21剛體的定軸轉動和平面平行運動

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第2章剛體力學2.1剛體的定軸轉動和平面平行運動2.2轉動慣量的計算平行軸定理2.3用剛體轉動定理解題2.4剛體轉動的功和能2.5定軸轉動剛體的角動量守恒*2.6進動和陀螺儀(不講，做演示)

剛體：在運動和受力過程中，形狀不發(fā)生變化的物體。剛體只是一個物理模型，實際上不存在。把剛體想象地分割成大量質(zhì)元，剛體可看成是由這些質(zhì)元組成的質(zhì)點系——在整個運動和受力過程中，這種質(zhì)點系中任何兩個質(zhì)點之間的距離都保持不變。剛體的運動規(guī)律，可通過把牛頓運動定律應用到這種特別的質(zhì)點系上得到。2

2.1剛體的定軸轉動和平面平行運動2.1.1剛體的定軸轉動2.1.2剛體定軸轉動定理轉動慣量2.1.3剛體的平面平行運動

2.1.1剛體的定軸轉動

剛體的運動：平動、轉動平動：剛體中任意兩個質(zhì)點的連線在運動中始終保持平行。剛體平動時各個質(zhì)元的運動狀況完全一致可以用剛體質(zhì)心的運動來表達剛體的平動

定軸轉動：垂直紙面向外為正

viriairi轉軸

轉動平面

垂直于轉軸的平面；轉動平面：除轉軸上的質(zhì)元之外，剛體各個質(zhì)元都在轉動平面內(nèi)作圓5周運動——應預先規(guī)定轉軸的正方向

2.1.2剛體定軸轉動定理轉動慣量對慣性系中固定轉軸z上的任意一點，剛體這一質(zhì)點系的角動量變化定理：

M:剛體所受對該點的合外力矩元對該點角動量的矢量和。

dLMdt

L:剛體對該點的角動量，等于剛體所有質(zhì)6

向z軸作投影：

dLMdt

dLzMzdtMz:剛體所受對z軸的合外力矩Lz:剛體繞z軸的角動量，等于剛體所有質(zhì)元繞z軸作圓周運動的角動量之和：

Lzi

2ΔmiriΔmiriIi2

剛體繞z軸的轉動慣量：

Imirii

2

Ir2dm剛體繞z軸的角動量：

LzIddLzIIMzdtdt

剛體定軸轉動定理：剛體繞慣性系中固定轉軸轉動時，剛體的角加速度與所受對該軸的合外力矩成正比，與剛體繞該軸的轉動慣量成反比

MzI在同樣力矩的作用下，轉動慣量越大，剛體轉動的角加速度就越小，角速度就越不簡單改變。轉動慣量表示剛體轉動慣性的大小9

對軸的力矩的計算：

把外力分解成轉動平面內(nèi)的分力和垂直于轉動平面的分力。垂直分力與轉軸平行，對O點力矩垂直于轉軸，則對轉軸力矩為零。外力對轉軸的力矩，就是轉動平面內(nèi)的分力對該轉軸的力矩：

Mzrfsin

rfhf10

過質(zhì)心軸：通過剛體質(zhì)心的直線證明：重力對過質(zhì)心軸的合力矩等于零剛

體各個質(zhì)元所受重力對任意一點O的合力矩：MrimigmirigiirCmirimiMrCmgmg

剛體各個質(zhì)元所受重力對O點的合力矩，等于整個剛體的重力作用于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。假使O為質(zhì)心，rC=0,M=0,即證。11

2.1.3剛體的平面平行運動平面平行運動：剛體在運動中，所有質(zhì)元的運動都平行于某一平面。平面平行運動=質(zhì)心運動+繞垂直于運動平面的過質(zhì)心軸的轉動剛體質(zhì)心運動人從質(zhì)心運動定理剛體繞過質(zhì)心軸的轉動定理與定軸轉動定理的形式一致：

MCIC剛體的角速度(與轉軸選取無關)12

證明：假使過質(zhì)心軸沒有加速度，相對剛體質(zhì)心靜止的參考系是慣性系，MC=IC顯然成立。假使過質(zhì)心軸有加速度aC,還要考慮慣性力的力矩。質(zhì)元所受慣性力mi(aC),與重力的形式一致。因此，加速度a