2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)

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2023年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案

第26講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

一．課標(biāo)要求：

1．平面向量的數(shù)量積

①通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

③把握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；

④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。2．向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。

二．命題走向

本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值5~9分。

平面向量的綜合問題是“新熱點(diǎn)〞題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。

預(yù)計(jì)2023年高考：

（1）一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。

（2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)；

三．要點(diǎn)精講

1．向量的數(shù)量積

（1）兩個非零向量的夾角

已知非零向量a與a，作＝a，OB＝b，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a與b的夾角；

說明：（1）當(dāng)θ＝０時，a與b同向；（2）當(dāng)θ＝π時，a與b反向；（3）當(dāng)θ＝

時，a與b垂直，記a⊥b；2

（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必需是同起點(diǎn)的，范圍0≤≤180。

C

（2）數(shù)量積的概念

b=︱a︱已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則a︱b︱cos叫做a與b的

數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定0a0；

ab

向量的投影：︱b︱cos=∈R，稱為向量b在a方向上的投影。投影的絕對值稱

|a|

為射影；

（3）數(shù)量積的幾何意義：ab等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積。

（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)

①向量的模與平方的關(guān)系：aaa|a|。②乘法公式成立

2

2

aba2abb

2

2

2222

abababab；

2

22

a2abb；

③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律成立：abba；

對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：abababR；

分派律成立：abcacbccab。

x1x2y1y2ab

④向量的夾角：cos=cosa,b=。

2222

abx1y1x2y2

0

當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量a與b同方向時，θ=0，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時θ=1800，同時

0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。

（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

b=x1x2y1y2。已知兩個向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則a

0

（6）垂直：假使a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a⊥b。

b＝Ox1x2y1y20，平面向量數(shù)兩個非零向量垂直的充要條件：a⊥ba

量積的性質(zhì)。

（7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)a(x,y)，則|a|xy或|a|

2

2

2

x2y2。

假使表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，那么

|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。

2．向量的應(yīng)用

（1）向量在幾何中的應(yīng)用；（2）向量在物理中的應(yīng)用。四．典例解析

題型1：數(shù)量積的概念

例1．判斷以下各命題正確與否：

（1）0a0；

（2）0a0；

（3）若a0,abac，則bc；

（4）若abac，則bc當(dāng)且僅當(dāng)a0時成立；

（5）(ab)ca(bc)對任意a,b,c向量都成立；

2

（6）對任意向量a，有aa。

2

解析：（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯；（6）對。

點(diǎn)評：通過該題我們明白了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)明白0a為零向量，而為零。

例2．（1）若、、為任意向量，m∈R，則以下等式不一定成立的是（）．．．A．()()C．m（）=m+m

B．()

D．()()

（2）設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則

）－（）=②||－|||－|③（）－（）不①（

與垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

osa；解析：（1）答案：D；由于(ab)c|a||b|cosc，而a(bc)|b||c|c

而方向與方向不一定同向。

（2）答案：D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假；②由向量的減法運(yùn)算可知||、

c）|b|、|a－b|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊〞，故②真；③由于［（b

a－（ca）b］c=（bc）ac－（ca）bc=0，所以垂直.故③假；④（3a+2b）－4=9||2－4||2成立。故④真。（3－2）=9

點(diǎn)評：此題考察平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。題型2：向量的夾角

||4，例3．（1）已知向量、滿足||1、且2，則與的夾角為（）

A．

B．C．D．6432

（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是。

0

ba，試求c與d的（3）已知兩單位向量a與b的夾角為120，若c2ab,d3

夾角。

（4）||=1，||=2，=+，且⊥，則向量與的夾角為

A．30

（）

B．60

C．120D．150

解析：（1）C；（2）

0

（3）由題意，ab1，且a與b的夾角為120，

；2

10

所以，ababcos120，

2

222

ccc(2ab)(2ab)4a4abb7，

c

同理可得d

2217

而cd(2ab)(3ba)7ab3b2a，

2

設(shè)為c與d的夾角，

則cos

1727

17。182

2

（4）C；設(shè)所求兩向量的夾角為

cabcac.a(ab).a

a.ab0

|a|2|a||b|cos即：cos

所以120.

o

|a|

2

|a||b|

1

2|b|

|a|

點(diǎn)評：解決向量的夾角問題時要借助于公式cos

，要把握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。

向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑。對于a.b|a||b|cos這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)當(dāng)做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需把握。

例4．（1）設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1a2a30。假使向量b1、b2、b3，

o

滿足|bi|2|i|，且ai順時針旋轉(zhuǎn)30后與bi同向，其中i1,2,3，則（）

A．－b1+b2+b3=B．b1-b2+b3=C．b1+b2-b3=D．b1+b2+b3=

（2）已知|a|2|b|0,且關(guān)于x的方程x|a|xab0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是（）A．[0,

2

2

]B．[,]C．[,]D．[,]63336

解析：（1）D；（2）B；

點(diǎn)評：對于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實(shí)際問題。題型3：向量的模

o

例5．（1）已知向量a與b的夾角為120，a3,ab則b等于（）

A．5B．4C．3D．12

（2）設(shè)向量a,b,c滿足abc0,ab,|a|1,|b|2,則|c|（）

A．1B．2C．4D．5解析：（1）B；（2）D；

點(diǎn)評：把握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算||

，以及||。

2

2

例6．已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜

=1。

解析：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)；

又（xa+yb）⊥a(xa+yb)a＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝０①；

２

又｜xa+yb｜=1｜xa+yb｜＝１；

（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１；

整理得25x＋48xy+25y＝１即x(25x+24y)+24xy+25y＝１②；

２

由①②有24xy+25y＝１③；將①變形代入③可得：y；

２

２

２

57

2424xx3535

再代回①得：。和

y5y577

點(diǎn)評：這里兩個條件相互制約，注意表達(dá)方程組思想。

題型4：向量垂直、平行的判定

例7．已知向量(2,3)，(x,6)，且//，則x。解析：∵//，∴x1y2x2y1，∴263x，∴x4。

例8．已知a4,3，b1,2，mab,n2ab，按以下條件求實(shí)數(shù)的

值。（1）mn；（2）m//n；(3)mn。

解析：mab4,32,n2ab7,8

52；9

1（2）m//n483270；

2

22

(3)mn4327282524880

（1）mn473280

22。5

點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算。題型5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用

例9．已知ab1，cd1，求證：|acbd|1。

2222

y(c，d)的模的平方，分析：ab1，cd1，可以看作向量x(a，b)，

2

2

2

2

而acbd則是x、y的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。

(c，d)證明：設(shè)(a，b)

|x|則xyacbd，

a2b2，|y|c2d2。

||||||，

|acbd|abcd1

2

2

2

2

點(diǎn)評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如

|ab||a||b|，|ab||a||b|；ab|ab||a||b|等。

例10．已知acos，sin，bcos，sin，其中0。（1）求證：a＋b與a－b相互垂直；

（2）若kab與kab（k0）的長度相等，求。解析：（1）由于(a＋b)(a－b)aab＋ba－bab|a||b|

2

2

2

2

2

2

cos2sin2cos2sin2

110

所以a＋b與a－b相互垂直。

（2）ka＋bkcoscos，ksinsin，kabkcoscos，ksinsin，所以|kab||kab|

k22kcos1，

k22kcos1，

由于|kab||kab|，

所以k2kcos1k2kcos1，

2

2

有2kcos2kcos，由于k0，故cos0，又由于0，0，

所以

2

。

點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角〞之間存在著密切的聯(lián)系。假使在平面向量與三角函數(shù)

的交匯處設(shè)計(jì)考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理?？墒菇忸}過程得到簡化，從而提高解題的速度。

題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用

例11．已知兩點(diǎn)M(1且點(diǎn)P（x，y）使得MPMN，PMPN，NMNP，0)，N(1，0)，成公差小于零的等差數(shù)列。

（1）求證xy3(x0)；

（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，記PM與PN的夾角為，求tan。

2222

解析：（1）略解：PMPNxy1，由直接法得xy3(x0)

22

（2）當(dāng)P不在x軸上時，

SPMN

1

|PM||PN|sin2

1

PMPNtan21

|MN|||y0|2

而PNPM(1x0，y0)(1x0，y0)xy12，|MN|2

2

020

tan0，上式仍成立。所以tan|y0|，當(dāng)P在x軸上時，y00，

y

P

MN

圖1

111

點(diǎn)評：由正弦面積公式S|a||b|sin|a||b|costanabtan得到

222

了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。

例12．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：∠APB＝90。

證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量OAa，OPb，則OBa且PAOAOPab，

PBOBOPab

PAPBb2a2|b|2|a|20

PAPB，即∠APB＝90。

點(diǎn)評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和明了的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用

例13．如下圖，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力PA、PB、PC、PD、PE

作用于同一點(diǎn)P，求五個力的合力。

解析：所求五個力的合力為PAPBPCPDPE，如圖3所示，以PA、PE為邊

作平行四邊形PAOE，則POPAPE，由正六邊形的性質(zhì)可知|PO||PA|b，且O

點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則PFPBPD，由正六邊形的性質(zhì)可

知|PF|3b，且F點(diǎn)在PC的延長線上。

由正六邊形的性質(zhì)還可求得|PC|2b

故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為b2b3b6b，方向與PC的方向

一致。

五．思維總結(jié)

1．兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos的符號所決定；（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成今后要學(xué)到兩個向量的外積，而；是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“〞在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“〞代替；

（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若0，且=0，不能推出=。由于其中cos有可能為0；

（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c。但是=

b

cac；

ab=|a|b|cos=|b||OA|，bc=|b|c|cos=|b||OA|ab=bc，如右圖：但ac；

(5)在實(shí)數(shù)中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)，顯然，這是由于左

端是與c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

特別注意：