2022-2023學年甘肅省張掖市某重點校高二下學期3月月考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat12頁共NUMPAGES\*MergeFormat14頁2022-2023學年甘肅省張掖市某重點校高二下學期3月月考數(shù)學試題一、單選題1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的知識求得正確答案.【詳解】當時，；當時，.所以函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故選：C2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則求導函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)法求解.【詳解】因為，所以，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B4．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對函數(shù)求導，然后令，可求出，從而可求出的解析式，進而可求出【詳解】由，得，令，則，解得，所以，所以，故選：D5．曲線在點處的切線方程為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)的幾何意義即可求解﹒【詳解】∴在(0，1)處切線方程為：，即﹒故選：A﹒6．函數(shù)的大致圖像為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)奇偶性、特殊點的函數(shù)值、解不等式以及導數(shù)來研究函數(shù)圖像進行判斷.【詳解】因為函數(shù)，定義域為，又，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；由得，，同理，由得，或，故C錯誤；因為，，所以，故D錯誤；因為函數(shù)，定義域為，且當時，，，由有，，同理，由，解得，所以當時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以A正確.故選：A.7．當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.8．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導數(shù)法求得函數(shù)最小值點，根據(jù)區(qū)間列不等式求解即可.【詳解】由得，則當或，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減.在區(qū)間內(nèi)存在最小值，故最小值為，又，故有，解得.故實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.二、多選題9．下列函數(shù)求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式判斷各項的正誤.【詳解】A：，錯誤；B：，正確；C：，正確；D：，正確．故選：BCD10．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．C．函數(shù)在x＝5處取得極小值D．函數(shù)存在最小值【答案】ACD【分析】借助導數(shù)圖像的正負性即可分析原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故A正確；在恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故B錯誤；上，上,則函數(shù)在x＝5處取得極小值，故C正確;由導數(shù)圖可知在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，故在兩個極小值和中產(chǎn)生，故存在最小值，故D正確;故選：ACD.11．對于函數(shù)，下列說法正確的有（

）．A．在處取得極大值B．有兩不同零點C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】對于A，先對函數(shù)求導，令導函數(shù)等于零，然后再判其極值即可；對于B，令，則可得函數(shù)的零點；對于C，由選項A的解答過程可知，當時，函數(shù)為減函數(shù)，所以，而，從而可得結(jié)果；對于D，由在上恒成立，得，令，再利用導數(shù)求此函數(shù)的最大值即可【詳解】函數(shù)的導數(shù)，，令得，則當時，，函數(shù)為增函數(shù)，當時，，函數(shù)為減函數(shù)，則當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，故正確，由，得，得，即函數(shù)只有一個零點，故錯誤，，由時，函數(shù)為減函數(shù)知，故成立，故正確，若在上恒成立，則，設，，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，即當時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值，成立，故正確.故選：ACD．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)零點問題，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．12．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求導，計算出x與y的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項分析.【詳解】因為，即．令，則有，則，令，則，令，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，所以總有，故單調(diào)遞減；所以，即；對于A，，故A錯誤；對于B，設，則，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為，所以，故B正確；對于C，，即．設，則，則，所以單調(diào)遞增．因為，所以，故C正確；對于D，，即，令，則，因為，所以為偶函數(shù)，所以即為．則，令，則，所以單調(diào)遞增．又，所以當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，故D錯誤；故選：BC.三、填空題13．函數(shù)的極小值為______.【答案】##【分析】求導得到單調(diào)區(qū)間，再計算極值得到答案.【詳解】，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當時，函數(shù)有極小值為.故答案為：14．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.【答案】【分析】利用導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】，當時，單調(diào)遞減，，因為，所以，故答案為：15．已知函數(shù)在區(qū)間上有極值，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【分析】求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)在區(qū)間上有極值，即可求實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：的定義域為，且．①當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，從而沒有極大值，也沒有極小值．②當時，令，得，則和的情況如下：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．從而的極小值為，沒有極大值．函數(shù)在區(qū)間上有極值，，．故答案為：．16．已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．四、解答題17．求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過原點且與曲線相切；(2)斜率為e且與曲線相切.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導函數(shù)，設切點為，切線方程為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出斜率，即可得直線方程，然后將切點代入直線方程即可求得，從而可得答案；（2）求出導函數(shù)，根據(jù)切線斜率為，求出切點坐標，即可得出答案.【詳解】（1）解：，，設切點為，切線方程為，所以，，因為切點為，所以，所以，所以切線方程為；（2）解：，因為切線斜率為，所以，所以，則切點為，所以切線方程為，即.18．已知函數(shù)在時取得極值，且在點處的切線的斜率為.(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】(1)；(2)最大值為18，最小值為.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在處有極值，且在處切線斜率為﹣3，列出方程組；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出極值和端點的函數(shù)值比較即可求出函數(shù)的最大值與最小值.【詳解】（1）由，得，因為函數(shù)在時取得極值，且在點處的切線的斜率為，所以，解得，當時，，則，令，得或，當或時，，當時，，所以為函數(shù)的極大值點，所以符合題意，所以，（2）由（1）可得當或時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，所以，.19．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)在某點處的導數(shù)值是切線的斜率即可求解，（2）根據(jù)導函數(shù)的正負即可確定的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由得，故，所以切線方程為：（2）的定義域為，由（1）知：當，單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增，當，單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：20．新冠肺炎疫情期間，某企業(yè)生產(chǎn)的口罩能全部售出，每月生產(chǎn)萬件（每件5個口罩）的利潤函數(shù)為（單位：萬元）．（1）當每月生產(chǎn)5萬件口罩時，利潤為多少萬元？（2）當月產(chǎn)量約為多少萬件時，生產(chǎn)的口罩所獲月利潤最大？最大月利潤是多少？【答案】（1）萬元；（2）當月產(chǎn)量約為萬件時，生產(chǎn)的口罩所獲月利潤最大，最大利潤為8萬元．【分析】當時，，直接求解即可利用二次函數(shù)的頂點式和求導，即可求出的最值【詳解】解：（1）由已知，當時，，∴．即當每月生產(chǎn)5萬件口罩時，利潤為萬元．（2）當時，，∴當時，的最大值為（萬元）；當時，，，令，解得．∴當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當時，取最大值（萬元）．∵，∴當時，取得最大值8萬元．故當月產(chǎn)量約為萬件時，生產(chǎn)的口罩所獲月利潤最大，最大利潤為8萬元．【點睛】本題考查分段函數(shù)以及利用導數(shù)求解最值，屬于基礎題21．已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，依題意可得，解得即可.【詳解】（1）解：當時，，則，令，得，令，得∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的極大值為，無極小值；（2）解：當，，則是增函數(shù).當時，則是減函數(shù)，∴的最大值為，∵恒成立，∴，解得，∴的取值范圍為.22．已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且）.(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導得到導函數(shù)，考慮，，三種情況，根據(jù)導數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.（2）考慮，，三種情況，求導得到單調(diào)區(qū)間，計算最值，再根據(jù)零點存在定理得到答案.【詳解】（1），當時，，則當時，，故在單調(diào)遞減；當時，，故在單調(diào)遞增.當時，由得，.若，則，故在上單調(diào)遞增.若，當或時，，故在，單調(diào)遞增.當時，，故在單調(diào)遞減.綜上所述：時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.時