高數(shù)課件第九章0906簡化

1第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個方程的情形確定函數(shù),求確定二元隱函數(shù)求復(fù)習(xí)2二、方程組的情形求設(shè)確定了隱函數(shù):問題：3設(shè)求

提示:例84第六節(jié)微分法的幾何應(yīng)用一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:

已知空間曲線的參數(shù)方程:記或記成則的方程就成為向量方程：此方程確定了一個映射：此映射將每一個映成一個向量故稱此映射為一元向量

值函數(shù).一般地，有5為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）,記為定義域自變量因變量定義:

給定數(shù)集D

R,稱映射注意⑴相應(yīng)地，稱普通的實(shí)值函數(shù)為數(shù)量函數(shù)。對上的動點(diǎn)M,即是的終點(diǎn)M

的軌跡,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線

.⑵在中，顯然，6討論向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù).嚴(yán)格定義見P93-4⑶以n

=3的情形為例在中，設(shè)的三個分量函數(shù)依次為：則向量值函數(shù)可表示為：或它的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)等概念類似于數(shù)量函數(shù)，簡述如下：7極限：連續(xù)：導(dǎo)數(shù)：8在R3中,設(shè)的終端曲線為,表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t的增長方向一致.,則設(shè)向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:9由此，若空間曲線的參數(shù)方程:在曲線上點(diǎn)（對應(yīng)的參數(shù)）處的切向量則為：特別地，若平面曲線L的參數(shù)方程:在曲線上點(diǎn)（對應(yīng)的參數(shù)）處的切向量則為：10二、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為:1.在點(diǎn)M0

的切向量為：因此，曲線在處的切線方程為:過點(diǎn)與其切線垂直的平面，在的法平面.法平面方程為:稱為曲線則11例4

求曲線在點(diǎn)的切線及法平面方程.因?yàn)辄c(diǎn)對應(yīng)參數(shù)切向量切線方程為:法平面方程為:即:解所以12若空間曲線的方程為:可視為:所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為:法平面方程為:曲線的切向量為:2.13例5

求曲線處的切線方程和法平面方程.解取

x

為參數(shù)，的參數(shù)方程為：點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)所以切向量切線方程為：法平面方程為：即則曲線14若空間曲線的方程為:點(diǎn)在該曲線上.確定隱函數(shù):由方程組求出曲線在點(diǎn)處的切向量為:切線方程為:法平面方程為:3.15例6

求曲線在點(diǎn)的切線及法平面方程.方程兩邊對x

求導(dǎo)，得:即所以切線方程為:即法平面方程為:即故解16二、空間曲面的切平面與法線1.

設(shè)曲面的方程為:為曲面上一點(diǎn),xyzo在曲面上過點(diǎn)任作一曲線設(shè)其方程為:曲面上，的所有曲線在點(diǎn)稱該平面為曲面在點(diǎn)處的切平面.可以證明：過點(diǎn)處的切線共面。17事實(shí)上,曲線在點(diǎn)的切向量為:xyzo即取則有即兩向量垂直.18向量為切平面的法向量.切平面方程為:過點(diǎn)并與其切平面垂直的直線稱為曲面在點(diǎn)的法線.法線方程為:這說明過點(diǎn)的所有曲線在點(diǎn)處的切線都垂直于曲面上過點(diǎn)的所有曲線在處的切線都在同一平面上。即19例7求曲面在點(diǎn)處的切平面及法線方程.設(shè)點(diǎn)處，故，所求切平面方程為:即法線方程為:即解課本9-6：8202.

若曲面方程由顯函數(shù)形式給出:則令在點(diǎn)處切平面的法向量為:切平面方程為:法線方程為:21若曲面在點(diǎn)處切平面的一個法向量為:則其向上的法向量（即向量與z軸的夾角為銳角）為假設(shè)用表示曲面向上的法向量的方向角，則該法向量的方向余弦為(第二類曲面積分用到)22例8

求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程.解令在點(diǎn)處，所求切平面方程為：法線方程為:另解點(diǎn)處切平面的法向量為:切平面方程為:法線方程為:法向量23例9

求橢球面上平行于平面的切平面方程.已知平面的法向量為：由已知條件知：且解得曲面上切點(diǎn)坐標(biāo)為：所求切平面方程為：解設(shè)則課本9-6：10

24例10

在曲面上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面并寫出這法線的方程.解已知平面的法向量為：設(shè)曲面上的點(diǎn)設(shè)則所以因?yàn)樗?，有課本總習(xí)題九：14得滿足要求，處法線的方向向量為上的點(diǎn)25所以所求點(diǎn)為故而該點(diǎn)處法線方程為：此時證則所以曲面上一點(diǎn)處的法向量為課本9-6：12

試證曲面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于例1126它在軸上的截距分別為:即該點(diǎn)處切