人教版高二第二學(xué)期理科數(shù)學(xué)期中考試試卷

人教版高二第二學(xué)期理科數(shù)學(xué)期中考試試卷（試卷共150分，時(shí)間120分鐘）一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的)。1．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝（）。A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1－2i)的點(diǎn)位于（）。A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．命題“?x∈R，eq\f(1,x)<x”的否定是（）。A．?x?R，eq\f(1,x)<xB．?x∈R，eq\f(1,x)≥xC．?x0?R，eq\f(1,x0)<x0D．?x0∈R，eq\f(1,x0)≥x04．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝（）。A．6B．5C．4D．35．(x－y)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第r項(xiàng)的系數(shù)是()A．Ceq\o\al(r,n)B．Ceq\o\al(r＋1,n)C．Ceq\o\al(r－1,n)D．(－1)r－1Ceq\o\al(r－1,n)6.在等差數(shù)列{an}中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝（）。A．58B．88C．143D．1767.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如右圖所示，則該幾何體的體積為（）。A．2π＋4B．2π＋8C．4π＋4D．4π＋88．閱讀如圖的程序框圖，若輸入x＝2，則輸出的y值為（）。A．0B．1C．2D．39．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)10．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為（）。A.eq\f(2π,5)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(π,2)11．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的面積為（）。A．eq\f(21,2) B．eq\f(21,4)C．eq\f(21,8) D．2112．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）。A．[－3,0) B．(－3,0)C．[－5,0) D．(－5,0)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)。13．。14．已知x，y滿足，則z＝2x＋y的最大值是。15．二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))，二維測(cè)度(面積)；觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)，三維測(cè)度(體積)，觀察發(fā)現(xiàn)，則四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四維測(cè)度＝。16．如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè)。三、解答題(本大題共6個(gè)小題，第17題為10分；第28題~22題每題為12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)。17．（共10分）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2a·sinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.求角A的大小。18．（共12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，。(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列前項(xiàng)和。19．（共12分）在1，2，3，…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù)．(1)求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的概率；(2)設(shè)X為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)X的值是2)．求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)．20．（共12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽(yáng)馬P—ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.(1)證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說(shuō)明理由．(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求eq\f(DC,BC)的值。21．（共12分）如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)G(p,0)作直線l交拋物線C于A，M兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，M(x2，y2)．(1)若y1y2＝－8，求拋物線C的方程；(2)若直線AF與x軸不垂直，直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B，直線BG交拋物線C于另一點(diǎn)N.求證：直線AB與直線MN斜率之比為定值．22．（共12分）已知函數(shù)f(x)＝alnx(a＞0)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若過(guò)點(diǎn)A(2，f(2))的切線斜率為2，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)x＞0時(shí)，求證：．參考答案（試卷共150分，時(shí)間120分鐘）一、選擇題CADCDCBBDBAA1.解析：選C∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}，故選C.2.解析：選A復(fù)數(shù)i(1－2i)＝2＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，1)，位于第一象限．3.解析：選D∵命題“?x∈R，eq\f(1,x)<x”是全稱命題，∴命題“?x∈R，eq\f(1,x)<x”的否定是“?x0∈R，eq\f(1,x0)≥x0”．4.解析：選C8a－b＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)，所以(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得x＝4.5.解析：選D本題中由于y的系數(shù)為－1，故其第r項(xiàng)的系數(shù)為(－1)r－1Ceq\o\al(r－1,n).6.解析：選C∵a4＋a8＝26，∴a6＝13，∴S11＝11a6＝143.7.解析：選B由三視圖知該幾何體的上面是一個(gè)半圓柱，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，則由三視圖的尺寸知該幾何體的體積為V＝1×2×4＋eq\f(1,2)×π×12×4＝8＋2π.8.解析：選B∵2>0，∴y＝2×2－3＝1.9.解析：選D函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，得當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.10.解析：選B由圖象可知f(x)＝－x2＋1，所以11.解析：選A依題意得，|F1F2|＝2eq\r(16－7)＝6，因此△ABF2的面積等于eq\f(1,2)|AB|×|F1F2|＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×6＝eq\f(21,2).12.解析：選A由題意，，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2,0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示，令得，x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，解得，故選A.二、填空題13．1解析：14．315．解析：∵，∴.16．12解析：：當(dāng)相同的數(shù)字不是1時(shí)，有個(gè)；當(dāng)相同的數(shù)字是1時(shí)，共有個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有“好數(shù)”個(gè)．三、解答題17．（共10分）解：(1)∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，∴2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴∠A＝60°.18．（共12分）解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由條件，得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3d＋2q3＝27，,8＋6d－2q3＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝2.))所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.(2)證明：由(1)，得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝eq\f(6×（1－2n）,1－2)－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，所以Tn＝(3n－4)×2n＋1+819．（共12分）解：(1)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是奇數(shù)”為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,14).(2)隨機(jī)變量X的取值為0，1，2.X的分布列為X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).20．（共12分）解：(1)法一：證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC.而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.法二：證明：如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ(λ＞0)，則D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(λ，1，0)，C(0，1，0)，＝(λ，1，－1)，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，于是＝0，所以PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.因?yàn)椋?0，1，－1)，所以＝0，所以DE⊥PC，而PB∩PC＝P，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.(2)由PD⊥平面ABCD，所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一個(gè)法向量．由(1)知，PB⊥平面DEF，所以＝(－λ，－1，1)是平面DEF的一個(gè)法向量．若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為eq\f(π,3)，結(jié)合λ＞0，解得λ＝eq\r(2)，所以eq\f(DC,BC)＝eq\f(1,λ)＝eq\f(\r(2),2).故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為eq\f(π,3)時(shí)，eq\f(DC,BC)＝eq\f(\r(2),2).21．（共12分）解：(1)設(shè)直線AM的方程為x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，則y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴拋物線C的方程為y2＝4x.(2)證明：設(shè)B(x3，y3)，N(x4，y4)．由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.又直線AB的斜率kAB＝eq\f(y3－y1,x3－x1)＝eq\f(2p,y1＋y3)，直線MN的斜率kMN＝eq\f(y4－y2,x4－x2)＝eq\f(2p,y2＋y4)，∴eq\f(kAB,kMN)＝eq\f(y2＋y4,y1＋y3)＝eq\f(\f(－2p2,y1)＋\f(－2p2,y3),y1＋y3)＝eq\f(\f(－2p2,y1y3)y1＋y3,y1＋y3)＝2.故直線AB與直線MN斜率之比為定值．22．（共12分）解：(1)