第一章 矢量分析(lsf)VIP

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電磁場與電磁波

第1章矢量分析

第一章矢量分析

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

本章內容本章重點介紹與矢量場分析有關的數(shù)學基礎內容。

矢量代數(shù)常用正交坐標系標量場的梯度矢量場的散度矢量場的旋度

拉普拉斯運算亥姆霍茲定理

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

1.1矢量代數(shù)1.1.1標量和矢量

標量與矢量標量：只有大小，沒有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等)矢量：既有大小，又有方向的物理量(作用力，電場強度、磁場強度矢量的代數(shù)表示

EHBDe矢量可表示為：AeAA其中AA為模值，表征矢量的大??；eA為單位矢量，表征矢量的方向；

F

AA

A

矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示

矢量的幾何表示

說明：矢量書寫時，印刷體為場量符號加粗，如D。教材上的矢量符號即采用印刷體。

電磁場與電磁波

第1章矢量分析z

矢量用坐標分量表示

Az

AexAxeyAyezAzAxAcosAyAcosAzAcosx

AxO

AAyy

AA(excoseycosezcos)eAexcoseycosezcos

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

1.1.2矢量的運算AexAxeyAyezAz矢量的加法和減法

BexBxeyByezBz

ABex(AxBx)ey(AyBy)ez(AzBz)說明：

1、矢量的加法符合交換律和結合律：

ABBA

(AB)CA(BC)

2、矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解：

B

AB

A

BB

AB

A

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

矢量的乘法

矢量與標量相乘

kAexkAxeykAyezkAzeAkA標量與矢量相乘改變矢量大小，方向由k的正負定。

矢量的標積(點積)

ABABcosABAxBxAyByAzBz說明：1、矢量的點積符合交換律和分派律：

B

AB

A

0

ABBA

A(BC)ABAC

2、兩個矢量的點積為標量

電磁場與電磁波

第1章矢量分析AB

矢量的矢積(叉積)

exABenABsinABAxBx

eyAyBy

ezAzBz

B

ABsin

ex(AyBzAzBy)ey(AzBxAxBz)ez(AxByAyBx)說明：1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分派律：

A

ABBA

A(BC)ABAC

2、兩個矢量的叉積為矢量3、矢量運算恒等式

A(BC)B(CA)C(AB)A(BC)B(AC)C(AB)

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

1.2三種常用的正交坐標系三維空間任意一點的位置可通過三條相互正

交線的交點

來確定。三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為

正交坐標系；三條正交線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。

電磁場與電磁波

第1章矢量分析zzz0(平面)

1.2.1直角坐標系坐標變量

x,y,zo

ez

坐標單位矢量ex,ey,ez位置矢量線元矢量

ex

P

ey點P(x0,y0,z0)

yyy0(平面)

rexxeyyezzdlexdxeydyezdz

x

xx0(平面)直角坐標系

z

dSzezdxdy

面元矢量

dSxexdlydlzexdydz

dz

dSyeydxdz

dSyeydlxdlzeydxdzdSzezdlxdlyezdxdyox

dxdydSxexdydz

y

體積元

dVdxdydz

直角坐標系的長度元、面積元、體積元

《電磁場與電磁波理論》

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

在直角坐標系中矢量的表示

例如：

《電磁場與電磁波理論》

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

位置矢量與距離矢量

場點坐標場點矢徑

源點坐標源點矢徑

《電磁場與電磁波理論》

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

位置矢量與距離矢量位置矢量——由坐標原點出發(fā)引向空間某一點的有方向線段，稱為該點的位置矢量或矢徑。

距離矢量——由源點出發(fā)引向場點的矢量稱為距離矢量。

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第1章矢量分析

1.2.2圓柱坐標系坐標變量,,z

坐標單位矢量e,e,ez位置矢量線元矢量

reezzdrededezdzdSedldlzeddzdSedldlzeddzdSzezdldlezdd圓柱坐標系

面元矢量

體積元

dVdddz圓柱坐標系中的線元、面元和體積元

電磁場與電磁波

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說明：圓柱坐標系下矢量運算方法：

AeAeAezAz

BeBeBezBz

加減：ABe(AB)e(AB)ez(AzBz)標積：AB(eAeAezAz)(eBeBezBz)

ABABAzBz

e矢積：ABA

eAB

ezAze(ABzAzB)e(AzBABz)Bzez(ABAB)

B

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第1章矢量分析

1.2.3球面坐標系坐標變量

r,,

坐標單位矢量位置矢量線元矢量面元矢量

er,e,ererrdrerdrerdersind球坐標系

dSrerdldler

r2sindddSedlrdlezrsindrddSedlrdlerdrd

體積元

dVr2sindrdd球坐標系中的線元、面元和體積元

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

說明：球面坐標系下矢量運算：

AerAreAeA

BerBreBeB

加減：ABer(ArBr)e(AB)e(AB)標積：AB(erAreAeA)(erBreBeB)

ArBrABAB

er矢積：ABAr

eAB

eAB

Br

er(ABAB)e(ABrArB)e(ArBABr)

電磁場與電磁波

第1章矢量分析ez001ezcossin0yeeyφ

1.2.4坐標單位矢量之間的關系直角坐標與圓柱坐標系

eezer

e

cossin0sincos0ex

ex

sincos0e

ey

eex

圓柱坐標與球坐標系

e

o

φ

單位圓

x直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系

ee

001ey

z

ezθθ

ere

直角坐標與球坐標系

ersincosecoscos

e

sin

ezsinsincoscossinsincos0

θ

單位圓

er

o

柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系

《電磁場與電磁波理論》電磁場與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

幾點說明：廣義坐標系廣義柱坐標系————(方向單位矢量)(方向單位矢量)

不同坐標系中的長度元、面積元和體積元。線積分或、面積分或和體積分。

不隨位置坐標而改變。隨著位置坐標的改變而改變。

三種常用的正交坐標系的相互轉換(坐標的轉換和方向矢量的轉換)。1-18

電磁場與電磁波

第1章矢量分析

三種坐標系有不同適用范圍：1、直角坐標系適用于場呈面對稱分布的問題求解，如無限大面電荷分布產(chǎn)生電場分布。

2、柱面坐標系適用于場呈軸對稱分布的問題求解，如無限長線電流產(chǎn)生磁場分布。3、球面坐標系適用于場呈點對稱分布的問題求解，如點電荷

產(chǎn)生電場分布。

《電磁場與電磁波理論》電磁場與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

物理量的分類

物理量與位置有關的量(場量)標量場(只有大小)矢量場(大小+方向)

與位置無關的量時間、長度、重量……

溫度、濕度、電位……

速度、電場、磁場……

標量場矢量場1-20

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第1章矢量分析

1.3標量場的梯度標量場和矢量場確定空間區(qū)域

上的每一點都有確定物理量與之對應，