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20XX年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸知識(shí)講解+例題解析+強(qiáng)化訓(xùn)練
目錄
1.一元一次不等式及其應(yīng)用
2.一元一次不等式組及其應(yīng)用
3.一元一次方程
4.一元二次方程
5.一次函數(shù)
6.二元一次方程組
7.二次函數(shù)與方程(組)或不等式
8.二次函數(shù)
9.二次根式
10.反比例函數(shù)在中考中的常見題型
11.反比例函數(shù)
12.變量與函數(shù)
13.平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)
14.平面直角坐標(biāo)系
15.方差與頻率分布
16.方程和方程組的應(yīng)用
17.用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程(組)與不等式
18.用統(tǒng)計(jì)圖表描述數(shù)據(jù)
19.統(tǒng)計(jì)與概率
20XX年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸知識(shí)講解+例題解析+強(qiáng)化訓(xùn)練
一元一次不等式及其應(yīng)用
?知識(shí)講解
1.一元一次不等式的概念
類似于一元一次方程,含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不
等式.
2.不等式的解和解集
不等式的解:與方程類似,我們可以把那些使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.
不等式的解集:對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式,它的所有的解的集合叫做這個(gè)不等式的
解集.它可以用最簡(jiǎn)單的不等式表示,也可以用數(shù)軸來表示.
3.不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1:不等式兩邊加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變,即如a>b,
那么a±c>b±c.
性質(zhì)2:不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,即如果a>b,c>0,
那么ac>bc(或色>2).
cc
性質(zhì)3:不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,即如果a>b,c<0,
那么ac<bc(或一>—).
cc
不等式的其他性質(zhì):①若a>b,則b〈a;②若a>b,b>c,則a>c;③若a》b,且b,a,
則a=b;④若aWO,則a=0.
4.一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似,但要特別注意不等式的兩邊都乘
以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)要改變方向.
5.一元一次不等式的應(yīng)用
列一元一次不等式解實(shí)際應(yīng)用問題,可類比列一元一次方程解應(yīng)用問題的方法和技巧,
不同的是,列不等式解應(yīng)用題,尋求的是不等關(guān)系,因此,根據(jù)問題情境,抓住應(yīng)用問題中
“不等”關(guān)系的關(guān)鍵詞語,或從題意中體會(huì)、感悟出不等關(guān)系十分重要.
?例題解析
例1解不等式生并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.
364
【分析】一元一次不等式的解法的一般步驟與一元一次方程相同,不等式中含有分母,
應(yīng)先在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去掉分母,在去分母時(shí)不要漏乘沒有分母的
項(xiàng),再作其他變形.
【解答】去分母,得
4(2x-l)-2(10x+l)>15x-60.
去括號(hào),得8x-4-20x-2215x-60
移項(xiàng)合并同類項(xiàng),得-27x2-54
系數(shù)化為1,得xW2.在數(shù)軸上表示解集如圖所示.
.!A
O2
【點(diǎn)評(píng)】①分?jǐn)?shù)線兼有括號(hào)的作用,分母去掉后應(yīng)將分子添上括號(hào).同時(shí),用分母去乘
不等式各項(xiàng)時(shí),不要漏乘不含分母的項(xiàng);②不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不
等號(hào)的方向必須改變;③在數(shù)軸上表示不等式的解集,當(dāng)解集是x<a或x>時(shí),不包括數(shù)軸
上a這一點(diǎn),則這一點(diǎn)用圓圈表示;當(dāng)解集是xWa或xea時(shí),包括數(shù)軸上a這一點(diǎn),則這
一點(diǎn)用黑圓點(diǎn)表示:④解不等式(組)是中考中易考查的知識(shí)點(diǎn),必須熟練掌握.
例2若實(shí)數(shù)a〈l,則實(shí)數(shù)M=a,N=9,P=如1的大小關(guān)系為()
33
A.P>N>MB.M>N>PC.N>P>MD.M>P>N
【分析】本題主要考查代數(shù)式大小的比較有兩種方法:其一,由于選項(xiàng)是確定的,我們可以
用特值法,取a>l內(nèi)的任意值即可;其二,用作差法和不等式的傳遞性可得M,N,P的關(guān)
系.
45
【解答】方法一:取a=2,則M=2,N=—,P=-,由此知M>P>N,應(yīng)選D.
33
方法二:由a>l知a-l>0.
2a+1a—1
又M-P=a------------>0,
33
;.M>P>N,應(yīng)選D.
【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用特值法來解題的條件是答案必須確定.如,當(dāng)a>l時(shí),A與2a-2的大小
關(guān)系不確定,當(dāng)l<a<2時(shí),當(dāng)a>2a-2;當(dāng)a=2時(shí),a=2a-2;當(dāng)a>2時(shí),a<2a-2,因此,此
時(shí)a與2a-2的大小關(guān)系不能用特征法.
例3若不等式-3x+n>0的解集是x<2,則不等式-3x+n<0的解集是..
【分析】一方面可從已知不等式中求出它的解集,再利用解集的等價(jià)性求出n的值,
進(jìn)而得到另一不等式的解集.
YI〃
【解答】V-3x+n>0,Ax<-,:.-=2
33
即n=6
代入-3x+n〈0得:-3x+6〈0,x>2
例4某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng),決定購進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞.現(xiàn)有甲,乙兩種機(jī)器供
選擇,其中每臺(tái)機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示.經(jīng)過預(yù)算,本次購買
機(jī)器所耗資金不能超過34萬元.
甲乙
價(jià)格/(萬元/臺(tái))75
每臺(tái)日產(chǎn)量/個(gè)10060
(1)按該公司要求可以有幾種購買方案?
(2)若該公司購進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不低于380個(gè),那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇
哪種購買方案?
【解析】(1)可設(shè)購買甲種機(jī)器x臺(tái),然后用x表示出購買甲,乙兩種機(jī)器的實(shí)際費(fèi)
用,根據(jù)“本次購買機(jī)器所耗資金不能超過24萬元”列不等式求解.
(2)分別算出(1)中各方案每天的生產(chǎn)量,根據(jù)“日生產(chǎn)能力不低于380個(gè)”與“節(jié)
約資金”兩個(gè)條件選擇購買方案.
解(1)設(shè)購買甲種機(jī)器x臺(tái),則購買乙種機(jī)器(6-x)臺(tái),則
7x+5(6-x)W34
解得x<2
又x20
.?.0WxW2
整數(shù)x=0,1,2
可得三種購買方案:
方案一:購買乙種機(jī)器6臺(tái);
方案二:購買甲種機(jī)器1臺(tái),乙種機(jī)器5臺(tái);
方案三:購買甲種機(jī)器2臺(tái),乙種機(jī)器4臺(tái).
(2)列表如下:
II生產(chǎn)量/個(gè)總購買資金/萬元
方案一36030
方案二40032
方案三44034
由于方案一的日生產(chǎn)量小于380個(gè),因此不選擇方案一;方案三比方案二多耗資2萬
元,故選擇方案二.
【點(diǎn)評(píng)】①部分實(shí)際問題的解通常為整數(shù);②方案的各種情況可以用表格的形式表達(dá).
例5某童裝加工企業(yè)今年五月份,工人每人平均加工童裝150套,最不熟練的工人加
工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%.為了提高工人的勞動(dòng)積極性,按照完成外商訂貨任務(wù),企
業(yè)計(jì)劃從六月份起進(jìn)行工資改革.改革后每位工人的工資分兩部分:一部分為每人每月基
本工資200元;另一部分為每加工1套童裝獎(jiǎng)勵(lì)若干元.
(1)為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關(guān)部門規(guī)定的最低工資標(biāo)準(zhǔn)450
元,按五月份工人加工的童裝套數(shù)計(jì)算,工人每加工1套童裝企業(yè)至少應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)多少元(精確
到分)?
(2)根據(jù)經(jīng)營(yíng)情況,企業(yè)決定每加工1套童裝獎(jiǎng)勵(lì)5元.工人小張爭(zhēng)取六月份工資不
少于1200元,問小張?jiān)诹路輵?yīng)至少加工多少套童裝?
【分析】(1)五月份工人加工的最少套數(shù)為150X60%,若設(shè)平均每套獎(jiǎng)勵(lì)x元,則該
工人的新工資為(200+150X60%x),由題意得200+150X60%x2450;
(2)六月份的工資由基本工資200元和獎(jiǎng)勵(lì)工資兩部分組成,若設(shè)小張六月份加工了
y套,則依題意可得200+5y>1200.
【解答】(1)設(shè)企業(yè)每套獎(jiǎng)勵(lì)x元,由題意得:200+60%X150x2450.
解得:x22.78.
因此,該企業(yè)每套至少應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)2.78元;
(2)設(shè)小張?jiān)诹路菁庸套,由題意得:200+5y21200,
解得y2200.
【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查學(xué)生從生活實(shí)際中理解不等關(guān)系的能力,對(duì)關(guān)鍵詞“不低于”、
“至少”、“不少于”的理解是解本例的關(guān)鍵.
?強(qiáng)化訓(xùn)練
一、填空題
1.若不等式ax<a的解集是x>l,則a的取值范圍是.
2.不等式x+3>'x的負(fù)整數(shù)解是.
2
3.不等式5x-9<3(x+1)的解集是____.
4.不等式4(x+1)》6x-3的正整數(shù)解為____.
5.已知3x+4W6+2(x-2),則|x+1|的最小值等于.
6.若不等式a(x-1)>x-2a+l的解集為x<T,則a的取值范圍是.
7.滿足M土■二的x的值中,絕對(duì)值不大于10的所有整數(shù)之和等于.
23
8.小明用100元錢去購買筆記本和鋼筆共30件,己知每本筆記本2元,每支鋼筆5元,
那么小明最多能買__支鋼筆.
9.某商品的進(jìn)價(jià)是500元,標(biāo)價(jià)為750元,商店要求以利潤(rùn)不低于5%的售價(jià)打折出售,售
貨員最低可以打折出售此商品.
10.有10名菜農(nóng),每個(gè)可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝,已知甲種蔬菜每畝可收入0.5
萬元,乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元,若要總收入不低于15.6萬元,則最多只能安排
人種甲種蔬菜.
二、選擇題
11.不等式-X-5W0的解集在數(shù)軸上表示正確的是()
ABCD
12.如圖所示,0是原點(diǎn),實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,則下列結(jié)論錯(cuò)
誤的是()
A.a-b>0B.ab<0C.a+b<0D.b(a-c)>0
13.如圖所示,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A,B兩點(diǎn),則不
式kx+b>0的解集是()
A.x>0B.x>2C.x>-3D.-3<x<2
14.如果不等式生小+1〉竺匚的解集是x〈3,則a的取值范圍是()
333
A.a>5B.a=5C.a>-5D.a=-5
15.關(guān)于x的不等式2x-aW-l的解集如圖所示,則a的取值是()
A.0B.-3
C.-21).-1-2-101x
16.初中九年級(jí)一班幾名同學(xué),畢業(yè)前合影留念,每人交0.70元,一張彩色底片0.68元,
擴(kuò)印一張照片0.50元,每人分一張,將收來的錢盡量用掉的前提下,這張照片上的同
學(xué)最少有()
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
17.四個(gè)小朋友玩蹺蹺板,他們的體重分別為P,Q,R,S,如圖所示,則他們的體重大小
關(guān)系是()
A.P>R>S>QB.Q>S>P>R
C.S>P>Q>RD.S>P〉R>Q
18.某班學(xué)生在頒獎(jiǎng)大會(huì)上得知該班獲得獎(jiǎng)勵(lì)的情況如下表:
三好學(xué)生優(yōu)秀學(xué)生干部?jī)?yōu)秀團(tuán)員
市級(jí)323
校級(jí)18612
已知該班共有28人獲得獎(jiǎng)勵(lì),其中只獲得兩項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)的有13人,那么該班獲得獎(jiǎng)勵(lì)最多
的一位同學(xué)可能獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為()
A.3項(xiàng)B.4項(xiàng)C.5項(xiàng)D.6項(xiàng)
三、解答題
19.解下列不等式,并把解集在數(shù)軸上表示出來.
3x—42x—13x-5
(1)------<-----(2)x-32
634
20.王女士看中的商品在甲,乙兩商場(chǎng)以相同的價(jià)格銷售,兩商場(chǎng)采用的促銷方式不同:在
甲商場(chǎng)一次性購物超過100元,超過的部分八折優(yōu)惠;在乙商場(chǎng)一次性購物超過50元,
超過的部分九折優(yōu)惠,那么她在甲商場(chǎng)購物超過多少元就比在乙商場(chǎng)購物優(yōu)惠?
21.甲,乙兩家超市以相同的價(jià)格出售同樣的商品,為了吸引顧客,各自推出不同的優(yōu)惠
方案:在甲超市累計(jì)購買商品超出300元之后,超出部分按原價(jià)8折優(yōu)惠;在乙超市累
計(jì)購買商品超出200元之后,超過部分按原價(jià)8.5折優(yōu)惠.設(shè)顧客預(yù)計(jì)累計(jì)購物x元
(x>300).
(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購物所付的費(fèi)用;
(2)試比較顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠?說明你的理由.
22.福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝工人,每天都制作某種品牌襯衫和褲子,每人每天可制
作襯衫3件或褲子5條.
(1)若該廠要求每天制作的襯衫和褲子數(shù)量相等,則應(yīng)安排制作襯衫和褲子各多少人?
(2)已知制作一件襯衫可獲得利潤(rùn)30元,制作一條褲子可獲得利潤(rùn)16元,若該廠要求
每天獲得利潤(rùn)不少于2100元,則至少需要安排多少名工人制作襯衫?
23.某零件制造車間有工人20名,已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5
個(gè),且每制造一個(gè)甲種零件可獲利150元,每制造一個(gè)乙種零件可獲利260元,在這
20名工人中,車間每天安排x名工人制造甲種零件,其余工人制造乙種零件.
(1)請(qǐng)寫出此車間每天所獲利潤(rùn)y(元)與x(人)之間的關(guān)系式;
(2)若要使每天所獲利潤(rùn)不低于24000元,你認(rèn)為至少要派多少名工人去制造乙種零件
才合適?
24.足球比賽的記分規(guī)則為:勝1場(chǎng)得3分,平1場(chǎng)得1分,負(fù)1場(chǎng)得0分,一支足球隊(duì)
在某個(gè)賽季中共需比賽14場(chǎng),現(xiàn)已比賽8場(chǎng),負(fù)了1場(chǎng),得17分,請(qǐng)問:
(1)前8場(chǎng)比賽中,這支球隊(duì)共勝了多少場(chǎng)?
(2)這支球隊(duì)打滿了14場(chǎng)比賽,最高能得多少分?
(3)通過對(duì)比賽情況的分析,這支球隊(duì)打滿14場(chǎng)比賽得分不低于29分,就可以達(dá)到預(yù)
期目標(biāo),請(qǐng)你分析一下,在后面的6場(chǎng)比賽中這支球隊(duì)至少要?jiǎng)賻讏?chǎng),才能達(dá)到預(yù)
期目標(biāo)?
25.宏志高中高一年級(jí)近幾年招生人數(shù)逐年增加,去年達(dá)到550名,其中面向全省招收的
“宏志班”學(xué)生,也有一般普通班學(xué)生.由于場(chǎng)地、師資等限制,今年招生最多比去年
增加100人,其中普通班學(xué)生可以招20%,“宏志班”學(xué)生可多招10%,問今年最少可
招收“宏志班”學(xué)生多少名?
答案:
1.a<02.-5,-4,-3,-2,-1
3.x<64.1,2,35.16.a<l7.-19
8.139.710.4
11.B12.B13.C14.B15.D16.C17.D18.B
19.(1)x2-2(2)x,7數(shù)軸上表示略
20.設(shè)她在甲商場(chǎng)購物x元(x>100),就比在乙商場(chǎng)購物優(yōu)惠,
由題意得:100+0.8(x-100)<50+0.9(x-50)
.*.x>150
答:她在甲商場(chǎng)購物超過150元就比在乙商場(chǎng)購物優(yōu)惠.
21.(1)在甲超市購物所付的費(fèi)用是:
300+0.8(x-300)=(0.8x+60)元;
在乙超市購物所付的費(fèi)用是:
200+0.85(x-200)=(0.85x+30)元.
(2)當(dāng)0.8x+60=0.85x+30時(shí),解得x=600.
..?當(dāng)顧客購物600元時(shí),到兩家超市購物所付費(fèi)用相同;
當(dāng)0.8x+60>0.85x+30時(shí),解得x〈600,而x>300,.,.300<x<600.
即顧客購物超過300元且不滿600元時(shí),到乙超市更優(yōu)惠;
當(dāng)0.8x+60〈0.85x+30時(shí),解得x>600,即當(dāng)顧客購物超過600元時(shí),到甲超市更優(yōu)惠.
22.(1)設(shè)應(yīng)安排x名工人制作襯衫,由題意得:
3x=5X(24-x)
Ax=15
,24-x=24T5=9
答:應(yīng)安排15名工人制作襯衫,9名工人制作褲子.
(2)設(shè)應(yīng)安排y名工人制作襯衫,由題意得:
3X30y+5X16X(24-y)>2100
;.y218
答:至少應(yīng)安排18名工人制作襯衫.
23.(1)依題意,得
y=150X6x+260X5(20-x)=-400x+26000(0WxW20).
(2)依題意得,-400X+26000N24000.
解得xW5,20-x=20-5=15.
答:至少要派15名工人去制作乙種零件才合適.
24.(1)設(shè)這支球隊(duì)勝x場(chǎng),則平了(8-1-x)場(chǎng),
依題意得:3x+(8-1-x)=17,解得x=5.
答:前8場(chǎng)比賽中這支球隊(duì)共勝了5場(chǎng).
(2)最高分即后面的比賽全勝,因此最高得分為:
17+3X(14-8)=35(分).
答:這個(gè)球打完14場(chǎng)最高得分為35分.
(3)設(shè)勝x場(chǎng),平y(tǒng)場(chǎng),總分不低于29分,可得
17+3x+y229,3x+y212,x+yW6
;x,y為非負(fù)整數(shù),
;.x=4時(shí),能保證不低于12分;
x=3,y=3時(shí),也能保證不低于12分.
所以,在以后的比賽中至少要?jiǎng)?場(chǎng)才能有可能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).
25.設(shè)去年招收“宏志班”學(xué)生x名,普通班學(xué)生y名.
由條?件得,:\%+y=550,
[10%x+20%y<100.
將y=550-x代入不等式,可解得x2100.
于是(1+10%)x>110,
答:今年最少可招收“宏志班”學(xué)生110名.
20XX年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸知識(shí)講解+例題解析+強(qiáng)化訓(xùn)練
一元一次不等式組及其應(yīng)用
?知識(shí)講解
1.解不等式組一般先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集并表示在數(shù)軸上,再求出
它們的公共部分,就得到不等式組的解集.
2.由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表.
不等式組圖示解集口訣
(其中a<b)
x>ax2b同大取大
x>b-JF■
x<axWa同小取小
?4
x<bab.
x>aaWxWb大小、小大中間找
V
x<b
ab
x<a空集小小、大大找不到
x>bab
3.列一元一次不等式組解決實(shí)際問題是中考要考查的一個(gè)重要內(nèi)容,在列不等式解決
實(shí)際問題時(shí),應(yīng)掌握以下三個(gè)步驟:(1)找出實(shí)際問題中的所有不等關(guān)系或相等關(guān)系(有
時(shí)要通過不等式與方程綜合來解決),設(shè)出未知數(shù),列出不等式組(或不等式與方程的混合
組);(2)解不等式組;(3)從不等式組(或不等式與方程的混合組)的解集中求出符合題
意的答案.
?例題解析
例1關(guān)于x的不等式組J、2只有4個(gè)整數(shù)解,則a的取值范圍是:()
2尤+2
A.-5WaW---B.-5Wa〈-W---C.-5〈aW--------D.-5<a<---
3333
【分析】本題主要考查學(xué)生是否會(huì)利用逆向思維法解決含有待定字母的一元一次不等式
組的特解問題.其基本思路為先解關(guān)于x的一元一次不等式組的解集,然后確定此解集包
含著四個(gè)整數(shù)解,由這些整數(shù)解可推斷字母a的取值范圍,解原不等式組,得2-3a<x<21.由
題設(shè)條件可知2-3a<x〈21包含著四個(gè)整數(shù)解,這四個(gè)整數(shù)解應(yīng)為17,18,19,20.這時(shí),
14
2-3a應(yīng)滿足16W2-3a〈17,解得-5<aW——.
3
【解答】C
【點(diǎn)撥】有的學(xué)生盡管能順利地從已知不等式組中解出2-3a<x<21,但是不明白它的
2x+2
解集中的四個(gè)整數(shù)解究竟為多少,因而導(dǎo)致受阻.還有的學(xué)生干脆從------〈x+a中提煉出
3
2—x
a>—,然后由四個(gè)選項(xiàng)中索取不等式組有四個(gè)整數(shù)解的條件.此思路不但行不通,而且
違背了解不等式所運(yùn)用的基本性質(zhì).
例2仔細(xì)觀察圖,認(rèn)真閱讀對(duì)話:
根據(jù)對(duì)話內(nèi)容,試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少元?
【分析】根據(jù)對(duì)話找到下列關(guān)系:①餅干的標(biāo)價(jià)+牛奶的標(biāo)價(jià)>10元;②餅干的標(biāo)價(jià)〈10;
③餅干標(biāo)價(jià)的90%+牛奶的標(biāo)價(jià)=10元-0.8元,然后設(shè)未知數(shù)列不等式組.
【解答】設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)為每盒x元,牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋y元.
x+y>10(1)
則<0.9x+y=10—0.8(2)
x<10(3)
由(2)得y=9.2-0.9x(4)
把(4)代入(1)得:9.2-0.9x+x>10,解得x>8.
由(3)綜合得8<x<10.
又是整數(shù),.>=9.
把x=9代入(4)得:y=9.2-0.9X9=1.1(元)
答:一盒餅干標(biāo)價(jià)9元,一袋牛奶標(biāo)價(jià)1.1元.
【點(diǎn)撥】①解決實(shí)際問題時(shí),注意表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞,如本題中的“有多的”和“不
夠”;②所求的結(jié)果應(yīng)符合生活實(shí)際.
例3(2004,江西贛州)某錢幣收藏愛好者,想把3.50元紙幣兌換成的1分,2分,
5分的硬幣;他要求硬幣總數(shù)為150枚,2分硬幣的枚數(shù)不少于20枚且是4的倍數(shù),5分的
硬幣要多于2分的硬幣;請(qǐng)你根據(jù)此要求,設(shè)計(jì)所有的兌換方案.
【分析】這是一道方案設(shè)計(jì)題,是涉及到方程和不等式聯(lián)合起來解決的綜合應(yīng)用題.題
目中包含的相等關(guān)系有:①所有硬幣的總價(jià)值是3.50元;②共有硬幣150枚.不等關(guān)系
有:①2分的硬幣的枚數(shù)不少于20枚;②5分的硬幣要多于2分的硬幣.且硬幣的枚數(shù)為整
數(shù),2分的硬幣的數(shù)量是4的倍數(shù).
【解答】設(shè)兌換成1分,2分,5分硬幣分別為x枚,y枚,z枚,依據(jù)題意,得
x+y+z=150,(1)
x+2y+5z=350,(2)
z>y,(3)
y>209(4)
由(1),(2)得
z>200—4z,
將y代入(3),(4)得《
200—4z220,
解得40<zW45,:z為正整數(shù),;.z只能取41,42,43,44,45,由此得出x,y的對(duì)
應(yīng)值,共有5種兌換方案.
x=73,x—76,x=79,x=82,x=85,
y=36,■y=32,、y=28,?y=24,,y=20,
z=41.z=42.z=43,z=44.z=45.
(另解):設(shè)兌換成的1分,2分,5分硬幣分別為x枚,y枚,z枚,依據(jù)題意可得
x+>?+z=150,(1)
<x+2y+5z=350,(2)
*>y(3)
?;y是4的倍數(shù),可設(shè)y=4k(k為自然數(shù)),
Vy>20,A4k>20,即k25.
將y=4k代入(1),(2)可解得z=50-k,
Vz>y,/.50-k>4k,即k<10.
.?.5Wk<10,又k為自然數(shù),;.k取5,6,7,8,9.由此得出x,y的對(duì)應(yīng)值,共有5種兌
換方案:
x=73,x-16,x=79,x==82,x=85,
>=28,W
y=36,■y=32,.y二=24,■y=20,
z=41.z=42.z=43,z==44.z=45.
【點(diǎn)評(píng)】在關(guān)系復(fù)雜的實(shí)際問題中,要注意審題,要找到題目中的所有的相等關(guān)系或不
等關(guān)系,并且要把握其中有些量的隱含條件.
?強(qiáng)化訓(xùn)練
一、填空題
(2006,四川達(dá)州)不等式組,
5>2(1-%)
(2006,四川成都)不等式組《12的整數(shù)解的和是
——x<——x
3.不等式lW3x-7<5的整數(shù)解是.
ab_ab
4.對(duì)于整數(shù)a,b,c,d,符號(hào)表K運(yùn)算ac-bd,已知<3,則b+d的值
cdcd
是一?
5.長(zhǎng)度分別為3cm,7cm,xcm的三根木棒圍成一個(gè)三角形,則x的取值范圍是.
6.如果a〈2,那么不等式組x4>a的解集為________;當(dāng)______時(shí),不等式組4\x<a的解
x〉2[x>2
集是空集.
x-a>2
7.(2006,山西)若不等式組《的解集是T<x<l,則(a+b)=.
b-2x>0
8.已知關(guān)于x的不等式組xI-a>0的整數(shù)解共有5個(gè),則a的取值范圍是
3—2x>—1
9.(2008,蘇州)20XX年6月1日起,某超市開始有償提供可重復(fù)使用的三種環(huán)保購物袋,
每只售價(jià)分別為1元,2元和3元,這三種環(huán)保購物袋每只最多分別能裝大米3kg,5kg
和8kg.6月7日,小星和爸爸在該超市選購了3只環(huán)保購物袋用來裝剛買的20kg散裝
大米,他們選購的3只環(huán)保購物袋至少應(yīng)付給超市___元.
二、選擇題
10.已知0〈b<a,那么下列不等式組中無解的是()
x>-ax>-a
x<-bx<-b
11.(2008,義烏)不等式組<的解集在數(shù)軸上表示為(
8-4x<0
,!疹,,必
0120I2012012
ABCD
x+2)_4",且_i<x-y〈0,則k的取值范圍是()
12.(2006,山東聊城)已知<
2x+y=2k+\
111
A.-Kk<一一B.0<k<-C.0<k<lD.-<k<l
222
3-2x>0
13.如果不等式組《有解,則m的取值范圍是()
x>m
333
A.m<—B.mW—C.m>一D.m2—
2222
m+2>3
14.若?],化簡(jiǎn)|m+2|-|1-m|+|m|得()
I——3m<5
A.m-3B.m+3C.3m+lD.m+1
x—3(x—2)44
15.不等式組+無解,則a的取值范圍是()
I----3--->x
A.a<lB.aWlC.a>lD.ael
16.為了改善城鄉(xiāng)人民生產(chǎn),生產(chǎn)環(huán)境,我市投入大量資金治理清水河污染,在城郊建立了
一個(gè)綜合性污水處理廠.設(shè)庫池中存有待處理的污水a(chǎn)t,又從城區(qū)流入庫池的污水按
每小時(shí)bt的固定流量增加.如果同時(shí)開動(dòng)2臺(tái)機(jī)組需30h處理完污水,同時(shí)開動(dòng)4臺(tái)
機(jī)組需10h處理完污水.若要求在5h內(nèi)將污水處理完畢,那么至少要同時(shí)開動(dòng)機(jī)組的
臺(tái)數(shù)為()
A.6臺(tái)B.7臺(tái)C.8臺(tái)D.9臺(tái)
三、解答題
2(x+2)<3x+3
17.(1)(2005,南京市)解不等式組x+1,并寫出不等式組的整數(shù)解;
—<----
134
(2)(2004,太原市)解不等式組,,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.
.2(x+l)>4x
18.(2006,湖北十堰)某牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研,決定從明年起對(duì)甲,乙兩種產(chǎn)
品實(shí)行“限產(chǎn)壓庫”,要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)量20件,這20件的總產(chǎn)值p(萬
元)滿足:110<p<120.已知有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示,那么該公司明年應(yīng)怎樣安排新增產(chǎn)品
的產(chǎn)量?
每件產(chǎn)品的產(chǎn)值
4.5萬元
7.5萬元
19.(2004,湖北?。┤鐖D所示,一筐橘子分給若干個(gè)兒童,如果每人分4個(gè),則剩下9
個(gè);如果每人分6個(gè),則最后一個(gè)兒童分得的橘子數(shù)少于3個(gè),問共有幾個(gè)兒童,分
了多少個(gè)橘子?
次(最后兒童)
OW橘子數(shù)V3
20.(2005,江蘇?。┢撸?)班有50名學(xué)生,老師安排每人制作一件A型和B型的陶藝品,
學(xué)校現(xiàn)有甲種制作材料36kg,乙種制作材料29kg,制作A,B兩種型號(hào)的陶藝品用料情
況如下表:
需甲種材料需乙種材料
1件A型陶藝品0.9kg0.3kg
1件B型陶藝品0.4kg1kg
(1)設(shè)制作B型陶藝品x件,求x的取值范圍;
(2)請(qǐng)你根據(jù)學(xué)校現(xiàn)有材料,分別寫出七(2)班制作A型和B型陶藝品的件數(shù).
21.(2008,青島)20XX年8月,北京奧運(yùn)會(huì)帆船比賽在青島國(guó)際帆船中心舉行,觀看帆
船比賽的船票分為兩種:A種船票600/張,B種船票120/張.某旅行社要為一個(gè)旅行
團(tuán)代購部分船票,在購票費(fèi)不超過5000元的情況下,購買A,B兩種船票共15張,要
求A種船票的數(shù)量不少于B種船票數(shù)量的一半,若設(shè)購買A種船票x張,請(qǐng)你解答下列
問題:
(1)共有幾種符合題意的購票方案?寫出解答過程;
(2)根據(jù)計(jì)算判斷:哪種購票方案更省錢?
22.(2006,青島)“五一”黃金周期間,某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游,現(xiàn)知道出租
公司有42座和60座兩種客車,42座客車的租金每輛為320元,60座客車的租金每輛
為460元.
(1)若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種車輛各需多少錢?
(2)若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛(可以坐不滿),而且要比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省
租金.請(qǐng)你幫助學(xué)校選擇一種最節(jié)省的租車方案.
23.(2005)深圳)某工程,甲工程隊(duì)單獨(dú)做40天完成,若乙工程隊(duì)單獨(dú)做30天后,甲,
乙兩工程隊(duì)再合作20天完成.
(1)求乙工程隊(duì)單獨(dú)做需要多少天完成?
(2)將工程分兩部分,甲做其中的一部分用了x天,乙做另一部分用了y天,其中x,y
均為正整數(shù),且x<15,y<70,求x,y.
24.(2005)蘇州)蘇州地處太湖之濱,有豐富的水產(chǎn)養(yǎng)殖資源,水產(chǎn)養(yǎng)殖戶李大爺準(zhǔn)備進(jìn)
行大閘蟹與河蝦的混合養(yǎng)殖,他了解到如下信息:
①每畝水面的年租金為500元,水面需按整數(shù)畝出租;
②每畝水面可在年初混合投放4kg蟹苗和20kg蝦苗;
③每公斤蟹苗的價(jià)格為75元,其飼養(yǎng)費(fèi)用為525元,當(dāng)年可獲1400元收益;
④每公斤蝦苗的價(jià)格為15元,其飼養(yǎng)費(fèi)用為85元,當(dāng)年可獲160元收益;
(1)若租用水面n畝,則年租金共需元;
(2)水產(chǎn)養(yǎng)殖的成本包括水面年租金,苗種費(fèi)用和飼養(yǎng)費(fèi)用,求每畝水面蟹蝦混合養(yǎng)殖
的年利潤(rùn)(利潤(rùn)=收益-成本);
(3)李大爺現(xiàn)有資金25000元,他準(zhǔn)備再向銀行貸不超過25000元的款,用于蟹蝦混合
養(yǎng)殖,已知銀行貸款的年利率為8%,試問李大爺應(yīng)該租多少畝水面,并向銀行貸
款多少元,可使年利潤(rùn)超過35000元.
答案:
1-
1.-2x<xW-2.03.34.3或-35.4<x<10
3
6.x>2,aW27.18.-4〈aW-39.8
10.AC11.A12.D13.B14.B15.B16.A
17.(1)不等式組的解集為lWx<3,故其整數(shù)解為:1,2.
(2)不等式組的解集為-3Wx〈l,數(shù)軸上表示如圖:
,,一
-4-3-2-10I2
18.設(shè)該公司安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品x件,那么生產(chǎn)新增乙產(chǎn)品(20-x)件,由題意得:
110<4.5x+7.5(20-x)<120
40
/.10<x<——,依題意,得x=ll,12,13
3
當(dāng)x=ll時(shí),20-11=9;當(dāng)x=12時(shí),20-12=8;當(dāng)x=13時(shí),20-13=7.
所以該公司明年可安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品11件,乙產(chǎn)品9件;或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品12件,
乙產(chǎn)品8件;或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品13件,乙產(chǎn)品7件.
19.設(shè)共有x個(gè)兒童,則共有(4x+9)個(gè)橘子,依題意,得0W4x+9-6(xT)<3
解這個(gè)不等式組,得6<xW7.5.
因?yàn)閤為整數(shù),所以x取7.
所以4x+9=4X7+9=37.
故共有7個(gè)兒童,分了37個(gè)橘子.
20.(1)由題意得
J0.9(50—x)+0.4x<36①
0.3(50—%)+x<29②
由①得x》18,由②得xW20,
所以x的取值范圍是18WxW20(x為正整數(shù)).
(2)制作A型和B型陶藝品的件數(shù)為
①制作A型陶藝品32件,制作B型陶藝品18件;
②制作A型陶藝品31件,制作B型陶藝品19件;
③制作A型陶藝品30件,制作B型陶藝品20件.
21.(1)由題意知B種票有(15-x)張.
f15—x
根據(jù)題意得一2'
600x4-120(15-%)<5000,
解得5WxW型.
3
為正整數(shù),
,滿足條件的x為5或6.
.??共有兩種購票方案:
方案一:A種票5張,B種票10張;
方案二:A種票6張,B種票9張.
(2)方案一購票費(fèi)用為600X5元+120X10元=4200元;
方案二購票費(fèi)用為600X6元+120X9元=4680(元).
?.?4200元〈4680元,.?.方案一更省錢.
22.(1)3854-42^9.2
.?.單獨(dú)租用42座客車需10輛,租金為320X10=3200元.
3854-60?=6.4,
...單獨(dú)租用60座客車需7輛,租金為460X7=3220元.
(2)設(shè)租用42座客車x輛,則60座客車(8-x)輛,由題意得:
42%+60(8—%)>385,
320%+460(8-%)<3200.
35
解之得3—WxW5—.
718
,入取整數(shù),.犍=4或5.
當(dāng)x=4時(shí),租金為320X4+460X(87)=3120元;
當(dāng)x=5時(shí),租金為320X5+460X(8-5)=2980元.
答:租用42座客車5輛,60座客車3輛時(shí),租金最少.
說明:若學(xué)生列第二個(gè)不等式時(shí)將“W”號(hào)寫成號(hào),也對(duì).
23.設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)做需要x天完成.
則30X—+20(—+—)=1,解之得x=100.
x40x
經(jīng)檢驗(yàn),x=100是所列方程的解,所以乙工程隊(duì)單獨(dú)做需要100天完成.
(2)甲做其中一部分用了x天,乙做另一部分用了y天,
Xv5
所以—+---=1,即:y=100--x,又x<15,y<70,
401002
小,100--x<70,、后
所以,2,解A乙得12<x<15,
x<15.
所以x=13或14,又y也是為正整數(shù),所以x=14,y=65.
24.(1)500n.
(2)每畝的成本=500+20X(15+85)+4X(75+525)=4900
每畝的利潤(rùn)=20X160+4X1400-4900=3900(元).
(3)設(shè)應(yīng)該租n畝水面,向銀行貸款x元,則4900n=25000+x,即x=4900n-25000.①
根據(jù)題意,有
x<25000?
<(1400x4+160x20)〃—(2500+1.08x)②
③
>35000
將①代入②,得4900n-25000^25000
50000
即nW%0.2
4900
將①代入③,得3508n233000,
即n》^33■000^^9.4,...nGO(畝),
3508
x=4900X10-25000=24000(元).
答:李大爺應(yīng)該租10畝水面,并向銀行貸款24000元.
20XX年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸知識(shí)講解+例題解析+強(qiáng)化訓(xùn)練
一元一次方程
?知識(shí)講解
1.等式和它的性質(zhì)
等式:表示相等關(guān)系的式子,叫做等式.
等式的性質(zhì):①等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式所得的結(jié)果仍是等式;
②等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不為零)所得的結(jié)果仍是等式.
2.方程
方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程.
一元一次方程:在整式方程中,只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不
等于0的方程叫做一元一次方程.ax+b=O(ar0)是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.
方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.一元方程的解也叫方程的
根.
解方程:求方程解的過程叫做解方程.
3.解一元一次方程的一般步驟
①去分母;②去括號(hào);③移項(xiàng);④合并同類項(xiàng);⑤系數(shù)化為L(zhǎng)
4.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟
(1)弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù),用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù);
(2)找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系;
(3)根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,從而列出方程;
(4)解這個(gè)方程,求出未知數(shù)的值;
(5)檢驗(yàn)方程的解是不是符合應(yīng)用題題意的解;
(6)寫出答案(包括單位名稱).
?例題解析
例1(2004,黃岡市)關(guān)于x的一元一次方程(k2-l)X—+(k—
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