臨汾市2020屆高三下學期模擬考試（3）數(shù)學（文）試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精山西省臨汾市2020屆高三下學期模擬考試（3）數(shù)學（文）試題含解析文科數(shù)學測試范圍：學科內(nèi)綜合．共150分，考試時間120分鐘一、選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1。已知函數(shù)，集合，,則（）A. B。C。 D.【答案】C【解析】【分析】分別求解不等式得到集合，再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】，,∴．故選C．【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易。2.設i是虛數(shù)單位,若復數(shù)，則（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求出，代入原式計算即可?！驹斀狻繌蛿?shù)，∴，，則。故選A．【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算,難度容易。3.命題“”的否定是（）A. B.C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可。【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，"的否定是:，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定，難度容易。4.已知，，若,則向量在向量方向的投影（)A。-3 B.—1 C。1 D。3【答案】B【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)向量的運算法則將轉(zhuǎn)化為,然后根據(jù)已知，以及向量在向量方向的投影為,最后代入數(shù)據(jù)計算,即可得出結(jié)果.【詳解】∵∴，∴，向量在向量方向的投影為．故選B．【點睛】本題考查了向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了向量的運算法則、向量的數(shù)量積以及投影的相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力與推理能力，難度較易。5。在中，A、B為其內(nèi)角，則“”是“”的（)A。充分非必要條件 B。必要非充分條件C。充分必要條件 D。既非充分也非必要條件【答案】D【解析】【分析】取特殊值,分別令兩個角為和，可驗證出充分性和必要性均不成立，從而得到結(jié)論.【詳解】若,,則，此時，故充分性不成立;若，，則，此時，故必要性不成立。綜上所述:“”是“”的既非充分也非必要條件故選【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判定，通過取特殊值的方式可快速判定充分性和必要性均不成立.6。閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序，則輸出的結(jié)果為（)A。 B.6 C。 D。【答案】D【解析】【分析】用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到時退出循環(huán)，即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得,，滿足條件，,，滿足條件，,，滿足條件，，，由題意，此時應該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為。故選D．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵，難度較易.7。木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為，圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為,底面剩余部分的面積為，利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高,圓錐母線,截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為,故幾何體的體積為：。故選C?！军c睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學生空間想象，數(shù)學運算能力，難度一般.8。函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D?！军c睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應用，使問題化繁為簡,難度較易.9。在平面直角坐標系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分,則a的值為（）A. B。1 C.2 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】先根據(jù)約束條件，畫出可行域，求出可行域頂點的坐標再利用幾何意義可知直線必過的中點，求解代入即可?！驹斀狻孔鞒霾坏仁綄钠矫鎱^(qū)域，如圖所示:因為直線過定點，所以要使表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則直線必過的中點，由得。故選B．【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題,難度一般.10。已知函數(shù)的零點為m，若存在實數(shù)n使且，則實數(shù)a的取值范圍是(）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】易知單調(diào)遞增，由可得唯一零點，通過已知可求得，則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍。【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)"可知函數(shù)在區(qū)間的值域為,∴.故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題，難度較難.11.已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合；②雙曲線E與過點的冪函數(shù)的圖象交于點Q,且該冪函數(shù)在點Q處的切線過點F關(guān)于原點的對稱點．則雙曲線的離心率是（)A。 B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】由已知可求出焦點坐標為，可求得冪函數(shù)為，設出切點通過導數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標，然后求解雙曲線的離心率．【詳解】依題意可得，拋物線的焦點為，F(xiàn)關(guān)于原點的對稱點；，，所以，，設，則，解得，∴,可得，又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B．【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，已知拋物線方程求焦點坐標，求冪函數(shù)解析式，直線的斜率公式及導數(shù)的幾何意義，考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.12.若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)有且只有一個零點，等價于關(guān)于x的方程有且只有一個實根,通過變形分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】函數(shù)有且只有一個零點，等價于關(guān)于x方程有且只有一個實根．顯然，∴方程有且只有一個實根．設函數(shù)，則．設，為增函數(shù)，又．∴當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；∴在時取極小值1．當趨向于0時,趨向于正無窮大;當趨向于負無窮大時，趨向于負無窮大;又當趨向于正無窮大時，趨向于正無窮大．∴圖象大致如圖所示：∴方程只有一個實根時，實數(shù)a的取值范圍為.故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的問題，解答中把函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象得交點是關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,以及分析問題和解答問題的能力，難度困難.二、填空題（將答案填在題中的橫線上．）13。高三某班有60名學生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取5人做問卷調(diào)查,將這60名學生按1,2，…，60隨機編號，已知27號學生在樣本中，則樣本中編號最大的學生的編號是________．【答案】51.【解析】【分析】由題意名學生，抽取人，組距為,根據(jù)27號學生在樣本中,樣本中編號最大的學生的編號是即可求解.【詳解】樣本間距為，則樣本中編號最大的學生的編號是。故答案為51．【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣問題，關(guān)鍵是確定組距，依次等距抽取,把握系統(tǒng)抽樣的原則是解答此類問題的關(guān)鍵,難度容易。14.我國著名的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)"．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個數(shù)，相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實"、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c,則.已知點D是邊AB上一點，，，,，則的面積為________．【答案】.【解析】【分析】利用正切的和角公式求得，再求得，利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案。【詳解】，所以，由余弦定理可知,得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得，所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力，難度較易.15。過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．【答案】.【解析】【分析】先求圓的半徑，四邊形的最小面積，轉(zhuǎn)化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離，可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為,四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為,而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型，考查了學生分析問題的能力,難度一般。16。三棱錐中，點P是斜邊AB上一點．給出下列四個命題:①若平面ABC,則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若S在平面ABC上的射影是斜邊AB的中點P，則有;③若，，,平面ABC，則面積的最小值為3；④若，,,平面ABC,則三棱錐的外接球體積為．其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確命題的序號都填上）【答案】①②④?！窘馕觥俊痉治觥坑善矫?所以,，從而得到四個面都是直角三角形;連接,當平面時,得到，從而得到；當平面時，。時,取得最小值,由此求出的最小值是；三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，,,即可求出體積?！驹斀狻繉τ冖?，因為平面，所以，，，又，∴平面，所以,故四個面都是直角三角形,∴①正確；對于②，由在平面上射影是斜邊的中點，可得平面，連接，有，，，因為P是斜邊AB的中點，所以，故,∴②正確；對于③，當平面時，.當時,取得最小值,由等面積可得此時長度為，所以的最小值是;∴③不正確；對于④,若，平面,∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴,，∴體積為，④正確,故答案為①②④．【點睛】本題主要考查空間線線,線面的位置關(guān)系,幾何體外接球體積的運算，考查學生的空間想象能力和計算能力，難度一般。三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17。已知等差數(shù)列的前n項和為,且滿足，．(1）求數(shù)列的通項公式;（2）設，數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1)由已知利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式可求得，即可求得，進而求得.(2)由已知可得,裂項求和即可得化簡即可證得結(jié)論?！驹斀狻浚?）設數(shù)列的公差為d，,，,，，。（2）由（1）可知，∴數(shù)列的前項和為，，，，.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式,考查了裂項相消求數(shù)列的和,難度較易。18。某小學為了了解該校學生課外閱讀的情況，在該校三年級學生中隨機抽取了20名男生和20名女生進行調(diào)查,得到他們在過去一整年內(nèi)各自課外閱讀的書數(shù)（本），并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制出如圖所示的莖葉圖．如果某學生在過去一整年內(nèi)課外閱讀的書數(shù)（本）不低于90本,則稱該學生為“書蟲”．（1)根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料，在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，你是否認為“書蟲”與性別有關(guān)？男生女生總計書蟲非書蟲總計附：0.250150。100。050。025k1。3232.0722。7063。8145。024（2）在所抽取的20名女生中，從過去一整年內(nèi)課外閱讀的書數(shù)（本)不低于86本的學生中隨機抽取兩名，求抽出的兩名學生都是“書蟲”的概率．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，可以認為“書蟲”與性別有關(guān)；（2）.【解析】【分析】（1）由題意填寫列聯(lián)表,計算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論；(2）用列舉法計算基本事件數(shù)，求出對應的概率值.【詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)得：男生女生總計書蟲156非書蟲191534總計202040根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，，由于，所以在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，可以認為“書蟲”與性別有關(guān)．（2)設抽出的兩名學生都是“書蟲”為事件A．課外閱讀的書數(shù)（本）不低于86本的學生共有6人,從中隨機抽取2個的基本事件為，，共15個,而事件A包含基本事件：，，共10個．所以所求概率為?！军c睛】本題考查了獨立性檢驗與列舉法求古典概型的概率問題,難度較易。19。如圖，已知邊長為2的正三角形ABE所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直,且，點F是BC上一點,且．（1）當時，證明：；(2)是否存在一個常數(shù)k,使得三棱錐的體積等于四棱錐的體積的,若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】(1)取的中點,連結(jié),可知．由平面平面，則有平面，，在菱形中，,可得即證得平面。所以．(2)由已知可求得,，即可證得存在常數(shù)時滿足題意?！驹斀狻浚?)證明：取的中點,連結(jié),由題意知．又因為平面平面，所以平面．因為平面,所以,因為四邊形為菱形，所以，又因為，所以，所以平面.又平面，所以．（2）解：,，，所以存在常數(shù)，使得三棱錐D﹣FEB的體積等于四棱錐E﹣ABCD的體積的.【點睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)和棱錐體積的計算，考查學生的邏輯推理能力和計算能力,難度一般。20。已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且過點的直線l交橢圓于A,B兩點，的周長為8．(1）求橢圓E的方程；(2）證明:．【答案】（1）；（2）證明見解析?！窘馕觥糠治觥浚?)由橢圓定義的周長為，則有,代入方程即可解得，即可解得所求.（2）設直線方程，代入橢圓方程,設利用兩點間距離公式，韋達定理即可求得通過化簡即可證得和為定值?！驹斀狻浚?）根據(jù)橢圓的定義，可得，,∴的周長為，∴，得，∴橢圓的方程為，將代入橢圓的方程可得,所以橢圓的方程為.（2)證明:由(1）可知，得，依題意可知直線的斜率不為0，故可設直線的方程為，由消去x，整理得，設，則,，不妨設，，同理，所以即?！军c睛】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理，考查學生的計算能力，難度較難.21。已知函數(shù).(1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若不等式對任意的都成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1）;(2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）先利用導數(shù)求切線的斜率,再求切線方程；(2）根據(jù)題意可得對任意的，都成立，當時,顯然成立；當時，設，問題即轉(zhuǎn)化為恒成立,只需要即可，因為(當且僅當時取等號)，即滿足即有對恒成立,構(gòu)造,通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性求最小值，即可求得的取值范圍?！驹斀狻浚?)設,則，當時,，，∴函數(shù)在處的切線方程為，即.(2）根據(jù)題意可得對任意的,都成立,當時,不等式即為，顯然成立;當時，設，則不等式恒成立，即為不等式恒成立，∵(當且僅當時取等號），∴由題意可得，即有對恒成立，令，則，令，即有，令，則,當時，,在上單調(diào)遞增，又，有且僅有一個根,當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴當時，取得最小值，為，∴．∴實數(shù)的取值范圍【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題求解參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查計算能力，綜合性較強，難度困難。請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．作答時請寫清題號．選修4—4坐標系與參數(shù)方程22。在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標