人教版部編版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)課后同步練習(xí)題專(zhuān)項(xiàng)講解

第五章相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1鄰補(bǔ)角

有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線,具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).

/

AOB

如圖，則/AOC與NBOC互為鄰補(bǔ)角,且/AOC+NB0C=180°.

1.(2017?河池)如圖，點(diǎn)0在直線AB上.若NB0C=60°,則NA0C的大小是(C)

A.60°B.90°C.120°D.150°

2.如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)0,貝U/AOC的令B補(bǔ)角是NA0D和NB0C.

3.如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)0,0E平分NBOD.若NB0E=30°,則NA0D=120°.

知識(shí)點(diǎn)2對(duì)頂角

有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線,具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角互為對(duì)頂

角.對(duì)頂角相等.

如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)0.

則NA0C的對(duì)頂角是NBOD；NA0D的對(duì)頂角是NB0C,且相等的角有：NA0C=NB0D,NA0D=NB0C.

4.(2018?遵義桐梓縣期末)下列圖形中，N1與N2是對(duì)頂角的是(C)

5.如圖所示，直線AB和CD相交于點(diǎn)0.若/C0B=140°,則/I,N2的度數(shù)分別為（C）

140°,40°B.40°,150°

40°,140°D.150°,40°

6.（2018?黔西南期中）如圖是對(duì)頂角量角器，用它測(cè)量角的原理是對(duì)頂角相等.

7.在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)依據(jù)：

如圖，因?yàn)橹本€a,b相交于點(diǎn)0,

所以Nl+N3=180°（鄰補(bǔ)角互補(bǔ)）,

N1=N2（對(duì)頂角相等）.

8.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,NA0C=60°,/1=40°,則N2=20°,ZA0E=140°.

:D

9.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,ZE0C=70°,0A平分NE0C,求/B0D的度數(shù).

解：因?yàn)?A平分/EOC,NEOC=70°,

所以NA0C=5/E0C

=35。.

所以NB0D=/A0C=35°.

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)對(duì)頂角性質(zhì)理解不透徹而判斷失誤

10.下列說(shuō)法正確的有(B)

①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角,

則這兩個(gè)角不相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

易錯(cuò)點(diǎn)2未給出圖形，考慮不周全致錯(cuò)

11.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有兩個(gè)角分別是(2x—10)°和(110—x)°,則x=40或80.

中檔題

12.如圖，三條直線L,b,h相交于一點(diǎn)，則/1+N2+N3等于(C)

13.(2019?黔東南期末)如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)0,0E平分NB0D.若NA0D=110°,則NC0E的度數(shù)為(B)

A.135°B.145°

14.(教材P3練習(xí)變式)如圖，兩條直線L,k相交于點(diǎn)0.

(1)若/a=x。，則它的鄰補(bǔ)角的度數(shù)為的80—x)°,對(duì)頂角的度數(shù)為二;

(2)當(dāng)Na逐漸增大時(shí)，它的鄰補(bǔ)角逐漸減小,它的對(duì)頂角逐漸增大.

15.如圖，直線a,b,c兩兩相交，Zl=80°,Z2=2Z3,則/4=140°.

16.如圖，直線a,b相交于點(diǎn)0,已知3N1—N2=100°,則/3=130°.

17.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,ZA0E=ZB0E,0B平分ND0F.若ND0E=50°,求ND0F的度數(shù).

解：因?yàn)?AOE=NBOE,且/A0E+NB0E=180°，

所以NA0E=NB0E=90°.

因?yàn)镹D0E=50°,

所以/口013=/150￡—/口0￡=40°.

因?yàn)镺B平分ND0F,

所以ND0F=2/D0B=80°.

18.如圖，1“k,h相交于點(diǎn)0,Z1=Z2,Z3：Zl=8：1,求N4的度數(shù).

解：設(shè)/l=N2=x°,則N3=8x°.

由/l+N2+/3=180°,得

10x=180.解得x=18.

所以N1=N2=18°.

所以N4=/l+N2=36°.

綜合題

19.探究題：

(1)三條直線相交，最少有L個(gè)交點(diǎn)，最多有2個(gè)交點(diǎn)，分別畫(huà)出圖形，并數(shù)出圖形中的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù)；

(2)四條直線相交，最少有L個(gè)交點(diǎn)，最多有殳個(gè)交點(diǎn)，分別畫(huà)出圖形，并數(shù)出圖形中的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù)；

(3)依次類(lèi)推，n條直線相交，最少有1個(gè)交點(diǎn)，最多有n個(gè)交點(diǎn),對(duì)頂角有n(n—1)對(duì)，鄰補(bǔ)角有2n(n—

n對(duì).

解：(1)圖略，對(duì)頂角有6對(duì)，鄰補(bǔ)角有12對(duì).

⑵圖略，對(duì)頂角有12對(duì)，鄰補(bǔ)角有24對(duì).

5.1.2垂線

基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)垂直

如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中的任意一個(gè)角等于90^,那么這兩條直線互相垂直.

如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0.

c

(1)若NA0C=90°,則AB與CD的位置關(guān)系是垂直；

(2)若AB_LCD,則NA0C=NC0B=NB0D=NA0D=90°.

1.如圖，0A10B,若Nl=55°,則N2的度數(shù)是(A)

A.35°B.40°C.45°D.60°

2.如圖，當(dāng)與N2滿足條件Nl+N2=90°時(shí),0A±0B.

3.如圖，已知直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)0,AB±CD,ZD0E=127°,求NA0F的大小.

解：因?yàn)锳B_LCD,

所以ND0B=90°.

又因?yàn)镹D0E=127°,

所以NBOE=NDOE-ZDOB

=127°-90°

=37。.

所以NAOF=/BOE=37°.

知識(shí)點(diǎn)2畫(huà)垂線

4.下列各圖中，過(guò)直線1外一點(diǎn)P畫(huà)1的垂線CD,三角板操作正確的是(D)

0|

F

AB

知識(shí)點(diǎn)3垂線的性質(zhì)

(1)在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有二條直線與已知直線垂直.

(2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段展短.

5.下列說(shuō)法正確的有(C)

①在平面內(nèi)，過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；

②在平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；

③在平面內(nèi)，可以過(guò)任意一點(diǎn)畫(huà)一條直線垂直于已知直線；

④在平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.(2017?柳州)如圖，經(jīng)過(guò)直線1外一點(diǎn)A畫(huà)1的垂線，能畫(huà)出(A)

A.1條B.2條C.3條D.4條

7.下面可以得到在如圖所示的直角三角形中斜邊最長(zhǎng)的原理是(D)

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.兩點(diǎn)之間，線段最短

C.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

D.垂線段最短

8.(2018?遵義期中)如圖所示，想在河的兩岸搭建一座橋，搭建方式最短的是PM,理由是垂線段最短.

知識(shí)點(diǎn)4點(diǎn)到直線的距離

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫做點(diǎn)到直線的距離.

如圖，點(diǎn)P到直線1的距離是線段PB的長(zhǎng)度.

9.（2018?黔南期末）下列圖形中，線段PQ的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到直線MN的距離的是（A）

10.如圖，BC±AC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么點(diǎn)B到AC的距離是&cm,點(diǎn)A到BC的距離是gem,C

到AB的距離是4.8cm.

易錯(cuò)點(diǎn)未給出圖形，考慮不周全而致錯(cuò)

11.（2018?黔西南期末）在直線AB上取一點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0作射線0C,0D,使0CL0D.當(dāng)NA0C=30°時(shí)，NB0D的度

數(shù)（D）

A.60°B.90°C.120°D.60°或120°

中檔題

12.（教材P9習(xí)題T12變式）己知直線AB,CB,1在同一平面內(nèi).若ABL1,垂足為B,CB11,垂足也為B,則符合

題意的圖形可以是（C）

13.如圖,ABJ_CD于點(diǎn)0,

A.互為對(duì)頂角B.互補(bǔ)1）.相等

14.如圖，三角形ABC中，ZC-900,AC=3,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP的長(zhǎng)不可能是（A）

A.2.5B.3C.4

15.(2018?黔西南期中)如圖，AB1AC,AD1BC,垂足分別為A,D,則圖中能表示點(diǎn)到直線距離的線段共有(D)

A.2條B.3條C.4條D.5條

16.（2018?河南）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,E0LAB于點(diǎn)0,ZE0D=50°,則NB0C的度數(shù)為140°.

17.如圖,己知D0J_C0,Zl=36°,Z3=36°.

(1)求/2的度數(shù)；

(2)A0與B0垂直嗎？說(shuō)明理由.

解：（1）因?yàn)镈0LC0,

所以ND0C=90°.

因?yàn)镹l=36°,

所以N2=90°-36°=54°.

（2）AO±B0.理由如下：

因?yàn)镹3=36°,N2=54°,

所以N3+N2=90°.

所以AOJ_BO.

18.如圖，兩直線AB,CD相交于點(diǎn)0,0E平分NBOD,ZA0C：ZA0D=7：11.

(1)求/COE的度數(shù)；

(2)若OF_LOE,求NC0F的度數(shù).

AD

解：（1）因?yàn)?AOC：/A0D=7：11,ZA0C+ZA0D=180°,

所以NA0C=70°,ZA0D=110°.

所以NBOD=/AOC=70°,

ZB0C=ZA0D=110°.

又因?yàn)镺E平分/BOD,

所以/80￡=/口0￡=^/13（?=35°.

所以NCOE=/BOC+NBOE=HO°+35°=145°.

⑵因?yàn)镺FJ_OE,所以NF0E=90°.

所以NF0D=/F0E-ND0E=90°-35°=55°.

所以NC0F=180°—NF0D=180°-55°=125°.

5.1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角

基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角

如圖所示，直線AB,CD與EF相交.

(1)圖中N1和N2分別在直線AB,CD的同一方(或上方)，并且都在直線EF的同側(cè)(或右側(cè))，具有這樣位置關(guān)系的

一對(duì)角叫做同位角;

(2)圖中N2和N8都在直線AB,CD之間，并且分別在直線EF的兩側(cè)，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角;

(3)圖中N2和N7都在直線AB,CD之間，且都在直線EF的同一旁(或右側(cè))，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同旁

內(nèi)角.

1.(2018?衢州)如圖，直線a,b被直線c所截，那么/I的同位角是(C)

A.Z2B.Z3

2.如圖，以下說(shuō)法正確的是(C)

A.N1和/2是內(nèi)錯(cuò)角

C.N1和N3是內(nèi)錯(cuò)角D.N2和Z4是同旁?xún)?nèi)角

3.看圖填空:

(DZ1和/3是直線AB,BC被直線AC所截得的同旁?xún)?nèi)角;

(2)Z1和/4是直線AB,BC被直線AC所截得的同位角;

⑶ZB和N2是直線AB,AC被直線BC所截得的同位角;

(4)ZB和N4是直線AC,BC被直線AB所截得的內(nèi)錯(cuò)角.

知識(shí)點(diǎn)2“三線八角”之間的關(guān)系

4.如圖所示，若N1=N2,則在①N3和N2；②N4和/2；③N3和N6；④N4和28中，相等的有(C)

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

易錯(cuò)點(diǎn)忽視截線導(dǎo)致找錯(cuò)位置角

5.下面四個(gè)圖形中，/I和N2是同位角的是(D)

A.②③④B.①②③

C.①②③④D.①②④

中檔題

6.兩條直線被第三條直線所截，就第三條直線上的兩個(gè)交點(diǎn)而言形成了“三線八角”.為了便于記憶，同學(xué)們可

仿照?qǐng)D用雙手表示“三線八角”(兩大拇指代表被截直線，食指代表截線).下列三幅圖依次表示(B)

A.同位角、同旁?xún)?nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角

B.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角

C.同位角、對(duì)頂角、同旁?xún)?nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角

7.如圖，NABC與NEAD是同位角;NADB與NDBC,/EAD是內(nèi)錯(cuò)角:NABC與/DAB,NBCD是同旁?xún)?nèi)角.

根據(jù)圖形說(shuō)出下列各對(duì)角是什么位置關(guān)系？

(1)/1和N2；(2)/1和N7：(3)/3和/4；(4)/4和N6；(5)/5和N7.

解：(1)/1和/2是同旁?xún)?nèi)角.

(2)Z1和N7是同位角.

⑶N3和N4是內(nèi)錯(cuò)角.

(4)/4和/6是同旁?xún)?nèi)角.

⑸N5和/7是內(nèi)錯(cuò)角.

5.2平行線及其判定

5.2.1平行線

基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)平行

在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線互相平行.

1.下列說(shuō)法中，正確的是(D)

A.平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條線段平行

B.平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條射線平行

C.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線互相平行

D.互相平行的兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)

2.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有(A)

A.兩種：平行和相交

B.兩種：平行和垂直

C.三種：平行、垂直和相交

D.兩種：相交和垂直

3.在同一平面內(nèi)，直線a與b滿足下列條件，把它們的位置關(guān)系填在后面的橫線上.

(Da與b沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b平行:

(2)a與b有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a與b相交;

(3)a與b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a與b重合.

4.如圖，完成下列各題：

(1)用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫(huà)出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過(guò)C點(diǎn)畫(huà)直線垂直于CD；

(2)用符號(hào)表示上面①、②中的平行、垂直關(guān)系.

解：(1)如圖所示.

⑵EF〃AB,MC±CD.

知識(shí)點(diǎn)2平行公理及其推論

(1)經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行:

(2)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相包」即如果@〃1),b〃c,那么a2c.

5.若直線a〃b,b//c,則a〃c的依據(jù)是(D)

A.平行公理

B.等量代換

C.等式的性質(zhì)

D.平行于同一條直線的兩條直線平行

6.點(diǎn)P,Q都是直線1外的點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(D)

A.連接PQ,則PQ一定與直線1垂直

B.連接PQ,則PQ一定與直線1平行

C.連接PQ,則PQ一定與直線1相交

D.過(guò)點(diǎn)P只能畫(huà)一條直線與直線1平行

7.(2018?黔南期末)如圖，在直線a的同側(cè)有P,Q,R三點(diǎn)，若PQ〃a,QR〃a,則P,Q,R三點(diǎn)是(填“是”或“不

是“)在同一條直線上，理由是經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

a

?P

?Q

?R

8.如圖，P,Q分別是直線EF外兩點(diǎn).

Q

0—P~一口

A——----------H

E------------------F

(1)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)直線AB〃EF,過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)直線CD〃EF；

(2)AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

解：⑴如圖.

⑵AB〃CD.

理由：因?yàn)锳B〃EF,CD〃EF,

所以AB〃CD(平行于同一條直線的兩條直線平行).

中檔題

9.下列說(shuō)法中，正確的有(A)

①過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線平行；

②經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

③如果兩條線段不相交，那么它們就平行；

④如果兩條直線不相交，那么它們就平行.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，在下面的方格紙中，找出互相平行的線段，并用符號(hào)表示出來(lái)：CD〃MN,GH〃PN.

11.如圖所示，直線AB,CD是一條河的兩岸，并且AB〃CD,點(diǎn)E為直線AB,CD外一點(diǎn)，現(xiàn)想過(guò)點(diǎn)E作河岸CD的

平行線，只需過(guò)點(diǎn)E作坦的平行線即可，其理由是平行于同一條直線的兩條直線平行.

「8

CD

12.在同一平面內(nèi)，一條直線和兩條平行線中的一條直線相交，那么這條直線與平行線中的另一條直線必相交.

13.(教材P17習(xí)題T11變式)觀察下圖所示的長(zhǎng)方體，回答下列問(wèn)題.

D.

AB

(D用符號(hào)表示兩棱的位置關(guān)系：AB2AB,AA)±AB,AD^CD,AD^BC；

(2)AB與BC所在的直線不相交，它們不是平行線(填“是”或“不是”).由此可知，在同一平面內(nèi),兩條不相交

的直線才是平行線.

14.如圖所示，在NA0B內(nèi)有一點(diǎn)P.

⑴過(guò)點(diǎn)P畫(huà)L〃0A；

(2)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)k〃0B；

(3)用量角器量一量L與k相交的角與/0的大小有怎樣的關(guān)系.

解：(1)(2)如圖所示.

(3)L與k的夾角有兩個(gè)：Zl,Z2.

量得Nl=/0,Z2+Z0=180°,

所以L與k的夾角與/0相等或互補(bǔ).

15.如圖，射線0A〃CD,射線OB〃CD,ZA0C=1/A0B,求/A0C的度數(shù).

AOB

解：因?yàn)镺A〃CD,OB〃CD,所以A,0,B在同一條直線上.

所以NA0B=180°.

所以NA0C=；NA0B=；X180°=60°.

oo

綜合題

16.利用直尺畫(huà)圖:

(1)利用圖1中的網(wǎng)格，過(guò)P點(diǎn)畫(huà)直線AB的平行線和垂線;

(2)在圖2的網(wǎng)格中畫(huà)一個(gè)四邊形，滿足：①兩組對(duì)邊互相平行；②任意兩個(gè)頂點(diǎn)都不在一條網(wǎng)格線上；③四個(gè)頂

點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

解:⑴如圖所示.CD〃AB,PQ_LAB.

(2)如圖所示，答案不唯一.

5.2.2平行線的判定

基礎(chǔ)題

平行線的判定方法有:

(1)定義：在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線互相平行;

(2)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行;

(3)同位角相等，兩直線平行;

(4)內(nèi)錯(cuò)角相笠，兩直線平行；

(5)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線平行；

(6)同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

C(2D

如圖，直線AB,CD被直線EF所截.

(1)VZ1-Z2,或/5=/工，或/3=/0，或/4=/旦

；.AB〃CD(同位角相等,兩直線平行)；

(2)VZ4=Z2,或N5=/g,

.?.AB〃CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行);

⑶：N4+/6=180°,或/5+么=180°，

；.AB〃CD(同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).

(4)VAB1EF,CDLEF,；.AB〃CD(同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行).

知識(shí)點(diǎn)1同位角相等，兩直線平行

1.(2019?河池)如圖,Nl=120°,要使a〃b,則N2的大小是(D)

A.60°B.80°C.100°D.120°

2.(2017?德州)如圖是利用直尺和三角板過(guò)已知直線1外一點(diǎn)P作直線1的平行線的方法，其理由是同位角相等,

兩直線平行.

3.如圖，Z1=Z2,Z2=ZC,則圖中互相平行的直線有AB〃CD,EF〃CG.

知識(shí)點(diǎn)2內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

4.如圖，能判定EB〃AC的條件是（D）

\八

DBC

A.ZC=ZABEB.ZA=ZEBDC.ZC=ZABCD.ZA=ZABE

5.如圖，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填上正確的理由：

士。

BC

：NDAC=NC（已知），

/.AD//BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

知識(shí)點(diǎn)3同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

6.如圖，己知Nl=70°,要使AB〃CD,則須具備的另一個(gè)條件是（C）

12

TJ

A.Z2=70°B.Z2=100°

C.Z2=110°D.Z3=110°

7.如圖，一個(gè)零件ABCD需要AB邊與CD邊平行，現(xiàn)只有一個(gè)量角器,測(cè)得拐角NABC=120°,ZBCD=60°,這

個(gè)零件合格嗎？線（填“合格”“不合格”).

:

8.如圖,已知NACD=70°,NACB=60°,NABC=50。.試說(shuō)明：AB/7CD.

Dc

AB

解：VZACD=70°,ZACB=60°,

/.ZBCD=130°.

VZABC=50°,

.,.ZBCD+ZABC=180°.

，AB〃CD.

易錯(cuò)點(diǎn)不能準(zhǔn)確識(shí)別截線與被截線，從而誤判兩直線平行

9.(教材P36復(fù)習(xí)題T8(l)變式)如圖，下列能判定AB〃CD的條件有(C)

①NB+NBCD=180°；②/1=N2；@Z3=Z4；?ZB=Z5.

中檔題

10.如圖，在下列條件中，能判斷AD〃BC的是(A)

A.ZDAC=ZBCA

B.ZDCB+ZABC=180°

C.ZABD=ZBDC

D.ZBAC=ZACD

11.如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(C)

A.若@〃1?,b〃c,則a〃c

B.若Nl=/2,則a〃c

C.若N3=N2,則b〃c

D.若N3+N5=180°,則a〃c

12.(2018?湘潭)如圖，點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件，使BC〃AD,則可添加的條件為NA+/ABC

=180°或/C+NADC=180°或/CBD=/ADB或/C=/CDE.(任意添加一個(gè)符合題意的條件即可)

BC

不

ADE

13.如圖，已知ABLBC,BC1CD,N1=N2,試判斷BE與CF的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由.

解：BE/7CF.

理由：VAB±BC,BC_LCD（已知）,

AZABC-ZBCD-900（垂直的定義）.

：N1=N2（已知），

ZABC-Z1=ZBCD-Z2,

即NEBC=/BCF.

；.BE〃CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

14.（教材P36復(fù)習(xí)題T6變式）如圖，AB±AC,N1與NB互余.

（DAD與BC平行嗎？為什么？

（2）若/B=ND,則AB與CD平行嗎？為什么？

解：（1）AD〃BC.理由如下：：AB，AC,

.*.ZBAC=90o.

VZ1與/B互余，

.,.Zl+ZB=90".

.,.Zl+ZBAC+ZB=180°,

即/B+NBAD=180°.

，AD〃BC.

（2）AB〃CD.理由如下:

由（1）可知NB+NBAD=180°.

VZB=ZD,

.,.ZD+ZBAD=180°.

；.AB〃CD.

15.已知，如圖，點(diǎn)B在AC上，BD±BE,Zl+ZC=90°,問(wèn)射線CF與BD平行嗎？試用兩種方法說(shuō)明理由.

解:CF/7BD.

方法一：VBD1BE,

.*.ZDBE=90o.

.,.Zl+Z2=90°.

；N1+NC=9O°,...N2=NC.

.?.CF〃BD（同位角相等，兩直線平行）.

方法二：：BDJ_BE,AZDBE=90°.

VZ1+ZC=9O",

：.ZC+ZDBC=Z1+ZDBE+ZC=900+90°=180°.

.?.CF〃BD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線平行）.

綜合題

16.如圖所示，AB_LBD于點(diǎn)B,CDJ_BD于點(diǎn)D,Nl+N2=180°,試問(wèn)CD與EF平行嗎？為什么？

解：CD〃EF.

理由如下：

VAB1BD,CD1BD,

.?.AB〃CD（垂直于同一條直線的兩直線平行）.

VZ1+Z2=18O°,

...AB〃EF（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

.?.CD〃EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）.

周周練(5.1?5.2)

(時(shí)間:45分鐘滿分：100分)

一、選擇題(每小題4分，共32分)

1.鄰補(bǔ)角是指(D)

A.和為180°的兩個(gè)角

B.有一條公共邊且相等的兩個(gè)角

C.有公共頂點(diǎn)且互補(bǔ)的兩個(gè)角

D.有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角

2.下列各圖中，N1與N2是對(duì)頂角的是(C)

3.如圖，直線AB,CD被EF所截，下列說(shuō)法正確的有(C)

①N3與N5是內(nèi)錯(cuò)角；②N2與N7是同位角；③N4與N5是同旁?xún)?nèi)角；④圖中有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)

同旁?xún)?nèi)角；⑤N1與/7是內(nèi)錯(cuò)角.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(C)

A.兩條直線相交，有一個(gè)角是直角，則兩條直線互相垂直

B.若互為對(duì)頂角的兩角之和為180°,則兩直線互相垂直

C.兩直線相交，所構(gòu)成的四個(gè)角中，若有兩個(gè)角相等，則兩直線互相垂直

D.在同一平面上，過(guò)點(diǎn)A作直線1的垂線，這樣的垂線只有一條

5.如圖，0A±0B,ZB0C=50°,0D平分NA0C,則NBOD的度數(shù)是(A)

B

D

A.20°B.30°C.40°D.50°

6.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(A)

A.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.若a〃b,b〃c,c〃d,則a〃d

D.同一平面內(nèi)，若一條直線與兩平行線中的一條相交，則它和另一條也相交

7.如圖，/ACB=90°,CD1AB,垂足為1),則下面的結(jié)論中，不正確的是(A)

DB

A.點(diǎn)B到AC的距離是線段BC

B.CD和AB互相垂直

C.AC與BC互相垂直

D.線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到BC的距離

8.如圖，下列條件中能判定直線的是(C)

A./1=N2B.Nl=/5

C.Zl+Z3=180°D.Z3=Z5

二、填空題（每小題4分，共24分）

9.如圖，已知Nl+N2=100°,則N3=130°.

10.如圖，已知OALOB,0C10D,/AOC=27°,則/BOD的度數(shù)是153°.

11.如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處(AB_LCD)開(kāi)始挖渠才能使水渠的長(zhǎng)度最短，這樣做依據(jù)的兒

何學(xué)原理是垂線段最短.

CD

A

12.如圖，在同一平面內(nèi)，0A11,0B±l,垂足為0,則0A與0B重合的理由是同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條

直線與已知直線垂直.

A

B

01

13.如圖所示，請(qǐng)你填寫(xiě)一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：答案不唯如：ZFAD=ZFBC,使AD〃BC.

F

14.如圖所示，AB與BC被AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是N1和N3；DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是的2和N4；圖中

Z4的內(nèi)錯(cuò)角是/5和N2.

BD

三、解答題（共44分）

15.（6分）完成下面推理過(guò)程：

如圖，CB平分NACD,N1=N3.試說(shuō)明：AB〃CD.

解：；CB平分NACD,

AZ1=Z2（角平分線的定義）.

；N1=N3,

；.N2=N3.

/.AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

16.（6分）如圖，直線AO,B0交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)P作PCLA0于點(diǎn)C,PD_LB0于點(diǎn)D,畫(huà)出圖形.

解：如圖，作NACP=90°,作NPDB=90°,則直線PC,PD即為所求.

17.（6分）如圖，已知N0EB=130°,ZF0D=25°,OF平分NE0D,試說(shuō)明：AB/7CD.

；0F平分NEOD,ZF0D=25°,

.".ZE0D=2ZF0D=50°.

又；N0EB=130°,

AZ0EB+ZE0D=180°.

???AB〃CD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

18.（8分）如圖，已知直線L,h被直線1所截，Za=105°,NB=75°,Zy=75°,運(yùn)用己知條件，你

能找出哪兩條直線是平行的嗎？若能，請(qǐng)寫(xiě)出理由.

解：h〃12〃13.理由：

VZ1=ZP=75°,Za=105°,

AZa+Z1=18O°.

???L〃12（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

VZP=75°,ZY=75°,

AZP=Zy.

???12〃h（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

???1|〃12〃13（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）.

19.（8分）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)0,0D平分NBOF,0E_LCD于點(diǎn)0,ZA0C=40°,求NE0F的度數(shù).

解：:AB,CD相交于點(diǎn)0,

.,.ZB0D=ZA0C=40°.

V0D平分NB0F,

.\ZD0F=ZB0D=40°.

V0E1CD,

AZE0D=90o.

ZE0F=ZE0D+ZD0F=130°.

20.（10分）如圖,要判定AB〃CD,需要哪些條件？根據(jù)是什么？

AFB

解：①若考慮截線AD,則需ND+NDAB=180°,根據(jù)是同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

②若考慮截線AE,則需/CEA+/EAB=180°,根據(jù)是同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行或/DEA=NEAB,根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角

相等，兩直線平行；

③若考慮截線AC,則需NDCA=NCAB,根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

④若考慮截線FC,則需NDCF+NAFC=180°,根據(jù)是同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行或NDCF=/BFC,根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角

相等，兩直線平行；

⑤若考慮截線BC,則需/DCB+/B=180。，根據(jù)是同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

5.3平行線的性質(zhì)

5.3.1平行線的性質(zhì)

基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1平行線的性質(zhì)

平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1:兩直線平行，同位角相等;

性質(zhì)2：兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)

如圖，直線AB,CD被直線EF所截.

VAB/7CD,

AZ1=Z2,或N5=NZ，或N3=Ng,或N4=Ng（兩直線平行，同位角相等）；

Z4=Z2,或N5=Ng（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）;

N4+N6=180°,或N5+N2=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.

1.（2019?百色）如圖,已知a〃b,Zl=58°,則N2的大小是（C）

B.85°C.58°D.32°

2.(2017?六盤(pán)水)如圖,梯形ABCD中，AB〃CD,ZD=(B)

B.135°C.145°D.155°

3.（2018?銅仁）如圖，已知直線@〃1c〃b,Zl=60°,則N2的度數(shù)是（B）

B.60°C.120°D.61°

4.(2019?新疆)如圖，AB〃CD,ZA=50°,則N1的度數(shù)是(C)

AB

A.40°B.50°C.130°D.150°

5.(2018?黔西南)如圖，已知AD〃BC,/B=30°,DB平分NADE,則NDEC=(B)

A.30°B.60°C.90°D.120°

6.如圖，EF〃BC,AC平分/BAF,NB=80°.求NC的度數(shù).

解：；EF〃BC,

.,.ZBAF+ZB=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.

；/B=80°,；./BAF=100°.

；AC平分NBAF,

.".ZCAF=|zBAF=50°.

VEF/7BC,

；.NC=NCAF=50°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

知識(shí)點(diǎn)2平行線性質(zhì)的應(yīng)用

7.某商品的商標(biāo)可以抽象為如圖所示的三條線段，若AB〃CD,ZEAB=45°,則/FDC的度數(shù)是（B）

E

°F

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.一只因損壞而傾斜的椅子，從背后看到的形狀如圖所示,其中兩組對(duì)邊的平行關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化.若Nl=76°,

則N2的大小是（C）

匚1

A.76°B.86°C.104°D.114°

9.（教材P19例1變式）如圖，某次考古發(fā)掘出的一個(gè)梯形殘缺玉片，工作人員從玉片上量得NA=115°,ND=100°,

已知梯形的兩底邊AD〃BC,請(qǐng)你幫助工作人員求出另外兩個(gè)角的度數(shù)，并說(shuō)明理由.

解：：AD〃BC,ZA=115°,ZD=100°,

；.NB=180°-NA=180°-115°=65°,

ZC=1800-ND=180°-100°=80°.

易錯(cuò)點(diǎn)誤用平行線的性質(zhì)

10.已知N1與N2是同旁?xún)?nèi)角，若Nl=60°,則N2的度數(shù)是(D)

A.60°B.120°

C.60°或120°D.不能確定

中檔題

11.(2018?棗莊)已知直線m〃n,將一塊含30°角的直角板ABC按如圖方式放置(/ABC=30°),其中A,B兩點(diǎn)

分別落在直線ni,n上.若Nl=20°,則N2的度數(shù)為(D)

A

B

A.20°B.30°C.45°D.50°

12.(2019?遵義)如圖，Zl+Z2=180°,Z3=104°,則N4的度數(shù)是(B)

A.74°B.76°C.84°D.86°

13.(2018?遵義桐梓縣期末)如圖，小瑤從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處,又沿北偏西20。方向行走至C

處，則NABC的度數(shù)是(C)

A

A.80°B.90°C.100°D.95°

14.(2018?遵義桐梓縣期末)如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D,C分別落在D',C'的位置.若NEFB

=65°,則NAED'等于(A)

A.50°B.55°

15.（2019?黔東南期末）如圖，AD,BE相交于點(diǎn)C,AB〃ED,NA=NDCF.若NB=50°,ZD=20°,則NDCB的度

數(shù)為(C)

A.20°B.50°

16.(2019?武漢)如圖，點(diǎn)A,B,C,D在一條直線上，CE與BF交于點(diǎn)G,ZA=Z1,CE〃DF,試說(shuō)明：ZE=Z

F.

解：VZA=Z1,

???AE〃BF.

AZE=Z2.

VCE/7DF,

.-.Z2=ZF,

AZE=ZF.

17.如圖，已知AB〃DE〃CF,若NABC=70°,ZCDE=130°,求/BCD的度數(shù).

月3

DE

C/

解：VAB/7CF,ZABC=70°,

.?.NBCF=NABC=70°（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）.

XVDE/7CF,NCDE=130°,

.,.ZDCF+ZCDE=180°（兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.

.".ZDCF=50°.

AZBCD=ZBCF-ZDCF=70°-50°=20°.

綜合題

18.（2018?黔西南興義市期中）如圖，已知N1=N2,ZGFA=40°,ZHAQ=15°,/ACB=7O°,AQ平分NFAC,

探索直線BD,GE,AH之間的位置關(guān)系.

FD

BC

解：VZ1=Z2,

AAH//GE.

.\ZFAH=ZGFA=40o.

AZFAQ=ZFAH+ZHAQ=400+15°=55°.

又YAQ平分NFAC,

AZQAC=ZFAQ=55°.

AZIIAC=ZQAC+ZHAQ=55°+15°=70°.

AZHAC=ZACB.

ABD/7AH.

???BD〃GE〃AH.

小專(zhuān)題（一）平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題

模型1M型

【例1】如圖，已知AB〃CD,則NB,ZBED,ND之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】由已知條件知，AB/7CD,但圖形中沒(méi)有截這兩條平行線的第三條直線，因而不能直接用平行線的性

質(zhì)解決.為此可構(gòu)造第三條直線，即過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,于是BE,DE就可以作為第三條直線了.

【解答】ZBED=ZB+ZD.

理由：過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,則EF〃CD.

；./B=NBEF,ZD=ZDEF.

NBED=ZBEF+NDEF=ZB+ZD.

變式當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到平行線的外側(cè)

1.已知AB〃CD,點(diǎn)E為AB,CD之外任意一點(diǎn).

(1)如圖1,探究/BED與/B,ND的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

⑵如圖2,探究/CDE與NB,NBED的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,則AB〃CD〃EF.

；./BEF=/B,ZD=ZDEF.

VZBEF=ZBED+ZDEF,

AZB=ZBED+ZD.

(2)ZCDE=ZB+ZBED.理由如下：

過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,則AB〃CD〃EF.

，NB+/BEF=180°,/CDE+/DEF=180°.

又ZDEF=/BEF—NBED，

：.ZCDE+ZBEF-ZBED=ZB+ZBEF,

g[JZCDE=ZB+ZBED.

拓展平行線間有多個(gè)拐點(diǎn)

2.(1)如圖1中，AB〃CD,則/E+/G與/B+/F+/D有何關(guān)系？

⑵在圖2中，若AB〃CD,又能得到什么結(jié)論？

解：(1)/BEF+NFGD=/B+NEFG+ND.

理由：過(guò)點(diǎn)E,F,G分別作訓(xùn)〃AB,FN〃AB,GH〃AB,

由AB/7CD,得AB〃EM〃FN〃GH〃CD.

.\ZBEM=ZB,ZMEF=ZEFN,ZNFG=ZFGH,ZHGD=ZD.

，ZBEF+ZFGD=ZBEM+ZMEF+ZFGH+Z11GD=ZB+ZEFN+ZNFG+ZD=ZB+ZEFG+ZD.

⑵在圖2中，有NE1+NE2+NE3+…+NEn=NB+NFi+NF2+”?+/Fn-i+ND.

如果出現(xiàn)多個(gè)拐點(diǎn)時(shí)，可以作多條平行線，從而將多拐點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題來(lái)處理.M型最終的結(jié)論為：朝

左的角之和等于朝右的角之和.

模型2鉛筆型

【例2】如圖，直線AB〃CD,ZB,ZBED,ND之間有什么關(guān)系呢？為什么？

【解答】ZB+ZBED+ZD=360°.

理由：過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB.

VAB/7CD,

；.AB〃CD〃EF.

...NB+NBEF=180°,ZD+ZDEF=180°.

AZB+ZBEF+ZD+ZDEF=360°,

即/B+/BED+ND=360°.

拓展平行線間有多個(gè)拐點(diǎn)

3.3)①如圖1,M〃NAz,則NAI+NA2=180度: