現(xiàn)代控制理論自用

現(xiàn)代控制理論自用第1頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注：類(lèi)似其中為矩陣；為矩陣1.齊次線性方程的非零解考慮下面結(jié)論成立的行列式不為零等價(jià)于方程有唯一零解；的行列式為零等價(jià)于方程有非零解，且解構(gòu)成向量空間，基礎(chǔ)解析所含向量的個(gè)數(shù)（解空間的維數(shù)）為；一.預(yù)備知識(shí)§2.1系統(tǒng)的可控性第2頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.凱萊-哈密頓定理設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為則A滿足其特征方程，即式（2.2-2）稱為凱特-哈密頓定理。證明據(jù)逆矩陣定義有式中B(λ)為(λI-A)的伴隨矩陣，其一般展開(kāi)式為第3頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日B(λ)的元素均為

(n+1)階多項(xiàng)式，根據(jù)矩陣加法規(guī)則將其分解為n個(gè)矩陣之和，即Bn-1,Bn-2,…,B0為n階矩陣。將式(2.1－3)的兩端右乘

將式（2.1－4）代入式（2.1－5）并展開(kāi)，有第4頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由方程兩端λ同冪項(xiàng)系數(shù)相等的條件有將式

的前n個(gè)等式兩端按順序右乘An,An-1,…,A將式

中各式相加，則證畢。第5頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明故上述推論成立。式中αm與A陣的元素有關(guān)。該推論可用以簡(jiǎn)化矩陣的冪的計(jì)算。推論1

矩陣A的k（k≥n）次冪，可表示為A的（n-1）階多項(xiàng)式第6頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日這是由于令推論2矩陣指數(shù)eAt可表為A的（n-1）階多項(xiàng)式第7頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則有

故推論2成立。式（2－126）中的α

0(t),α

1(t),…,α

n-1(t)均為t的冪函數(shù)。第8頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性是揭示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個(gè)重要的基本結(jié)構(gòu)特性。系統(tǒng)可控性指的是控制作用對(duì)被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進(jìn)行控制的可能性?？捎^測(cè)性反映由能直接測(cè)量的輸入輸出的量測(cè)值來(lái)確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。為什么經(jīng)典控制理論沒(méi)有涉及到可控性和可觀測(cè)性問(wèn)題?二.

線性定常系統(tǒng)的可控性及其判據(jù)第9頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2.1.1:

給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為本例中,狀態(tài)變量x1的運(yùn)動(dòng)只受初始狀態(tài)x1(0)的影響,與輸入無(wú)關(guān),即輸入u(t)不可控制x1(t)的運(yùn)動(dòng),而且x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)衰減到零。因此,狀態(tài)x1(t)不可控,則整個(gè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。1/s-1-21/s第10頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

給定系統(tǒng)一個(gè)初始狀態(tài)，如果在的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻是能控的；如果系統(tǒng)對(duì)任意一個(gè)初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。1.能控性定義說(shuō)明：1）初始狀態(tài)是狀態(tài)空間中的任意非零有限點(diǎn)，控制的目標(biāo)是狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)。（如果控制目標(biāo)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過(guò)坐標(biāo)平移，使其在新的坐標(biāo)系下是坐標(biāo)原點(diǎn)。）維向量輸出,為滿足矩陣運(yùn)算的矩陣。其中，為維向量，為維向量輸入，為第11頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日5）當(dāng)系統(tǒng)中存在不依賴于的確定性干擾時(shí)，不會(huì)改變系統(tǒng)的能控性。2）如果在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使系統(tǒng)從狀態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可達(dá)的；由于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性是等價(jià)的。3）只有整個(gè)狀態(tài)空間中所有的有限點(diǎn)都是可控的，系統(tǒng)才是可控的。4）滿足

式的初始狀態(tài)，必是可控狀態(tài)。第12頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程格拉姆矩陣判據(jù)秩判據(jù)PBH秩判據(jù)模態(tài)判據(jù)運(yùn)算的矩陣。其中，為維向量，為維向量輸入，為滿足矩陣第13頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1）格拉姆矩陣判據(jù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)式

完全可控的充要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使如下定義的格拉姆矩陣：非奇異。證明

充分性：已知

為非奇異，欲證系統(tǒng)完全可控。已知

非奇異，故

存在。對(duì)于任一非零初始狀態(tài)

可選取

為則在

作用下系統(tǒng)

在

時(shí)刻的解為第14頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日必要性:已知系統(tǒng)完全可控，欲證

為非奇異。表明，對(duì)任一取定的初始狀態(tài)

，都存在有限時(shí)刻

和控制

，使?fàn)顟B(tài)由

轉(zhuǎn)移到t1時(shí)刻的狀態(tài)

，于是根據(jù)定義可知系統(tǒng)完全可控。充分性得證。采用反證法。設(shè)

為奇異，則存在某個(gè)非零向量成立，由此可導(dǎo)出第15頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由此又可導(dǎo)出其中||·||為范數(shù)，故其必為正值。于是，欲使式

成立，應(yīng)當(dāng)有另一方面，因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對(duì)此非零向量應(yīng)當(dāng)有第16頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日再利用式（2.1－19），由式（2.1－22）可以得到顯然，此結(jié)果與假設(shè)相矛盾，即

為非奇異因此，若系統(tǒng)完全可控，

必為非奇異。必要性得證。證畢。

可以看出，在應(yīng)用格拉姆矩陣判據(jù)時(shí)需計(jì)算矩陣指數(shù)eAt，在A的維數(shù)n較大時(shí)計(jì)算eAt是困難的。所以格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)是直接由矩陣A和B判斷可控性的秩判據(jù)。。的反設(shè)不成立。第17頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2)秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)

完全可控的充要條件其中n為矩陣A的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。證明

充分性：已知rankS＝n，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)可知為奇異，這意味著存在某個(gè)非零n維向量α使成立。顯然，由此可導(dǎo)出將式

求導(dǎo)直至n－1次，再在所得結(jié)果中令t＝0，得到第18頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日式

又可表示為由于α≠0，所以式

意味著S為行線性相關(guān)，即rankS<n,這顯然和已知rankS=n相矛盾。因而反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控。必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n.采用反證法。反設(shè)rankS<n,這意味著S為線性相關(guān)，因此必存在一個(gè)非零n維常數(shù)向量α使成立?？紤]到問(wèn)題的一般性，由上式可導(dǎo)出根據(jù)凱萊－哈密頓定理，An，An+1，…均為可表示為A的（n－1）階多項(xiàng)式，因而式

又可寫(xiě)為第19頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日從而對(duì)任意t1>0有從而因而有由于已知α≠0，若式

成立，則W（0，t1）必為奇異，系統(tǒng)為不完全可控，與已知結(jié)果相矛盾。于是有rankS=n,必要性得證。秩判據(jù)證畢。第20頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2.1.2判斷下列狀態(tài)方程的可控性解系統(tǒng)的可控性矩陣顯見(jiàn)S矩陣的第二、第三行元素絕對(duì)值相同，rankS=2<3,系統(tǒng)不可控。第21頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3)PBH秩判據(jù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)

完全可控的充要條件是，對(duì)矩陣A的所有特征值λi(i=1,2,3,…,n),均成立，或等價(jià)地表示為證明必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證式

成立。采用反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè)為線性相關(guān)，因而必存在一個(gè)非零常數(shù)向量α，使成立?？紤]到問(wèn)題的一般性，由式

可導(dǎo)出即(sI-A)和B是左互質(zhì)的。

由于這一判據(jù)由波波夫和貝爾維奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其廣泛應(yīng)用性，故稱為PBH秩判據(jù)。第22頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日進(jìn)而可得于是有因已知α≠0，所以欲使式

成立，必有這意味著系統(tǒng)不可控，顯然與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立，而式

成立?？紤]到[sI-AB]為多項(xiàng)式矩陣，且對(duì)復(fù)數(shù)域C上除λi(i=1,2,3,…,n)以外的所有s均有det(sI-A)≠0，所以式

等價(jià)于式

。必要性得證。充分性：已知式

成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法。利用與上述相反的思路，即可證明充分性。至此，PBH秩判據(jù)證畢。第23頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2.1.3已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的可控性。解根據(jù)狀態(tài)方程可寫(xiě)出考慮到A的特征值為所以只需對(duì)它們來(lái)檢驗(yàn)上述矩陣的秩。通過(guò)計(jì)算可知，第24頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日計(jì)算結(jié)果表明，充分必要條件

成立，故系統(tǒng)完全可控。第25頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解由方程|iI-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為1,2和3。對(duì)特征值1=1,有例2.1.4：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。第26頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)特征值2=2,有對(duì)特征值3=3,有由PBH秩判據(jù)可知,該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。第27頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4）約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)（模態(tài)判據(jù)）

線性定常連續(xù)系統(tǒng)

完全可控的充要條件分兩種情況：⑴矩陣A的特征值λi(i=1,2,3,…,m),是兩兩相異的。由線性變換可將式

變?yōu)閷?duì)角規(guī)范型則系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是，在式

中，不包含元素全為零的行。證明可用秩判據(jù)予以證明，推證過(guò)程略。第28頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2.1.5已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為（9－148）試判定系統(tǒng)的可控性。解由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。第29頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題：判斷下述系統(tǒng)的狀態(tài)可控性第30頁(yè)，共35