相像三角形基礎講義

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相像三角形基礎講義

下圖中，E為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點，AE∶EC=1∶3，BE的延長線交CD的延長線于G，交AD于F，求證：BF∶FG=1∶2.

如下圖，△ABC中，AD∥BC，連結CD交AB于E，且AE∶EB=1∶3，過E作EF∥BC，交AC于F，S△ADE=2cm2，求S△BCE，S△AEF.

已知平行四邊形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF與△CDF的周長比，假使S△AEF=6cm2,求S△CDF.

如下圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂線，交BC延長線于E.求證：DE2=BE·CE.

如圖，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(-1，0)．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，記所得的像是△A′B′C．設點B的對應點B′的橫坐標是a，則點B的橫坐標是A．?a

1212B．?(a?1)

D．?(a?3)

1212C．?(a?1)

已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中點，ED交AB延長線于F求證：

ABDF．?ACAF1

天材教育數學教研組

A已知，E為ΔABC的AC邊的中點，過E作FD交AB于DED，交BC的延長線于F,求證：AD·BF=BD·CFBC

如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為2，則△ABC的面積為____________。0cm、45cm、80cm

圖，在△ABC中，A，在BC上有100個不同B?AC?5，BC?2的點P，過這100個點分別作△ABC的內接矩形、P、P…P123100…P，設每個內接矩形的周長分PEFG，PEFGEFG11112222100100100100A222FE2F2E1F1BP1P2G2G1C別為L，則LL、L…L??…?L?1210012100____________。

ADS1EFBAAEBF如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并將△ABC分成三塊S1、S2、S3，

若S1︰S2︰S3＝1︰4︰10，BC＝15，求DE、FG的長

如圖AB∥EF∥CD,AB=2,CD=8,AE∶EC=1∶5,則EF=.

S2S3GC

如圖,若G是△ABC的重心,GD∥BC,則

BGDCCDS?ADG∶S?ABC=.

假使梯形的中位線的長為12cm，一對角線分中位線所成的兩線段的比為2:1，則梯形兩底的長分別是（）

（A）8cm,16cm（B）10cm,14cm（C）6cm,8cm（D）4cm,20cm

△ABC是一塊直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)要把它加工成一個正方形形狀，請你說明用下圖中的哪種剪裁方法的利用率高。

2

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A已知如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，點Q在線段BC上，設BQ＝k，是否存在這樣的實數k，使得Q、C、P為頂點的三角形與△ADP相像，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。

A

DP

已知如圖，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，交AC于E，BO平分∠ABC。求證：

DOBECBQC問題二圖CBO?BD?BC。

2變式1圖M

如圖，已知P為△ABC內一點，過P點分別作直線平行于△ABC的各邊，形成小三角形的面積S1、S2、S3，分別為4、9、49，求△ABC的面積。

如圖，已知菱形AMNP內接于△ABC，M、N、P分別在AB、BC、AC上，假使AB＝21cm，CA＝15cm，求菱形AMNP的周長。

AS1RPS2TNS3B例3圖AMPBNC變式1圖

如圖，點C，D在線段AB上，且△PCD為等邊三角形．

（1）當AC，CD，DB滿足怎樣的關系時，△ACP∽△PDB；（2）當△ACP∽△PDB時，試求∠APB的度數．

如圖，G為△ABC的重心，GF∥AC，求DF：FC，BC：BF的值．

3

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D、E是△ABC中點，CD、BE交于G，若△ABC面積為36，則△DGB的面積是_________。

如圖，梯形ABCD對角線交于O，中位線EF分別與BD、AC交于G、H，若△ACD與△ACB的面積比為2：3，則△OGH與△OCB的面積比為_________。訓練：假使ADO△ACD與△ACB的面積比為3：4呢？

FEGH

BC如圖，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B

點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x。（1）當x為何值時，PQ∥BC？（2）當

S?BCQS?ABCS?BPQ1?，求的值；

S?ABC3

為了測量路燈（OS）的高度,把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水

平地面上,測得竹竿的影子（BC）長為1米,然后拿竹竿向遠離路燈

‘

方向走了4米（BB）,再把竹竿樹立在地面上,測得竹竿的影長（B‘‘

C）為1.8米,求路燈離地面的高度.

ShOABCA'B'C'

如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知鐵塔底座寬CD=12m，塔影長DE=18m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻，小明站在點E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，那么塔高AB為（）

A．24mB．22mC．20mD．18m

數學興趣小組想測量一棵樹的高度，在陽光下，一名同學測得一根長為1米的竹竿的影長為

米．同時另一名同學測量一棵樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落

米，落在地

4

在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上（如圖），其影長為面上的影長為

米，則樹高為米．

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如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都中止運動，設運動時間為t（s），解答以下問題：

（1）當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；

（3）作QR//BA交AC于點R，連結PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？

（第21題）

已知：如圖1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交A于點E，EF⊥BD，垂足為F，我們可以證明

成立（不

EF圖1

C要求考生證明）.若將圖1中的垂線改為斜交，如圖2，AB∥CD，AD，BBC相交于點E，過點E作EF∥AB，交BD于點F，則：⑴

還成立嗎？假使成立，請給出證明；

DAEBF

A

CD假使不成立，請說明理由；

⑵請找出S△ABD，S△BED和S△BDC間的關系式，并給出證明.

已知：如圖，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求證：ED＝3EF。

F

E

B

C

D

P2

如圖：△PQR是等邊三角形，∠APB＝120°（1）求證：QR＝AQ·RB（2）若AP＝

，AQ＝2，PB＝

。求RQ的長和△PRB的面積。

AQRB

如圖，△

中，

，

，處，并且

，將△∥

，則

沿

折

C'AD疊，使點落在AB邊上的________

的長是

BEC5

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A．

如圖，矩形

B．C．D．

中，于，恰是的中點，以下式子

DEF成立的是（）A．C．

B．D．

C

A

ADGF

B

如圖,已知點D是AB邊的中點,AF∥BC,CG∶GA=3∶1,BC=8,則AF＝

E

B第20題

C

如圖，梯形ABCD，AD∥BC，AC和BD相交于O點，＝1:9，則

＝（）。

（A）1:9；（B）1:81；（C）3:1；（D）l:3。如圖，

，G為AF的中點，則＝_______。

如圖，AB∥EF∥DC，AB＝，DC＝，（用

式子表示）

，則EF＝________。

如圖3，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60cm，AB=100cm，a、b、c…

是在△ABC內部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行.若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c…的個數是()

A.6B.7C.8D.9

圖3

6

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如圖，在△ABC內有邊長分別為8，6，的三個小等邊三角形⊿DCE、⊿FEG、⊿HGP，且點D、F、H在邊AB上，點E、G、P在邊BC上，則x的值為_______.

如圖甲，將三角形紙片ABC沿EF折疊可得圖乙（其中EF∥BC），已知圖乙的面積與原三角形的面

積之比為3∶4，且陰影部分的面積為8A．12C．20

B．16D．32

，則原三角形面積為（）．

B

如圖,把菱形沿對角線的方向移動到菱形

的位置,它們的重疊部分(圖中陰影部分)的面積是的面積的是(）.1

.

.

.

,若

,則菱形移動的距離

EAFC（第10題圖甲）（第10題圖乙）AE如圖13，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，點

DGHC圖

1G，H在DC邊上，且GH?DC．若AB?10，BC?12，則

2中陰影部分的面積為__．

BF圖13

S如圖，點A、B、C在同一直線上，且BC=2AB,點D、E分別是S2AB、BC的中點，分別以AB、DE、BC為邊，在A、C同側作三個1正方形，得到三個平行四邊形（陰影部分）的面積分別記作S1、ADBES2、S3,若S1+S3=5,則S2=_______________第5題圖

S3C

圖，在△ABC中，AB=AC，M、N分別是AB、AC的中點，D、E為BC上的點，連結DN、EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，A則圖中陰影部分的面積為cm2。

趣小組的同學要測量樹的高度．在陽光下，一名同學測得一根長為1米的竹竿的影長為0.5米，同時另一名同學測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺階上，測得此影子

7

B

MDECN(第