歷年高考真題分類匯編理科單元概率

K單元概率 16．I1，K1，K2，K6[2013·卷]下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨313132設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X16．解：設(shè)Ai表示“此人于3月i日到達(dá)該市”(i＝1，2，…，13)． 1 Ai∩Aj＝(i≠j)所以 2由題意可知，X0，1，2，且 4 XX012P544故X的期望 5

4

4

所以 2(2)由題意可知，X0，1，2，且 4 XX012P544故X的期望 5

4

4

16．K2，K6[2013·卷]一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別1，2，3，4；白色3張，編號(hào)分別為2，3，4.從盒子中4張卡片(假設(shè)取到任何一在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨量X的分布列和數(shù)學(xué)77

A，則P(A)＝2 2C47C4

(2)隨量X的所有可能取值為 1

4

P(X＝1)＝

，P(X＝2)＝4＝，P(X＝3)＝5＝，P(X＝4)＝6＝CCCC777777 CCCC777777

所以隨量X的分布列X1234P142747 量X的數(shù)學(xué)期望 1

4

×35＋

×7＝5

[解析]5

2 1

n n]3431214個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等312003050211018．解：Aii個(gè)紅球，BjjAi(i＝0，1，2，3) P(A1)＝34＝C7 C7X0，10，50，200，且 13· C37 C37 2P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝3· C37 C37 12 4P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝34· ＝C37 C37 1 2－4 XX0P67421從而有 4

2 1

11．K3[2013·福建卷]利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則“3a－1>0”發(fā) [解析]3<a<1P＝114．E4、K3[2013·山東卷]在區(qū)間[－3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成 1 [解析]x<－1時(shí)，不等式化為－x－1＋x－2≥1，此時(shí)無解；當(dāng)－1≤x≤2x＋1＋x－2≥1x≥1x>2x＋1－x＋2≥1，此時(shí)恒＝ ＝ 得 5．K3[2013·陜西卷]如圖1－1，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信，假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源， A．1－ B.2 D. [解析]閱讀題目可知滿足幾何概型的概率特點(diǎn)利用幾何概型的概率可知：2－ P＝ ＝1－4次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是( ] ，根據(jù)幾何概型可知全體的測(cè)度(面積)為16平方單位而滿足條件的測(cè)度(陰，

19．K4，K6[2013·新課標(biāo)卷Ⅰ]一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任

X(單位：元)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．品全是優(yōu)質(zhì)品為A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，A1B1A2B2＝×＋× 4 1＝×＋× 4 1 1

1

XXP14

1

]3431214個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等312003050211018．解：Aii個(gè)紅球，BjjAi(i＝0，1，2，3) P(A1)＝34＝C7 C7X0，10，50，200，且 13· C37 C37 2P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝3· C37 C37 12 4P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝34· ＝C37 C37 1 2－4 XX0P67421從而有 4

2 1

]3431214個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等312003050211018．解：Aii個(gè)紅球，BjjAi(i＝0，1，2，3) P(A1)＝34＝C7 C7X0，10，50，200，且 13· C37 C37 2P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝3· C37 C37 12 4P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝34· ＝C37 C37 1 2－4 XX0P67421從而有 4

2 1

19．K4，K6[2013·新課標(biāo)卷Ⅰ]一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任

X(單位：元)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．品全是優(yōu)質(zhì)品為A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，A1B1A2B2＝×＋× 4 1＝×＋× 4 1 1

XXP14

1

3 可以獲得2分；方案乙3

3則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)與否互不影響，結(jié)束后憑分XX≤3的 與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的為A，則A的對(duì)立為“X＝5”，因?yàn)? 4 即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為

設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期E(3X2)．由已知可得，X～B2，2，X

＝5

則A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三個(gè)兩兩互斥的

2因?yàn)镻(X＝0)＝所以 即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為、(2)設(shè)都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分X2X1，X2的分布列如下：、024P144999036P所以

×9＋

9

4

×25＝54．K6[2013·卷]已知離散型隨量X的分布列X123P35則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝( 2 2 [解析]

3

1

18．K6[2013·江西卷]小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)．游(2)求X888 8 (2)X的所有可能取值為－2，－1，0，1，X＝－22種情形；X＝18種情形；X＝－110種情形．XX01P152727 1

5

3.

×7＋16．I1，K1，K2，K6[2013·卷]下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨3131321－6設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X16．解：設(shè)Ai表示“此人于3月i日到達(dá)該市”(i＝1，2，…，13)．根據(jù)題意，P(Ai)＝1Ai∩Aj＝(i≠j)．所以 2由題意可知，X0，1，2，且 4 XX012P544故X的期望 5

4

4

] 21X的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．解：(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為A2，“隊(duì)以3∶2勝利” A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故 8， 8，

＝333 4.43－33∶0

(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為A4，

44－3

由題意，隨量X的所有可能的取值為根據(jù)的互斥性

又P(X＝1)＝P(A3) 4. 3X

X0123P所以

4 41×1

3

19．K6[2013·陜西卷]在一場(chǎng)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)112352515319．解：(1)設(shè)A表示“觀眾甲選中3號(hào)歌手B表示“觀眾乙選中3號(hào)歌手 P(A)＝2＝P(B)＝4＝CC35 CC35 ∵A與B相互獨(dú)立33 4

4＝×＝.或P(AB)＝

(2)設(shè)C表示“觀眾丙選中3號(hào)歌手 P(C)＝4＝C53C55P(X＝0)＝P(AB

4. ∴XX0123P4∴X的數(shù)學(xué)期望 4

×75＝7518．L1，K6[2013·卷]某算法的程序框圖如圖1－6所示，其中輸入的變量x在2，3，…，2424yi(i＝1，2，3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．y1y2y36…………21y1y2y37…………21n＝2100yi(i＝1，23))(3)3y2ξ的分布列及數(shù)學(xué)期1

x2，4，8，10，14，16，20，228y2

當(dāng)x從6，12，18，24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為3，故 所以，輸出y

y

y36為6

y1y2y3甲1237626972乙1269623532隨量ξ可能的取值為

83P(ξ＝0)＝C0×3×33 3P(ξ＝1)＝C1×3×33 3P(ξ＝2)＝C2×3×33

13P(ξ＝3)＝C3×3×3＝27，ξ的分布列為3ξ0123P849291所以 8 1 ×27＋×9＋×9＋ξ16．K2，K6[2013·卷]一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別1，2，3，4；白色3張，編號(hào)分別為2，3，4.從盒子中4張卡片(假設(shè)取到任何一77

2C47C4

(2)隨量X的所有可能取值為 1

4

P(X＝1)＝

，P(X＝2)＝4＝，P(X＝3)＝5＝，P(X＝4)＝6＝CCCC777777 CCCC777777

所以隨量X的分布列X1234P142747 量X的數(shù)學(xué)期望 1

4

×35＋

×7＝5將T表示為X根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T57000105X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的頻率)T的數(shù)學(xué)期望．19．解：(1)當(dāng)X∈[100，130)由(1)T5700057000依題意可得TT45536165PE(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59 條件概率與的獨(dú)立21．K7、K9[2013·卷]某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周周日各舉行一次不同的心理X.師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立的所以A與B相互獨(dú)立由于

n n

(2)k＝n時(shí)，mnnk<nm滿足k≤m≤t，其中t2kn中的較小者，由于“李老師和張老師(Ck)2nm－k

n n

此時(shí)P(X＝m)＝n ＝

n－knCn nCn當(dāng)k≤m<t時(shí) m≤2k－n＋2 .假如k≤2k－n＋2 <t成立．則當(dāng)(k＋1)2能被n＋2整除

k≤2k－ <2k＋1－

1－ P(X＝m)在m＝2k－ 下面證明k≤2k－

nn因?yàn)?≤k<n，所以2k－

而2k－

<0

<n

6．K7[2013·江蘇卷]5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，結(jié)果12345甲乙 [解析]由題知

1 甲 1＋0＋1＋4＋4)＝2s2s2 甲 16．10[解析]5x1，x2，x3，x4，x5 故4，6，7，8，1010.1X4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X20．解：(1)記A1表示“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負(fù)”，A表示“第4局甲當(dāng)裁判”．(2)X

B1表示“第1局結(jié)果為乙勝丙B3表示“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)則

] 若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利3分、對(duì)0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利2分、對(duì)1分．求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．解：(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為A2，“隊(duì)以3∶2勝利” A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故 8， 8，

＝333 4.43－33∶0

(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為A4，

44－3

由題意，隨量X的所有可能的取值為根據(jù)的互斥性

又P(X＝1)＝P(A3) 4. 3X

X0123P所以

4 41×1

3

3 可以獲得2分；方案乙3

3則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)與否互不影響，結(jié)束后憑分若選擇方案甲抽獎(jiǎng)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的 與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的為A，則A的對(duì)立為“X＝5”，因?yàn)? 4 即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為

(2)設(shè)、都選擇方案甲抽獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期E(3X2)．由已知可得，X～B2，2，X 所以

＝5

則A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三個(gè)兩兩互斥的

2因?yàn)镻(X＝0)＝所以 即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為、(2)設(shè)都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分X2X1，X2的分布列如下：、024P144999036P所以

×9＋

9

4

×25＝519．K8[2013·遼寧卷]106道甲類題，432道甲類題，1 X19．解：(1)設(shè)A＝“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，A＝3道題都是甲類題”．

6＝P(A)＝1－P(A)＝C663C66(2)X 42P(X＝0)＝C0·5·52 28P(X＝1)＝C1·5·5·5＋C05·5 57P(X＝2)＝C2·5·5·5＋C15·52

362P(X＝3)＝C2·5·5·5＝125.X的分布列為：2X0123P4285736 所以 4＋1×28＋2 57＋3

1X4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X20．解：(1)記A1表示“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負(fù)”，A表示“第4局甲當(dāng)裁判”．(2)X

B1表示“第1局結(jié)果為乙勝丙B3表示“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)則

1

]3431214個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等312003050211018．解：Aii個(gè)紅球，BjjAi(i＝0，1，2，3) P(A1)＝34＝C7 C7X0，10，50，200，且 13· C37 C37 2P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝3· C37 C37 12 4P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝34· ＝C37 C37 1 2－4 XX0P67421從而有 4

2 1

21．K7、K9[2013·卷]某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周周日各舉行一次不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由和師負(fù)責(zé)．已知該系共有n位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到．記該系