∴∠MAD=∠CDM∵AD∥BF∴∠F=∠MAD∵∴∠MAD=∴∠CDM=∴∠NDM=∠GDM∵∠NMD=∠GMD=90°DM=DM∴∴DN=DG∵∴設(shè)DN=DG=x∵AB∥CD∴∴即：解得：x=2∴DN=DG=2∵AD∥BF∴∴即：解得：CF=6故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì)勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)添加輔助線證明是解題的關(guān)鍵．57．（2021·江蘇無(wú)錫）如圖在中點(diǎn)E在線段上且D是線段上的一點(diǎn)連接將四邊形沿直線翻折得到四邊形當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段上時(shí)________．【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M由折疊的性質(zhì)得FG=∠EFG=EF=AE=1再證明得進(jìn)而即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M∵將四邊形沿直線翻折得到四邊形當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段上∴FG=∠EFG=EF=AE=1∴EG=∵∠FEM=∠GEF∠FME=∠GFE=90°∴∴∴=∴AM=AE+EM=∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)添加輔助線構(gòu)造”母子相似三角形“是解題的關(guān)鍵．58．（2020·四川眉山）如圖等腰中邊的垂直平分線交于點(diǎn)交于點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F先根據(jù)垂直平分線已知條件得出BC=16再根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理得出AF=6再根據(jù)即可得出結(jié)論【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線∴AD=CD∠DEC=90°AE=5∵的周長(zhǎng)為∴AB+BD+AD=26∴AB+BD+DC=AB+BC=26∵AB=10∴BC=16過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F∵AB=AC=10∴CF=8∵∠DEC=∠AFC=90°∠C=∠C∴∴∴∴DE=故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)的性質(zhì)．59．（2020·四川宜賓）在直角三角形ABC中是AB的中點(diǎn)BE平分交AC于點(diǎn)E連接CD交BE于點(diǎn)O若則OE的長(zhǎng)是________．【答案】【解析】過(guò)E點(diǎn)作EG⊥AB于G點(diǎn)根據(jù)三角形面積公式求出CE=EG=3延長(zhǎng)CD交過(guò)B作BF⊥BC于F可得△ACD≌△BFD得到BF=8,再根據(jù)△CEO∽△FBO找到比例關(guān)系得到EO=BE再求出BE即可求解．【詳解】過(guò)E點(diǎn)作EG⊥AB于G點(diǎn)∵BE平分∴CE=EG設(shè)CE=EG=x∵∴AB=∵S△ABC=S△ABE+S△BCE故即解得x=3∴CE=3延長(zhǎng)CD交過(guò)B作BF⊥BC于F∵D是AB中點(diǎn)∴AD=BD又AC∥BF∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF∴△ACD≌△BFD∴BF=AC=8∵AC∥BF∴△CEO∽△FBO∴∴EO=BE=×=故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．60．（2020·山東濰坊）如圖矩形中點(diǎn)GE分別在邊上連接將和分別沿折疊使點(diǎn)BC恰好落在上的同一點(diǎn)記為點(diǎn)F．若則_______．【答案】【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GEBC=AD=8證得Rt△EGFRt△EAG求得再利用勾股定理得到DE的長(zhǎng)即可求解．【詳解】矩形中GC=4CE=3∠C=90∴GE=根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GFGF=GC=4CE=EF=3∠AGB=∠AGF∠EGC=∠EGF∠GFE=∠C=90∴BG=GF=GC=4∴BC=AD=8∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180∴∠AGE=90∴Rt△EGFRt△EAG∴即∴∴DE=∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本考查了折疊的性質(zhì)矩形的性質(zhì)勾股定理的應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)銳角三角形函數(shù)的知識(shí)等利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．三解答題61．（2021·江蘇南通）如圖利用標(biāo)桿測(cè)量樓高點(diǎn)ADB在同一直線上垂足分別為EC．若測(cè)得樓高是多少？【答案】樓高是9米．【解析】先求出AC的長(zhǎng)度由∥得到即可求出BC的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵∴m∵∴∥∴△ADE∽△ABC∴∵∴∴∴樓高是9米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．62．（2021·廣西貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡不要求寫出作法）如圖已知ABC且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點(diǎn)D使DB＝DC（2）在AC邊上求作點(diǎn)E使ADE∽ACB．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）作線段的垂直平分線交于點(diǎn)連接即可．（2）作射線交于點(diǎn)點(diǎn)即為所求．【詳解】解：（1）如圖點(diǎn)即為所求．（2）如圖點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖相似變換線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)解題的關(guān)鍵是理解題意靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．63．（2021·廣西玉林）如圖在中在上．（1）求證：∽（2）若求的值．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【解析】（1）由題意易得然后問(wèn)題可求證（2）由（1）及題意易得然后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可得然后問(wèn)題可求解．【詳解】（1）證明：∵∴∴（2）解：由（1）可知∵∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．64．（2021·湖北黃岡）如圖在和中．（1）求證：（2）若求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）9．【解析】（1）先根據(jù)角的和差可得再根據(jù)相似三角形的判定即可得證（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】證明：（1）即在和中（2）由（1）已證：解得或（不符題意舍去）則的長(zhǎng)為9．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．65．（2020·湖北省直轄縣級(jí)單位）在平行四邊形中E為的中點(diǎn)請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列畫圖不寫畫法保留畫圖痕跡．

（1）如圖1在上找出一點(diǎn)M使點(diǎn)M是的中點(diǎn)（2）如圖2在上找出一點(diǎn)N使點(diǎn)N是的一個(gè)三等分點(diǎn)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）連接對(duì)角線AC,BD再連接E與對(duì)角線的交點(diǎn)與BC的交點(diǎn)即為M點(diǎn)（2）連接CE交BD即為N點(diǎn)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,于是DN=BD．【詳解】解：（1）如圖1點(diǎn)M即為所求

（2）如圖2點(diǎn)N即為所求．

【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形與相似三角形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的特點(diǎn)．66．（2022·上海）如圖所示在等腰三角形ABC中AB=AC點(diǎn)EF在線段BC上點(diǎn)Q在線段AB上且CF=BEAE2=AQ·AB求證：(1)∠CAE=∠BAF(2)CF·FQ=AF·BQ【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】（1）利用SAS證明△ACE≌△ABF即可（2）先證△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF求出∠BQF=∠AFE再證△CAF∽△BFQ利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．(1)證明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵CF=BE∴CE=BF在△ACE和△ABF中∴△ACE≌△ABF（SAS）∴∠CAE=∠BAF(2)證明：∵△ACE≌△ABF∴AE＝AF∠CAE=∠BAF∵AE2=AQ·ABAC＝AB∴即∴△ACE∽△AFQ∴∠AEC=∠AQF∴∠AEF=∠BQF∵AE＝AF∴∠AEF=∠AFE∴∠BQF=∠AFE∵∠B=∠C∴△CAF∽△BFQ∴即CF·FQ=AF·BQ．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．67．（2022·吉林長(zhǎng)春）如圖①圖②圖③均是的正方形網(wǎng)格每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖保留作圖痕跡．(1)網(wǎng)格中的形狀是________(2)在圖①中確定一點(diǎn)D連結(jié)使與全等：(3)在圖②中的邊上確定一點(diǎn)E連結(jié)使：(4)在圖③中的邊上確定一點(diǎn)P在邊BC上確定一點(diǎn)Q連結(jié)使且相似比為1：2．【答案】(1)直角三角形(2)見(jiàn)解析（答案不唯一）(3)見(jiàn)解析(4)翙解析【解析】（1）運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算出ABACBC的長(zhǎng)再運(yùn)用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論（2）作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D連接BDCD即可得出與全等：（3）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E則可知：（4）作出以AB為斜邊的等腰直角三角形作出斜邊上的高交AB于點(diǎn)P交BC于點(diǎn)Q則點(diǎn)PQ即為所求．(1)∵∴∴是直角三角形故答案為：直角三角形(2)如圖點(diǎn)D即為所求作使與全等：(3)如圖所示點(diǎn)E即為所作且使：(4)如圖點(diǎn)PQ即為所求使得且相似比為1：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理勾股定理逆定理等腰直角三角形的性質(zhì)全等三角形的判定相似三角形的判定熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．68．（2022·湖南常德）在四邊形中的平分線交于延長(zhǎng)到使是的中點(diǎn)交于連接．(1)當(dāng)四邊形是矩形時(shí)如圖求證：①②．(2)當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)如圖（1）中的結(jié)論都成立請(qǐng)給出結(jié)論②的證明．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解【解析】（1）①證明即可②連接BGCG證明即可證明（2）①的結(jié)論和（1）中證明一樣證明即可②的結(jié)論作證明即可．(1)證明：①證明過(guò)程：四邊形ABCD為矩形平分為等腰直角三角形②證明：連接BGCGG為AF的中點(diǎn)四邊形ABCD為矩形平分(2)作如圖所示由（1）同理可證：四邊形ABCD為平行四邊形G為AF的中點(diǎn)由平行線分線段成比例可得【點(diǎn)睛】本題考查了以矩形與平行四邊形為橋梁涉及全等三角形的證明相似三角形的證明正確作出輔助線并由此得到相應(yīng)的全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．69．（2022·湖北黃岡）問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1已知AD是△ABC的角平分線可證＝．小慧的證明思路是：如圖2過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E構(gòu)造相似三角形來(lái)證明＝．(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路利用圖2證明＝(2)應(yīng)用拓展：如圖3在Rt△ABC中∠BAC＝90°D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD將△ACD沿AD所在直線折疊點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1AB＝2求DE的長(zhǎng)②若BC＝m∠AED＝求DE的長(zhǎng)（用含m的式子表示）．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)①DE=②【解析】（1）利用AB∥CE可證得即由AD平分∠BAC可知AC=EC即可證得結(jié)果（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解表示即可．(1)解：∵AB∥CE∴∠BAD=∠DEC∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴∠CAD=∠DEC∴AC=EC∵∠BDA=∠CDE∴∴即∴(2)①由折疊可知AD平分∠BACCD=DE由（1）得∵AC＝1AB＝2∴∴解得：CD=∴DE=CD=②由折疊可知∠AED＝∠C=∴由①可知∴∴即：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運(yùn)用靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．70．（2022·山東泰安）如圖矩形中點(diǎn)E在上與相交于點(diǎn)O．與相交于點(diǎn)F．(1)若平分求證：(2)找出圖中與相似的三角形并說(shuō)明理由;(3)若求的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)與相似理由見(jiàn)解析(3)【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論（2）根據(jù)判定兩個(gè)三角形相似的判定定理找到相應(yīng)的角度相等即可得出（3）根據(jù)得出根據(jù)得出聯(lián)立方程組求解即可．(1)證明：如圖所示：四邊形為矩形又平分又與互余與互余(2)解：與相似．理由如下：又

(3)解：在矩形中對(duì)角線相互平分圖中①在矩形中②由①②得（負(fù)值舍去）．【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合問(wèn)題涉及到矩形的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)角度的互余關(guān)系兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)熟練掌握兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．71．（2022·四川自貢）如圖用四根木條釘成矩形框把邊固定在地面上向右推動(dòng)矩形框矩形框的形狀會(huì)發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過(guò)觀察分析我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系如線段由旋轉(zhuǎn)得到所以．我們還可以得到＝＝(2)進(jìn)一步觀察我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)∥請(qǐng)證明這一結(jié)論(3)已知若恰好經(jīng)過(guò)原矩形邊的中點(diǎn)求與之間的距離．【答案】(1)CDAD(2)見(jiàn)解析(3)EF于BC之間的距離為64cm．【解析】（1）由推動(dòng)矩形框時(shí)矩形ABCD的各邊的長(zhǎng)度沒(méi)有改變可求解（2）通過(guò)證明四邊形BEFC是平行四邊形可得結(jié)論（3）由勾股定理可求BH的長(zhǎng)再證明△BCH∽△BGE得到代入數(shù)值求解EG即可得到答案．(1)解：∵把邊固定在地面上向右推動(dòng)矩形框矩形框的形狀會(huì)發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知矩形ABCD的各邊的長(zhǎng)度沒(méi)有改變∴AB＝BEEF＝ADCF＝CD故答案為：CDAD(2)解：∵四邊形ABCD是矩形∴ADBCAB＝CDAD＝BC∵AB＝BEEF＝ADCF＝CD∴BE＝CFEF＝BC∴四邊形BEFC是平行四邊形∴EFBC∴EFAD(3)解：如圖過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G∵DC＝AB＝BE＝80cm點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)∴CH＝DH＝40cm在Rt△BHC中∠BCH＝90°BH＝（cm）∵EG⊥BC∴∠EGB＝∠BCH＝90°∴CHEG∴△BCH∽△BGE∴∴∴EG＝64∵EFBC∴EF與BC之間的距離為64cm．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)平行四邊形的判定和性質(zhì)勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．72．（2021·四川雅安）如圖為等腰直角三角形延長(zhǎng)至點(diǎn)B使其對(duì)角線交于點(diǎn)E．（1）求證：（2）求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)是等腰直角三角形可知再由即可證明（2）設(shè)則再根據(jù)即可得到用含的表達(dá)式表示的DF進(jìn)而即可求得的值．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形∴E為BD中點(diǎn)∵∴∴又∵為等腰直角三角形∴∴∴∵∴在與中∴（2）解：設(shè)∵為等腰直角三角形∴∵∴∴又∵∴∴∵∴∵E是DB中點(diǎn)∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定三角形相似的性質(zhì)與判定還涉及了等腰直角三角形的性質(zhì)勾股定理三線合一矩形的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容熟練掌握相關(guān)幾何證明方法是解決本題的關(guān)鍵．73．（2021·廣西賀州）如圖在中是上的一點(diǎn)以為直徑的與相切于點(diǎn)連接．（1）求證：平分（2）若求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接OE根據(jù)切線的定義可得結(jié)合∠C=90°可得即進(jìn)而說(shuō)明即可證明結(jié)論（2）先證可得再得最后運(yùn)用三角函數(shù)解答即可．【詳解】（1）證明：連接∵是的切線∴即又∵∴∴又∵∴∴∴平分．（2）∵是的直徑∴又∵∴∴．又∵∴．∴．又∵∴即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．74．（2021·湖南永州）如圖1是的直徑點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)且不與AB兩點(diǎn)重合的平分線交于點(diǎn)C過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線（2）求證：（3）如圖2原有條件不變連接延長(zhǎng)至點(diǎn)M的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P的平分線交的平分線于點(diǎn)Q．求證：無(wú)論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng)總有．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解（3）見(jiàn)詳解【解析】（1）連接OC先證明∠EAC=∠OCA可得CO∥AE進(jìn)而即可求證（2）連接BC可證進(jìn)而即可得到結(jié)論（3）由三角形外角的性質(zhì)可得∠QBM-∠QAM=∠Q∠CBM-∠CAM=∠ACB結(jié)合角平分線的定義可得∠ACB=2∠Q同理：∠AEB=2∠P進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OC∵的平分線交于點(diǎn)C∴∠EAC=∠CAB∵OA=OC∴∠CAB=∠OCA∴∠EAC=∠OCA∴CO∥AE∵∴CO⊥CD∴是的切線（2）連接BC∵是的直徑∴∠ACB=90°∵∴∠D=90°即：∠ACB=∠D∵∠DAC=∠CAB∴∴即：∵AB=2AO∴（3）證明：∵∠QBM是的一個(gè)外角∴∠QBM-∠QAM=∠Q同理：∠CBM-∠CAM=∠ACB∵的平分線交的平分線于點(diǎn)Q∴∠CBM=2∠QBM∠CAM=2∠QAM∴∠ACB=2∠Q同理：∠AEB=2∠P∵∠ACB和∠AEB都是直徑所對(duì)的圓周角∴∠ACB=∠AEB=90°∴即：無(wú)論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng)總有．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)三角形外角的性質(zhì)切線的判定定理相似三角形的判定和性質(zhì)熟練掌握?qǐng)A周角定理及其推論切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．75．（2021·湖南益陽(yáng)）如圖在等腰銳角三角形中過(guò)點(diǎn)B作于D延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)A作于F的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）判斷是否平分并說(shuō)明理由（2）求證：①②．【答案】（1）平分理由見(jiàn)解析（2）①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析．【解析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再根據(jù)圓周角定理可得從而可得然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得從而可得由此即可得出結(jié)論（2）①先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得再根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證②先根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得根據(jù)等量代換可得然后根據(jù)相似三角形的判定可得根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得最后根據(jù)即可得證．【詳解】解：（1）平分理由如下：由圓周角定理得：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得：平分（2）①平分在和中②在和由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得：在和中即．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)較難的是題（2）②正確找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵．76．（2021·黑龍江綏化）如圖所示四邊形為正方形在中的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)點(diǎn)在同一條直線上．（1）求證：（2）當(dāng)時(shí)求的值（3）當(dāng)時(shí)求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）．【解析】（1）已知正方形和用“邊角邊”證明兩三角形全等即可（2）方法一：過(guò)作交于點(diǎn)過(guò)作交于點(diǎn)則從而求的方法二：連接交于交于構(gòu)造相似三角形從而求得（3）不在直角三角形中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)求得結(jié)果．【詳解】（1）∵四邊形為正方形在和中．（2）方法一：為正方形對(duì)角線

設(shè)則在三角形中過(guò)作交于點(diǎn)過(guò)作交于點(diǎn)是等腰直角三角形∴．方法二：連接交于交于∵正方形∴為中點(diǎn)設(shè)（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)為等腰直角三角形在中．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明相似三角形的判定及性質(zhì)銳角三角函數(shù)勾股定理熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)按要求作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．77．（2021·山西）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列科普材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．圖算法圖算法也叫諾模圖是根據(jù)幾何原理將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量分別編成有刻度的直線（或曲線）并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形可以用來(lái)解函數(shù)式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系：得出當(dāng)時(shí)．但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案這種利用特制的線條進(jìn)行計(jì)算的方法