平面幾何的復(fù)數(shù)證法8

重慶一中高2011級(jí)奧賽平幾講義 第七講 平幾的復(fù)數(shù)證法PAGEPAGE3平面幾何的復(fù)數(shù)證法一．基本知識(shí)=1\*GB4㈠復(fù)數(shù)及其定義=2\*GB4㈡復(fù)數(shù)的常用形式1．代數(shù)形式：形如；2．三角形式：形如；3．指數(shù)形式：我們把稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。=3\*GB4㈢復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則1．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則設(shè)，，其中的，則：=1\*GB2⑴加減法法則：；=2\*GB2⑵乘法法則：；=3\*GB2⑶除法法則：。2．復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則=1\*GB2⑴乘法法則：模相乘，輻角相加，即；=2\*GB2⑵除法法則：模相除，輻角相減，即；=3\*GB2⑶乘方法則：（棣莫佛公式）；=4\*GB2⑷開方法則：復(fù)數(shù)共有個(gè)次方根，它們是。3．復(fù)數(shù)的指數(shù)形式運(yùn)算法則：。=4\*GB4㈣復(fù)數(shù)與向量1．以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量與復(fù)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)；2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的幾何意義。=5\*GB4㈤常用特殊復(fù)數(shù)及其性質(zhì)1．復(fù)數(shù)=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵復(fù)數(shù)表示將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；=3\*GB2⑶兩個(gè)非零向量的充要條件是；2．復(fù)數(shù)=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵是正三角形的充要條件是。二．應(yīng)用舉例例1．求證：三角形三條中線共點(diǎn)。證明：設(shè)的三頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，為邊上的中線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。因?yàn)閺?fù)數(shù)以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別共線，故存在實(shí)數(shù)，使。消去得，故，可解得，從而。說(shuō)明交點(diǎn)與中線的選擇無(wú)關(guān)，從而得證。例2．由中心對(duì)稱的六邊形各邊向外作正三角形。求證：相鄰正三角形的新頂點(diǎn)依次的連線的中點(diǎn)構(gòu)成正六邊形。證明：如圖，以六邊形的中心為原點(diǎn)，六個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，那么，故，，故。同理可得，故是正六邊形。例3．求證：連接兩個(gè)正三角形的三對(duì)頂點(diǎn)的線段的中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。，共作2008次后又回到點(diǎn)。請(qǐng)問四點(diǎn)的關(guān)系如何？證明：設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，作次動(dòng)作后到達(dá)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則，。設(shè)，則。故，即，因此將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900即得到。例7．如圖，與反向相似，與為直角頂點(diǎn)，。設(shè)與交于，求證：。證明：如圖建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則。令交軸于，且，則，解得。同理可得與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得證。例8．已知單位圓上點(diǎn)及內(nèi)接正邊形，=1\*GB2⑴求證：為定值；=2\*GB2⑵求的最小值和最大值；=3\*GB2⑶當(dāng)為任意點(diǎn)時(shí)，求的最小值。解：=1\*GB2⑴設(shè)正邊形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，且，則（定值）；=2\*GB2⑵如圖，設(shè)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，且，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，易知，故，故當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值。當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，取得最小值；=3\*GB2⑶不限制在圓上時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在圓心處時(shí)取等號(hào)。因此所求最小值為。例9．設(shè)是的內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)，求證：=1\*GB2⑴共點(diǎn)；=2\*GB2⑵求與的面積之比。解：=1\*GB2⑴以內(nèi)切圓圓心為原點(diǎn)建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，連接，則，故，相加得，故。同理可得：。因此，從而三線共點(diǎn)；=2\*GB2⑵用面積公式可得。例10．考慮在同一平面上半徑為和（）的兩個(gè)同心圓，設(shè)是小圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，是大圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與大圓周相交于另外一點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與小圓周相交于另一點(diǎn)（如果與小圓相切于，則）。=1\*GB2⑴求的取值集合；=2\*GB2⑵求線段的中點(diǎn)的軌跡。三．練習(xí)題1．求證：在四邊形中，（定理）。2．設(shè)都是平行四邊形，求證：也是平行四邊形。3．凸四邊形對(duì)邊中點(diǎn)連線叫凸四邊形的中位線。若凸四邊形的兩條中位線的和等于周長(zhǎng)之半，求證：此四邊形是平行四邊形。4．自正五邊形的中心作邊心距，求證：。5．邊長(zhǎng)為1000的正方形所在平面另有一點(diǎn)，且。將繞順時(shí)針轉(zhuǎn)900，得到點(diǎn)，稱為對(duì)向左轉(zhuǎn)。點(diǎn)依次對(duì)向左轉(zhuǎn)，共轉(zhuǎn)11111次到達(dá)點(diǎn)，求的長(zhǎng)。6．在四邊形中，由各邊中點(diǎn)向外作垂線段，其長(zhǎng)為該邊的一半，得到四點(diǎn)，求證：且。7．求單位圓內(nèi)接凸邊形所有邊及所有對(duì)角線的平方和的最大值，此時(shí)凸邊形有什么特點(diǎn)？8．已知單位圓上一點(diǎn)及內(nèi)接正邊形，=1\*GB2⑴求證：；=2\*GB2⑵求證：；=3\*GB2⑶求證：；=4\*GB2⑷求的最大值。附：習(xí)題解答1．如圖，以為原點(diǎn)，設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為。因?yàn)椋?，從而得證。2．設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，由可得即。同理可得，故即。3．設(shè)凸四邊形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，則由題可知，又因?yàn)椋?，從而是平行四邊形?．將各邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后不變，故，從而。5．如圖建系，設(shè)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則，點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，則，按題意旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)。則，，故，從而。6．設(shè)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則，故。同理可得，故。得證。7．取圓心為原點(diǎn)建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)單位圓內(nèi)接邊形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則所求和為。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)凸邊形的重心（對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)）在圓