理論力學章剛體

理論力學章剛體第1頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日xyzy”NO第2頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.2剛體的角速度角位移為n

位移為r=nr角速度定義：

ω

=

dn

/dtrrr+r第3頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日xyzy”NO第4頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.3剛體上任一點的線速度和加速度1、無平動的轉動線位移:

dr=dnr線速度:

v=

dr

/dt

=(dn/dt)r

=ωr加速度：a=

dv

/dt

=d(ωr)/dt

=(dω/dt)r+ω(ωr)任一常模矢量

A對時間的微商為:dA

/dt=

ωA第5頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.3剛體上任一點的線速度和加速度2、平動+轉動固定基點法(

C為剛體上固定基點)線速度:

v=vC

+ωr加速度：a=aC

+(dω/dt)r+ω(ωr)運算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

a=aC

+(dω/dt)r+ω(ω·r

)-ω2

r

對平面平行運動ω⊥r,

a=aC

+(dω/dt)r-ω2

r

第6頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日證明：剛體角速度與參考點無關。證:

以A’為參考點,角速度ω’

;

以A’’為參考點,角速度ω’’

。

vP=

vA’

+

ω’×A’P

=

vA’’

+

ω’’

×A’’P

∵vA’’=

vA’

+

ω’

×A’A’’

∴vA’

+ω’×A’P

=

vA’

+ω’×A’A’’

+ω’’

×A’’P

→

ω’

×(A’P

-A’A’’

)=ω’’×A’’P

→

ω’

×A’’P

=ω’’×A’’P

→

ω’

=ω’’

O參考原點A’’A’P第7頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日(2)瞬時轉軸法①平面平行運動已知剛體的角速度ω和剛體上某一點P的線速度vP，總可過P點作一條和vP垂直的直線PQ，并使Q點的位置滿足條件：

vP=ω

rPQ取Q點為基點?；cQ的特點：

Q點是轉動軸線和運動平面的交點，速度為零，Q點的位置不固定，所以Q點稱為瞬時轉動中心或瞬時轉心。第8頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日確定瞬時轉心的方法(1)

剛體上瞬時速度為零的點必為瞬時轉心；(2)已知剛體上A點和B點的速度方向，分別過A點和B點作vA和vB的垂線，其交點Q必為瞬時轉心。②一般運動

也可用瞬時轉軸法。如果在某一瞬時能在剛體上找到兩個速度為零的點，則此兩點的連線就是剛體的瞬時轉軸。找到了瞬時轉軸，剛體上任一點的速度就可直接用純轉動的公式。ABQvAvB第9頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例1：半徑為R的輪子在直線軌道上無滑滾動，質心C的速度為常數(shù)vo求輪子邊緣上任一點P的速度和加速度。解：1、固定基點法

OyoxoCQPvovCvPω

rCP第10頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日OyoxoCQPvovCvPω

rCP第11頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日2、瞬時轉心法輪子和軌道接觸點Q為瞬時轉心，所以OyoxoCQPvovCvPω

rCP第12頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：半徑為r的圓盤垂直于地面作純滾動，圓盤中心C以速率vC=1R沿著半徑為R的圓周運動，求圓盤邊緣上任一點P的速度。解：圓盤運動可視為繞點O的定點轉動，OQ為其瞬時轉動軸線。RQO12CPijk21CO第13頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日圓盤角速度用歐拉角來表示。第14頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.4剛體運動的動力學方程ABPO’O第15頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第16頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第17頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第18頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第19頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第20頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第21頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第22頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日3、慣量主軸的求法利用慣量橢球方程慣量橢球有三條相互垂直的主軸，以此三主軸為坐標軸，則橢球方程中的交叉項統(tǒng)統(tǒng)為零，即慣量積為零。所以，慣量主軸即為慣量橢球的三條主軸，采用坐標轉動變換來實現(xiàn)。(2)根據(jù)質量對稱分布可以證明三條相互垂直的質量對稱軸即為慣量主軸。第23頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第24頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第25頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日h=axyzm1a/2m2m3oa第26頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第27頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第28頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.5剛體的平面平行運動動力學方程分別為：質心定理：F外

=mdvc/dt質心轉動定律：M外C=IC

=ICd/dt剛體總能量：E=EK+EP

=mvC

2/2+ICω2/2+EP角動量：LZ=IZ

垂直軸定理：IZ=IX+IY平行軸定理：IZ=IC+md2

第29頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：均勻圓柱體沿固定斜面無滑動滾下，求圓柱體的加速度和約束反作用力。解：質心C：xC=R，yC=0。體系廣義坐標選為xC體系動能：AONmgxyFy’C第30頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日AONmgxyFy’C第31頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：半徑為R的偏心圓盤在水平面上作平面平行運動，圓盤的質量為m，質心C離幾何中心的距離為d，寫出圓盤的運動方程。設圓盤只滾不滑。OCRrdFNF第32頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第33頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.6歐拉動力學方程BωAPQO第34頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第35頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第36頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日討論：可解情況歐勒——潘索情況重力的合力通過定點(一般說重心或質心).因而對O點,外力矩為0,剛體作慣性轉動，如回轉儀，地球自轉等情況。(2)拉格朗日——泊松情況對定點O的慣量橢球是旋轉橢球(Ix=Iy≠Iz)，而剛體的重心在橢球的旋轉軸上，如重力陀螺儀。(3)柯凡律夫斯卡雅情況對定點O的慣量橢球也是旋轉橢球，而且有(Ix=Iy=2Iz)，剛體的重心在慣量橢球的赤道平面上。第37頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日xyzoαω第38頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第39頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.8剛體的自由轉動第40頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日1、潘索的幾何法：

取剛體的質心為定點O，取O點的慣量主軸為Oxyz的三個坐標軸，則慣量橢球方程為

Ixx2+Iyy2+Izz2=1

角動量L的方向和大小不變，取為Ox’軸方向。

在L

方向的投影L是常數(shù)L=·L/L=2E/L(2)設慣量橢球的交點為N，ON的長度為，則

rON=/，所以N點的坐標為

x=x

/，y=y

/，z=z

/?！?(Ixx2+Iyy2+Izz2)

/2=1→22E/2=1→=/(2E)1/2第41頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日N(x,y,z)Q(x’,y’,z’)Oen求過點和慣量橢球相切的平面方程第42頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第43頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第44頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日剛體自由轉動的描述作剛體的中心慣量橢球，過質心O作角動量

L，并取一點O’，令OO’=(2E)1/2/L.

過O’點作一和L垂直的平面，這個平面就是上述的不變平面，它必與中心慣量橢球相切與N點，rON的方向即為角速度的方向，也即瞬時轉軸的方向。LO’ON剛體運動時，點位置將不斷改變，但由于點在瞬時轉軸上，它的瞬時速度必為零，因此中心慣量橢球(即剛體)只能在平面上作純滾動。第45頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日2、歐拉法(對稱陀螺Ix=Iy)第46頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日(2)對稱陀螺的歐拉角描述zoz第47頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：一回轉儀Ix=Iy=2Iz依慣性繞重心轉動并作規(guī)則進動(即恒速進動)。已知此回轉儀的自轉角速度為ω1，并知其轉軸與進動軸間的夾角θ=60o，求進動角速度ω2。第48頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第49頁，共61