第9章金融衍生工具定價(jià)理論已完成

第9章金融衍生工具定價(jià)理論【考試要求】9.1未定權(quán)益定價(jià)的一般原理

占優(yōu)策略、套利機(jī)會(huì)與風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度市場(chǎng)的完全性與未定權(quán)益的定價(jià)9.2二叉樹模型

單期二叉樹模型單期二叉樹模型下衍生品的定價(jià)公式多期二叉樹模型CRR模型9.3Black-Scholes模型

Black-Scholes微分方程的推導(dǎo)基于鞅方法的Black-Scholes公式“希臘字母”及其意義精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)【要點(diǎn)詳解】§9.1未定權(quán)益定價(jià)的一般原理

1．占優(yōu)策略、套利機(jī)會(huì)與風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度（1）一般的單期市場(chǎng)模型

模型僅涉及兩個(gè)時(shí)刻：0時(shí)刻（即當(dāng)前時(shí)刻，此時(shí)金融資產(chǎn)的價(jià)格是確定的）、1時(shí)刻（即未來某個(gè)時(shí)刻，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而言，其價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量）。假定1時(shí)刻市場(chǎng)的狀態(tài)空間為：其中代表未來市場(chǎng)可能出現(xiàn)的一種狀態(tài)。在上存在客觀的概率測(cè)度P，滿足假設(shè)市場(chǎng)上存在N個(gè)基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么交易者在資產(chǎn)組合策略下的成本為：其中表示N個(gè)基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在0時(shí)刻的價(jià)格向量；，代表交易者持有資產(chǎn)i的數(shù)量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

N個(gè)資產(chǎn)在1時(shí)刻的支付矩陣用D表示：其中dij表示第i個(gè)證券在狀態(tài)下的支付額。從而在1時(shí)刻資產(chǎn)組合的市值可以表示為：其第j個(gè)分量表示1時(shí)刻出現(xiàn)狀態(tài)時(shí)資產(chǎn)組合的市值，用表示。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

（2）占優(yōu)策略、套利機(jī)會(huì)

若存在另一個(gè)策略，使得且對(duì)任意的，成立，則稱策略是一個(gè)占優(yōu)策略。一個(gè)套利機(jī)會(huì)是指滿足下列兩個(gè)條件之一的策略：

或根據(jù)占優(yōu)策略以及套利機(jī)會(huì)的定義可知：如果市場(chǎng)存在一個(gè)占優(yōu)策略，那么市場(chǎng)一定存在套利機(jī)會(huì)。

命題9-1：如果市場(chǎng)是無套利的，則市場(chǎng)不存在占優(yōu)策略。

此命題反過來的結(jié)論是不成立的，即市場(chǎng)不存在占優(yōu)策略但卻可能存在套利機(jī)會(huì)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

（3）市場(chǎng)無套利條件

稱資產(chǎn)組合為Arrow-Debreu證券，若在1時(shí)刻市場(chǎng)出現(xiàn)狀態(tài)i時(shí)，組合的支付額為1單位；當(dāng)出現(xiàn)狀態(tài)j時(shí)，組合的支付額為0。稱（）為狀態(tài)價(jià)格向量，如果滿足：或者，其中。一般而言，市場(chǎng)不一定存在Arrow-Debreu證券和狀態(tài)價(jià)格向量；若兩者都存在，則第i個(gè)Arrow-Debreu證券的成本為：

資產(chǎn)定價(jià)第一基本定理：市場(chǎng)無套利?市場(chǎng)存在狀態(tài)價(jià)格向量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（4）風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度

令，可以將視為無風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格。在單期市場(chǎng)模型中，若假定存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則其0時(shí)刻的價(jià)格為，即，其中r為無風(fēng)險(xiǎn)收益率。定義一個(gè)上新的概率測(cè)度Q：令，也即對(duì)應(yīng)了Q在每個(gè)樣本點(diǎn)上的概率值。Q與已存在的客觀概率測(cè)度P不同，它是主觀的。二者的關(guān)系是：Q等價(jià)于P。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)根據(jù)狀態(tài)價(jià)格向量的定義可以得到等式：若用表示測(cè)度Q下的期望，則有：如果市場(chǎng)存在無風(fēng)險(xiǎn)收益率r，上式可寫為：至此可以看出：測(cè)度Q是風(fēng)險(xiǎn)中性投資者對(duì)市場(chǎng)狀態(tài)空間給出的概率測(cè)度，稱Q為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度，資產(chǎn)定價(jià)第一基本定理可寫為：市場(chǎng)無套利市場(chǎng)存在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．市場(chǎng)的完全性與未定權(quán)益的定價(jià)

稱上的隨機(jī)變量為未定權(quán)益。以下假定市場(chǎng)存在無風(fēng)險(xiǎn)收益率r。稱一個(gè)未定權(quán)益X是可復(fù)制的，如果存在一個(gè)由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合，使得該組合l時(shí)刻的收益與X相同。由于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都有期初價(jià)格，因此可復(fù)制的未定權(quán)益是可定價(jià)的。如果所有的未定權(quán)益都是可復(fù)制的，則稱市場(chǎng)是完全的。對(duì)單期市場(chǎng)模型，選取獨(dú)立的n個(gè)未定權(quán)益。市場(chǎng)完全意味著對(duì)任意的都存在復(fù)制策略，成立：這等價(jià)于且矩陣D的秩等于n。從而有如下結(jié)論：

單期市場(chǎng)模型是完全的且矩陣D的秩等于n

如果不同的復(fù)制策略的期初成本不等，不妨設(shè)

則是一個(gè)套利組合，這與市場(chǎng)無套利的假設(shè)矛盾。因此未定權(quán)益有唯一的期初價(jià)格。由于未定權(quán)益的全體就是上隨機(jī)變量構(gòu)成的線性空間，因此對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q和Q’，都有

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)由于在無套利市場(chǎng)中無風(fēng)險(xiǎn)收益率r是唯一的，所以。也即證明了如下的定理：

資產(chǎn)定價(jià)第二基本定理：完全的無套利市場(chǎng)存在唯一的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度。資產(chǎn)第一和第二基本定理是資產(chǎn)定價(jià)理論的基礎(chǔ)，它提供了一個(gè)市場(chǎng)的框架（完全、無套利）；在這一框架下，資產(chǎn)的期初價(jià)格是存在且唯一的。

假定市場(chǎng)是完全且無套利的，此時(shí)任意的未定權(quán)益X的價(jià)格為：借助條件期望的概念和性質(zhì)，可以將上式推廣到多期和連續(xù)的情形，其表達(dá)式分別為：這兩個(gè)等式中貼現(xiàn)的未定權(quán)益的價(jià)格過程是一個(gè)Q鞅，因此Q也稱為等價(jià)鞅測(cè)度（“等價(jià)”的含義是Q與客觀概率測(cè)度P等價(jià)）。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§9.2二叉樹模型1．單期二叉樹模型

在單期二叉樹模型中市場(chǎng)僅存在兩個(gè)基礎(chǔ)資產(chǎn)：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。1時(shí)刻的分別代表l時(shí)刻基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格上升和下降的比例，且。假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)收益率r滿足：顯然，當(dāng)二叉樹模型無套利時(shí)，上式一定成立。

（1）基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程

假定基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是股票，其0、1時(shí)刻的價(jià)格如圖9-1所示。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

（2）債券的價(jià)格過程

假定市場(chǎng)中無風(fēng)險(xiǎn)債券的收益率為r

。0時(shí)刻的面值為1的債券在1時(shí)刻的價(jià)格為er。假設(shè)市場(chǎng)上還有一個(gè)在0時(shí)刻簽訂的價(jià)格為C0、l時(shí)刻到期的未定權(quán)益（即衍生品），其價(jià)值依賴于股票價(jià)格的變化：在1時(shí)刻，股票價(jià)格上升時(shí)其價(jià)格為Cu，股票價(jià)格下降時(shí)其價(jià)格為Cd。一旦確定了衍生品的含義，就可以知道其在1時(shí)刻的支付。例如：若未定權(quán)益為執(zhí)行價(jià)格為K的看漲期權(quán)，則1時(shí)刻的支付為：

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2．單期二叉樹模型下衍生品的定價(jià)公式

考慮一個(gè)股票與債券的資產(chǎn)組合，即在0時(shí)刻持有單位的股票和單位的債券。構(gòu)建衍生品的復(fù)制策略，即下面的方程組成立：解得：由無套利假設(shè)該組合在0時(shí)刻的成本即為衍生品在0時(shí)刻的價(jià)格：(9.1)

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)二叉樹模型的性質(zhì)：首先，由式（9.1）可知二叉樹模型是完全的。此外還可以證明在d<er<u的條件下，它也是無套利的。根據(jù)資產(chǎn)定價(jià)第一基本定理，只需證明存在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q即可。將等式改寫為：由式d<er<u可知，和都大于0，且二者之和為1；因此可以定義：則式（9.1）又可寫為：因此Q為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度，從而市場(chǎng)是無套利的。這樣我們證明了式d<er<u等價(jià)于市場(chǎng)無套利。因此，d<er<u也被稱為無套利條件。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題9.1】假設(shè)市場(chǎng)存在一種無風(fēng)險(xiǎn)債券和一種股票。股票的初始價(jià)格為l，無風(fēng)險(xiǎn)利率為0。在下一個(gè)時(shí)段末，股票的價(jià)格變?yōu)?或者0.5。如果一個(gè)衍生品規(guī)定當(dāng)股價(jià)上升時(shí)支付1，股價(jià)下降不進(jìn)行支付。利用單期的二叉樹模型計(jì)算該衍生品的價(jià)格。

解：根據(jù)題意可得債券價(jià)格、股票價(jià)格、衍生品價(jià)格的過程如圖9-4所示。其中X代表衍生品1時(shí)刻的支付。構(gòu)建0時(shí)刻的復(fù)制策略，則滿足：因此該衍生品的期初價(jià)格為：

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3．多期二叉樹模型在多期二叉樹模型中，市場(chǎng)仍然只有兩種基礎(chǔ)資產(chǎn)：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。兩個(gè)資產(chǎn)可以在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處（見圖9-5）進(jìn)行交易。除此之外，仍假設(shè)市場(chǎng)是理想化的。

（1）基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程。假定基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是股票。假設(shè)市場(chǎng)有n+1個(gè)可交易的時(shí)間點(diǎn)0,1,…，j，…，n股價(jià)從i時(shí)到i+1時(shí)點(diǎn)的變化過程服從單期二叉樹模型，即股價(jià)過程可以用圖9-5描述。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)從圖9-5可以看出，i時(shí)刻有2i種可能的股價(jià)。從時(shí)刻i-1到時(shí)刻i的股價(jià)只有兩種變化：從節(jié)點(diǎn)j開始，下降至節(jié)點(diǎn)2j或者上升至節(jié)點(diǎn)2j+1。

（2）無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程

假設(shè)第i期的無風(fēng)險(xiǎn)利率為ri，同樣時(shí)刻到期的衍生品的價(jià)格也有種情況，與股價(jià)過程有所不同的是，每個(gè)ri在i-1時(shí)刻就是已知的，而Si只有在i時(shí)刻才是已知的。

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（3）多期二叉樹模型下衍生品定價(jià)

在n期二叉樹模型中，n時(shí)刻。每個(gè)對(duì)應(yīng)了價(jià)格樹上的一條路徑。當(dāng)僅考慮0時(shí)刻和n時(shí)刻時(shí)，為保證市場(chǎng)的完全性，須假定市場(chǎng)至少有2n個(gè)基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；當(dāng)n很大時(shí)這個(gè)假定過強(qiáng)。同樣這里衍生品的定價(jià)原理也是采用復(fù)制的方法。并用倒推的方法求解復(fù)制資產(chǎn)組合。根據(jù)基礎(chǔ)資產(chǎn)在n時(shí)刻的2n個(gè)可能值寫出衍生品的2n種可能值。利用單期模型的公式可以計(jì)算n-1時(shí)刻的2n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)處衍生品的價(jià)格。以此類推直到0時(shí)刻，即得衍生品的期初價(jià)格。在整個(gè)過程中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處都沒有資金的注入和撤出。假設(shè)在i-1時(shí)的j節(jié)點(diǎn)處構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)組合，即持有單位的股票和單位的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則當(dāng)股價(jià)上升時(shí)，當(dāng)股價(jià)下降時(shí)，解得：由此可以推出風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下股價(jià)上升的概率為：則衍生品的價(jià)格在該節(jié)點(diǎn)的價(jià)格為：

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【例題9.2】已知股票的價(jià)格過程滿足下列二叉樹模型，即圖9-7。已知每個(gè)時(shí)間區(qū)間上的連續(xù)復(fù)利率均為5％，試計(jì)算執(zhí)行價(jià)格為45的歐式看漲期權(quán)0時(shí)刻的價(jià)格。解：根據(jù)題中的條件，可以寫出衍生品的價(jià)格過程圖9-8。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)首先考慮l時(shí)刻到2時(shí)刻的時(shí)間區(qū)間。先計(jì)算V（1）。在該節(jié)點(diǎn)上風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下股價(jià)上升的概率為：顯然V（2）=0。其次考慮時(shí)刻0到時(shí)刻1的時(shí)間區(qū)間。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，股價(jià)上升的概率為：因此0時(shí)刻該標(biāo)準(zhǔn)歐式買權(quán)的價(jià)格為：精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

４．CRR模型Cox-Ross-Rubinstein給出了一種特殊的二叉樹模型：股價(jià)上升的比例和下降的比例不隨時(shí)間的變化而變化，如圖9-9所示。此模型下，i時(shí)的股價(jià)為：其中Ni是一隨機(jī)變量，表示0時(shí)刻到i時(shí)刻股價(jià)上升的步數(shù)。這就意味著在n時(shí)刻股價(jià)有n+1種狀態(tài)而不是之前的2n種。CRR模型假設(shè)了衍生品到期時(shí)的支付僅僅依賴于股價(jià)上升和下降的步數(shù)，而不依賴于股價(jià)上升或下降的順序。設(shè)到期時(shí)衍生品的支付為cn。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)Cox，Ross，Rubinstein根據(jù)多期二叉樹模型推導(dǎo)出了衍生品的一般定價(jià)公式，即其中

cn（i）為衍生品n時(shí)刻的價(jià)格，且在前面的n期有i次上升。由于達(dá)到cn（i）的每條路徑在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的概率均為qi（1-q）n-I,其數(shù)目為，所以將所有的cn（i）乘以再相加即得EQ（cn），貼現(xiàn)即為c0。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題9.3】一個(gè)期權(quán)價(jià)格的二叉樹模型如下圖：如果模型中上升、下降的比例不隨時(shí)間的變化而變化，市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利為5%，則C0值為（）。[2011年春季真題]A．2.06B．2.19C．2.39D．2.58E．2.86

【答案】B

【解析】設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升的概率為q，于是由得。于是

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)§9.3Black-Scholes模型

Black-Scholes是一個(gè)連續(xù)時(shí)間衍生品的定價(jià)模型。該模型建立在對(duì)市場(chǎng)的下列假設(shè)之上：①基礎(chǔ)資產(chǎn)不支付紅利，且其價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程：（9.2）其中為常數(shù)。以下均假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)為股票。②市場(chǎng)是完全的，即所有未定權(quán)益都是可復(fù)制的。③市場(chǎng)是無套利的。④無風(fēng)險(xiǎn)利率r是一個(gè)常數(shù)，且任何期限的借貸利率都相等。⑤可以無限制的賣空。⑥市場(chǎng)無摩擦，即無稅收成本、無交易成本。⑦基礎(chǔ)資產(chǎn)可以以任何數(shù)量在任何連續(xù)的時(shí)間交易。根據(jù)以上的假設(shè)可以推導(dǎo)出衍生品價(jià)格滿足的偏微分方程——Black-Scholes微分方程，結(jié)合邊界條件就可以求出衍生品的價(jià)格。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

1．Black—Scholes微分方程的推導(dǎo)

（１）Black-Scholes微分方程假設(shè)衍生品的期限為T，f（t，St）表示衍生品t時(shí)刻的價(jià)格。假設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，因此f（t，St）滿足引理的條件，從而有：（9.3）構(gòu)建一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合以消去dWt項(xiàng)?？紤]下面一種構(gòu)建方法，即持有：－l單位的衍生品，單位的股票。則t時(shí)刻組合的價(jià)格為：對(duì)該資產(chǎn)組合求微分整理得到：從上式可以看出，組合價(jià)格的變化僅與時(shí)間有關(guān)，與市場(chǎng)的狀態(tài)無關(guān)，因此是無風(fēng)險(xiǎn)組合。故從而有：（9.4）此等式即為Black—Scholes微分方程。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）關(guān)于Black—Scholes微分方程及其推導(dǎo)的幾點(diǎn)說明①將式差分，得到：所以基于t刻的信息集Ft對(duì)上式兩邊求條件期望可得：所以的含義是股票的連續(xù)收益率。同理求△st基于Ft的條件方差可得：所以的含義是收益率的（瞬時(shí)）標(biāo)準(zhǔn)差。分別度量了股票的收益和風(fēng)險(xiǎn)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)②方程并未涉及衍生品的具體類型，因而式適用于所有的衍生品。衍生品的類型一般決定了微分方程滿足的邊界條件。例如歐式看漲期權(quán)滿足的邊界條件為：解Black—Scholes微分方程就得到標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價(jià)格：其中

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)③組合是動(dòng)態(tài)的。由的定義可以看出，的價(jià)格是隨時(shí)間變化的，組合中的系數(shù)也是隨時(shí)間變化的，這表明套期保值是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。④衍生品的價(jià)格過程與基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格過程緊密相關(guān)。在一定的假設(shè)條件下二者都可以用隨機(jī)微分方程描述，引理正是聯(lián)系二者的橋梁。⑤一般而言，偏微分方程的求解是非常困難的，甚至?xí)霈F(xiàn)沒有解析解的情況。因此，金融數(shù)學(xué)中更為常用的衍生品定價(jià)方法是鞅定價(jià)法。⑥假設(shè)式只涉及一個(gè)dWt項(xiàng)，這表明市場(chǎng)是由一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的，也就是說市場(chǎng)只有一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)源”。如果衍生品涉及多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，如隨機(jī)利率的股票期權(quán)的定價(jià)中涉及到兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，需要用dW1t和dW2t，描述其對(duì)價(jià)格的影響。這樣的模型稱為雙因素模型。衍生品價(jià)格滿足的微分方程的推導(dǎo)中將用到二維的引理，但推導(dǎo)的思路與單因素的情形相同。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)⑦如果基礎(chǔ)資產(chǎn)支付紅利，其價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程變?yōu)椋侯愃频?，可以推?dǎo)出衍生品價(jià)格滿足的微分方程：其中q為股票的紅利率。⑧方程和是基于對(duì)衍生品價(jià)格不同的理解得到的。前者是將它理解為一個(gè)與股票價(jià)格過程相關(guān)的隨機(jī)過程，后者則是將它理解為一個(gè)股票價(jià)格和時(shí)間的二元函數(shù)。

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【例題9.4】一個(gè)一年期歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)為一只公開交易的普通股票，已知：a．股票現(xiàn)價(jià)為122元b．股票年收益率標(biāo)準(zhǔn)差為0.2c．ln（股票現(xiàn)價(jià)/執(zhí)行價(jià)現(xiàn)價(jià)）=0.2利用Black-scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算該期權(quán)的價(jià)格（）。[2011年春季真題]A．18B．20C．22D．24E．26

【答案】D

【解析】利用Black?scholes期權(quán)定價(jià)公式可得：由得：。于是

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2．基于鞅方法的Black—Scholes公式

在Black—Scholes模型的假設(shè)下，市場(chǎng)存在唯一的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q，且T時(shí)刻到期的衍生品在t時(shí)刻的價(jià)格可以表示為：這里XT是在衍生品到期時(shí)的支付額。下面分5個(gè)步驟證明這一結(jié)論。（1）建立貼現(xiàn)的基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格過程：通過Girsanov定理找到風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q，使得Dt是一個(gè)Q鞅。通過求解可得客觀概率測(cè)度下：所以由Girsanov定理，我們可以找到概率測(cè)度Q使得：其中是一個(gè)Q標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且即表明Dt是一個(gè)Q鞅。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）定義過程：（3）定義過程Et：由條件期望的塔性質(zhì)可知Et是一個(gè)Q鞅。（4）由鞅表示定理可知，存在一個(gè)Ft可料過程（稱是Ft可料過程，如果可測(cè)的，其中使得：（5）設(shè)：因此如果在t時(shí)刻持有單位的基礎(chǔ)資產(chǎn)和單位的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（其價(jià)格為），則t時(shí)刻組合的價(jià)格為：并且所以該策略是自融資的，其資產(chǎn)組合在t時(shí)刻的價(jià)格等于衍生品t時(shí)刻的價(jià)格，即：（9.4）精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)步驟2中未采用Xt而采用了符號(hào)Vt，事實(shí)上Vt=Xt。這樣做是想明確Vt是一個(gè)復(fù)制組合的價(jià)格，而不是衍生品本身，盡管二者的價(jià)格是相等的。對(duì)歐式看漲期權(quán)式可寫為：不失一般性，求解c0。因ST在Q下服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布因此在Q下服從正態(tài)分布設(shè)事件，則其中IA為A的示性函數(shù)?？梢钥闯觯狈椒▽⑶懊媲蠼釨lack—Scholes微分方程的復(fù)雜過程變?yōu)檩^為簡(jiǎn)單的求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

3．“希臘字母”及其意義

希臘字母是衍生品的常用避險(xiǎn)參數(shù)的總稱。這些避險(xiǎn)參數(shù)度量了衍生品價(jià)格對(duì)各變量的敏感性。（1）△。對(duì)于任意衍生品，△的定義為：其中f為衍生品的價(jià)格。

命題9-1：對(duì)于歐式看漲期權(quán)，

△是對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格敏感性的度量,度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)對(duì)衍生品價(jià)格的影響。基礎(chǔ)資產(chǎn)本身的△=1?！?0為△中立狀態(tài)，通過調(diào)整資產(chǎn)組合中各單一資產(chǎn)的權(quán)重，可能達(dá)到各單一資產(chǎn)按投資比例加權(quán)的△值為0?！髦辛顟B(tài)是風(fēng)險(xiǎn)管理者消除基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的最佳狀態(tài)。（2）。對(duì)于任意衍生品，的定義為：對(duì)于歐式看漲期權(quán)，度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變化對(duì)△的影響，即度量了衍生品價(jià)格與基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格之間的凹凸性。給出了如何重新回到△中立狀態(tài)的方法。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（3）v。對(duì)于任意衍生品，v的定義為：對(duì)于歐式看漲期權(quán)，

v度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性的變化對(duì)衍生品價(jià)格的影響。v較小意味著資產(chǎn)組合的價(jià)格對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的變化不敏感，沒有必要花費(fèi)較大的成本獲得波動(dòng)率的準(zhǔn)確值；反之，若v較大，則有必要獲得較準(zhǔn)確的信息。通常情況下，波動(dòng)率是基于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)估計(jì)出來的，這樣得到的稱為歷史的波動(dòng)率。另一種獲得的方法是基于某個(gè)定價(jià)公式，如Black—Scholes期權(quán)定價(jià)公式，將被定價(jià)的價(jià)格用其市場(chǎng)價(jià)格代替，反解出；這樣得到的稱為隱含的波動(dòng)率。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（4）。對(duì)于任意衍生品，的定義為：對(duì)于歐式看漲期權(quán)度量了無風(fēng)險(xiǎn)利率的變化對(duì)衍生品價(jià)格的影響。（5）。對(duì)于任何衍生品，的定義為：對(duì)于歐式看漲期權(quán)，是衍生品時(shí)間價(jià)值變化的度量參數(shù)，它度量了時(shí)間的推移對(duì)衍生品價(jià)格的影響。將上面的五個(gè)希臘字母結(jié)合在下面的等式中：此式是f對(duì)S、、r、t的全微分，這個(gè)表達(dá)式度量了S、、r、t同時(shí)變化時(shí)