中考數(shù)學(xué)試題匯編-矩形菱形與正方形

矩形菱形與正方形

一、選擇題

1.（2014?安徽省，第10題4分）如圖，正方形的對角線8。長為2加,若直線/滿

足：

①點D到直線/的距離為

②小C兩點到直線/的距離相等.

則符合題意的直線/的條數(shù)為（）

考點：正方形的性質(zhì).

分析：連接"C與相交于。，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出。?！?、歷，然后根據(jù)點到直線的

距離和平行線間的距離相等解答.

解答：解：如圖，連接4c與8。相交于O,

???正方形ABCD的對角線BD長為2a,

?.OD=y[2,

直線I//AC并且到D的距離為

同理，在點O的另一側(cè)還有一條直線滿足條件，

故共有2條直線/.

故選B.

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對角線互相垂直平分，點。到。

的距離小于愿是本題的關(guān)鍵.

1

2.（2014?福建泉州，第5題3分）正方形的對稱軸的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

考點：軸對稱的性質(zhì)

分析：根據(jù)正方形的對稱性解答.

解答：解：正方形有4條對稱軸.

故選D.

點評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟記正方形的對稱性是解題的關(guān)鍵.

3.（2014?珠海，第2題3分）邊長為3a”的菱形的周長是（）

A.6cmB.9cn?C.12cmD.15cw

考點：菱形的性質(zhì).

分析：利用菱形的各邊長相等，進而求出周長即可.

解答：解：???菱形的各邊長相等，

二邊長為3cm的菱形的周長是：3x4=12Cem）.

故選：C.

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，利用菱形各邊長相等得出是解題關(guān)鍵.

4.（2014?廣西玉林市、防城港市，第6題3分）下列命題是假命題的是（）

A.四個角相等的四邊形是矩形B.對角線相等的平行四邊形是矩形

C.對角線垂直的四邊形是菱形D.對角線垂直的平行四邊形是菱形

考點：命題與定理.

分析：根據(jù)矩形的判定對/、8進行判斷：根據(jù)菱形的判定方法對C、。進行判斷.

解答：解：/、四個角相等的四邊形是矩形，所以/選項為真命題；

8、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項為真命題；

C、對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以C選項為假命題；

2

。、對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以。選項為真命題.

故選C.

點評：本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命

題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

5.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第8題3分）如圖，菱形/BCD中，對角線NC、8c相交于點O,H

為邊中點，菱形的周長為28,則。，的長等于（）

A.3.5

考點：菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理

分析：根據(jù)菱形的四條邊都相等求出工8,菱形的對角線互相平分可得

OB=OD,然后判斷出OH是△ZB。的中位線，再根據(jù)三角形的

中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得

2

解答：解：?.?菱形ZB8的周長為28,

,N8=28+4=7,OB=OD,

為/。邊中點，

：.OH是2BD的中位線，

；.OH』B」X7=3.5.

22

故選A.

點評：本題考查了菱形的對角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行

于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)

鍵.

6.（2014?襄陽，第12題3分）如圖，在矩形/SCO中，點E,F分別在邊Z8,8c上，且

AE=LB,將矩形沿直線所折疊，點8恰好落在/。邊上的點P處，連接8P交￡產(chǎn)于點°,

3

3

對于下列結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△尸8尸是等邊三角形.其中正確的

是()

A.①②

考點：翻折變換(折疊問題)；矩形的性質(zhì)

分析：求出根據(jù)翻折的性質(zhì)可得再根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊

等于斜邊的一半求出N/PE=30。，然后求出乙4￡P(guān)=60。，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出

NBEF=60。,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出ZEFB=30。，然后根據(jù)直角三角形30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半可得判斷出①正確；利用30。角的正切值

求出尸尸飛后石，判斷出②錯誤；求出8E=2EQ,EF=2BE,然后求出尸Q=3E。，判斷

出③錯誤；求出NPM=/PEB=60。，然后得到△抬廠是等邊三角形，判斷出④正確.

解答：M：'：AE=^AB,

3

:.BE=2AE,

由翻折的性質(zhì)得，PE=BE,

：.ZAPE=30°,

：.ZAEP=90°-30°=60°,

:*NBEF=1(180°-NAEP)」(180°-60°)=60°,

22

NEFB=9。。-60°=30°,

:.EF=2BE,故①正確；

,:BE=PE,

：.EF=2PE,

'：EF>PF,

：.PF>2PE,故②錯誤；

由翻折可知EFLPB,

ZEBQ=ZEFB=30°,

4

:.BE=2EQ,EF=2BE,

：.FQ=3EQ,故③錯誤；

由翻折的性質(zhì)，NEFB=NBFP=3Q°,

：.ZBFP=30°+30°=60°,

/PBF=90。-ZEBQ=90°-30°=60°,

NPBF=NPFB=60°,

二APB尸是等邊三角形，故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的是①④.

故選D.

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),

直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的

關(guān)鍵.

7.（2014?孝感，第9題3分）如圖，正方形。18c的兩邊。/、OC分別在x軸、y軸上，

點。（5,3）在邊上，以C為中心，把△CDS旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點。的對應(yīng)點O的

坐標(biāo)是（）

A.(2,10)B.(-2,0)C.(2,10)或(-2,D.(10,2)或(-2,

考點：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

分析：分順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情況討論解答即可.

解答：解：???點。（5,3）在邊48上,

：.BC=5,BD=5-3=2,

①若順時針旋轉(zhuǎn)，則點。'在x軸上，OD'=2,

所以，。（-2,0）,

5

②若逆時針旋轉(zhuǎn)，則點。'到x軸的距離為10,到y(tǒng)軸的距離為2,

所以，D'（2,10）,

綜上所述，點。的坐標(biāo)為（2,10）或（-2,0）.

故選C.

點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，難點在于分情況討論.

8.（2014?臺灣，第12題3分）如圖，。為aNBC內(nèi)部一點，E、尸兩點分別在48、BCh,

且四邊形。E8尸為矩形，直線CD交4B于G點.若CF=6,BF=9,/G=8,則△/DC的

面積為何？（）

分析：由于△ZOC=Z\4GC-Z\/Z）G,根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式計算即可求解.

解：LADC=A4GC-△ADG=3XAGXBC-；XAGXBF

=；X8X（6+9）-3x8x9=60-36=24.

故選：B.

點評：考查了三角形的面積和矩形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是活用三角形面積公式進行計算.

9.（2014?臺灣，第27題3分）如圖，矩形/8CC中，AD=3AB,。為4D中點，是半圓.甲、

乙兩人想在上取一點P,使得△P8C的面積等于矩形ABCD的面積其作法如下：

（甲）延長8。交于P點，則尸即為所求：

（乙）以/為圓心，長為半徑畫弧，交于P點，則P即為所求.

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

Bl-----------------------------'C

A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確

6

分析：利用三角形的面積公式進而得出需P，i，〃=P乙K=2/18,即可得出答案.

解：要使得△PBC的面積等于矩形ABCD的面積，

需PwH=P4K=2AB.

故兩人皆錯誤.

故選：B.

點評：此題主要考查了三角形面積求法以及矩形的性質(zhì)，利用四邊形與三角形面積關(guān)系得出

是解題關(guān)鍵.

10.（2014?浙江寧波，第6題4分）菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱形的邊長是

()

A.10B.8C.6D.5

考點：菱形的性質(zhì)；勾股定理.

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理即可求得菱形的邊長.

解答：解：?.?四邊形/8CO是菱形，AC=8,BD=6,

：.OB=OD=3,OA=OC=4,ACLBD,

在Rt/\AOB中，

由勾股定理得：4B=qAO2+0B"N42+32=，

即菱形ABCD的邊長AB=BC=CD=AD=5,

故選D.

7

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是求出。1、。8的長，

注意：菱形的對角線互相平分且垂直.

11.（2014?浙江寧波，第11題4分）如圖，正方形/5CO和正方形CMG中，點。在CG

±,BC=\,CE=3,，是力下的中點，那么C”的長是（）

考點：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理.

分析：連接/C、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,

再求出/NCF=90。，然后利用勾股定理列式求出/R再根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

解答：解：如圖，連接AC、CF,

??,正方形48C。和正方形CE尸G中，BC=\,CE=3,

：.AC=42,CF=3&,

ZACD=ZGCF=45°,

：.ZACF=90°,

由勾股定理得，”=《耽2+?產(chǎn)4圾2+（3近）2=2代,

?.?，是/斤的中點，

二尸=工2代

22

8

故選B.

點評:本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正

方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角

形是解題的關(guān)鍵.

11.（2014?呼和浩特，第9題3分）已知矩形的周長為20的，兩條對角線XC,BD

相交于點O,過點。作ZC的垂線所，分別交兩邊BC于E,尸（不與頂點重合），則

以下關(guān)于△CDE與△Z8尸判斷完全正確的一項為（）

A.△CDE與尸的周長都等于IOCTW,但面積不一定相等

B.4CDE與/X4BF全等,且周長都為10?！?/p>

C.ACDE與AABF全等,且周長都為5cs

D.4CDE與A4BF全等,但它們的周長和面積都不能確定

考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)，AO=CO,由EFLZC,得EA=EC,則△（?￡>￡'的周長是矩形周長的

一半，再根據(jù)全等三角形的判定方法可求出△COE與△/B/全等，進而得到問題答

案.

解答：解：\'AO=CO,EFLAC,

尸是/C的垂直平分線，

：.EA=EC,

：./XCDE的周長=CZ）+O￡+CE=8+Z￡）=工矩形ABCD的周長=10c?n,

2

同理可求出的周長為IOOH,

根據(jù)全等三角形的判定方法可知：ACDE與/\ABF全等,

故選B.

9

點評：本題考查了矩形的對角線互相平分的性質(zhì)，還考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等

三角形的判定方法，題目的難度不大.

12.（2014?湘潭，第7題，3分）以下四個命題正確的是（

A.任意三點可以確定一個圓

B.菱形對角線相等

C.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

D.平行四邊形的四條邊相等

考點：命題與定理

分析：利用確定圓的條件、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)分別對每個

選項判斷后即可確定答案.

解答：解：/、不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤；

8、菱形的對角線垂直但不?定相等，故錯誤；

C、正確；

。、平行四邊形的四條邊不一定相等.

故選C.

點評：本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、菱形的性質(zhì)、直角

三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，難度一般.

13.（2014?株洲，第7題，3分）已知四邊形488是平行四邊形，再從①

②NN2C=90。，③AC=BD,④四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形

是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（）

A.選①②B.選②③C.選①③D.選②④

考點：正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì).

分析：要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.

10

解答：解：/、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行

四邊形是矩形，所以平行四邊形/8CD是正方形，正確，故本選項不符合題意；

8、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是

矩形，所以不能得出平行四邊形是正方形，錯誤，故本選項符合題意；

C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是

矩形，所以平行四邊形是正方形，正確，故本選項不符合題意；

。、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊

形是菱形，所以平行四邊形488是正方形，正確，故本選項不符合題意.

故選B.

點評：本題考查了正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

14.（2014年江蘇南京，第6題，2分）如圖，在矩形/O2C中，點/的坐標(biāo)是（-2,1）,

點C的縱坐標(biāo)是4,則8、C兩點的坐標(biāo)分別是（）

A.(旦3)、(4)

23

C.(X1)、(-2,4)D.(X1)、(-X4)

423422

考點：矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)。

分析：首先過點A作ADLx軸于點D,過點B作BElx軸于點E,過點C作CFHy軸,

過點/作軸，交點為尸，易得AC4F咨ABOE,/\AOD^/\OBE,然后由相似三

角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案.

解答：過點/作軸于點。，過點8作軸于點E,過點C作C尸〃y軸，過

點力作力尸〃x軸，交點為產(chǎn)，

11

?.?四邊形/08C是矩形，，ZC〃O8,AC=OB,：.ZCAF=ZBOE,

，ZF=ZBEO=90°

在△力（7/和△O8E中，，ZCAF=ZBOE，.?.△CAFSBOE（AAS）,

,AC=OB

：.BE=CF=4-1=3,'：NAOD+NBOE=NBOE+NOBE=90。,

：.ZAOD=ZOBE,.；NADO=NOEB=90°,：./XAOD^AOBE,.,.理0,即工*,

OEBEOE3

：.OE=^,即點8（W,3）,：,AF=OE=^,

222

點C的橫坐標(biāo)為：-（2-心）=-工，...點。（-工，4）.故選B.

222

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性

質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二.填空題

1.（2014?福建泉州，第14題4分）如圖,R/A4BC中,ZACB=90°,。為斜邊的中

點，AB=l0cm,則CD的長為5cw.

考點：直角三角形斜邊上的中線.

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得C7）=LB.

2

解答：解：；N/C8=90。，。為斜邊的中點，

：.CD=^AB^\Q=5cm.

22

故答案為：5.

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.（2014年四川資陽，第15題3分）如圖，在邊長為4的正方形49C。中，E是邊上的

一點,且/E=3,點。為對角線NC上的動點，則△8E0周長的最小值為.

12

DC

考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).

分析：連接2。，DE,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點8與點。關(guān)于直線ZC對稱，故。E的長

即為BQ+QE的最小值，進而可得出結(jié)論.

解答：解：連接B。，DE,

???四邊形/BCD是正方形，

:.點B與點D關(guān)于直線AC對稱，

：.DE的長即為BQ+QE的最小值，

38。+"寸劍2+施2=在2+3冬5,

/XBEQ周長的最小值=OE+BE=5+1=6.

故答案為：6.

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2014?孝感，第16題3分）如圖，已知矩形把矩形沿直線NC折疊，點8落在

點、E處,連接。E、BE,若△N8E是等邊三角形，則必更包1.

考點：翻折變換（折疊問題）.

分析：過E作于M交。C于N,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC=/8,DC〃/8,N4BC=90°,

13

設(shè)AB=4E=BE=2a,則8c=患=看&,即初嗯/&,求出EN,根據(jù)三角形面積公

式求出兩個三角形的面積，即可得出答案.

解答:

解:

過E作于交,DC于N,

??,四邊形N8C。是矩形,

：.DC=AB,DC//AB,ZABC=90°,

：.MN=BC,

J.ENLDC,

?.?延4C折疊8和E重合，△/EB是等邊三角形，

ZEAC=ZBAC=30°,

設(shè)AB=AE=BE=2a,貝USC=-y2=-1"73c/,

即MN旦氐,

3

?.?△/BE是等邊三角形，EMA.AB,

：.AM=a,由勾股定理得：EM=^（2a）2~a2=^,

A/XDCE的面積是＞|、比＞＜硒得2"（73a-?|技）

MABE的面枳是

22

J32

Sa

AADCE3j

,△ABEV3a23

故答案為：A.

3

點評：本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題

的關(guān)鍵是求出兩個三角形的面積，題目比較典型，難度適中.

4.（2014?浙江金華，第15題4分）如圖，矩形/BCD中，AB=S,點E是4D上的一點,

有NE=4,2E的垂直平分線交8c的延長線于點尸，連結(jié)EF交8于點G,若G是C。的

14

中點，則點C的長是▲

【答案】7.

【解析】

試題分析：:G是CD的中點，即DG=CG=4,「.易證AGCF經(jīng)△GDE....€!=□￡,FG=EG

設(shè)BC=AD=x,貝IJCF=DE=x-4，.*.BF=2x-4.

在R1&DEG中，由勾股定理得EG=A/ED5+DGJ=J（x-41+4'=&*-8x+32,.-.EF='-8X+32.

...HF是BE的垂直平分線，:EF=BF,即2x-4=24,-8x+32,解得x=7.

，BC的長是7.

考點：1.矩形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.線段垂直平分線的性質(zhì):

5.方程思想的應(yīng)用.

5.（2014?泰州，第16題，3分）如圖，正方向N8CQ的邊長為3S?，E為CD邊上一點,

ZDAE=30°,M為/E的中點，過點〃作直線分別與Z。、8C相交于點P、Q.若PQ=AE,

則AP等于1或2cm.

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)：正方形的性質(zhì)；解直角三角形

分析：根據(jù)題意畫出圖形，過尸作PNL8C,交BC于點N,由為正方形，得到

AD=DC=PN,在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利

15

用勾股定理求出AE的長,根據(jù)"為/E中點求出AM的長,利用HL得到三角形ADE

與三角形尸。N全等，利用全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等得到。

NDAE=NNPQ=30°,再由尸N與。C平行，得到NPE4=NDE4=6Q°,進而得到PM垂

直于在直角三角形/PM中，根據(jù)的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出4P的

長，再利用對稱性確定出力戶的長即可.

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNJ_BC,交BC于點、N,

?.?四邊形N8CZ）為正方形，

：.AD=DC=PN,

在/?/△/￡>￡：中，ZDJ￡=30°,AD=3cm,

：.tan30°=^,BPDE=J3cm,

AD

根據(jù)勾股定理得：4E=J32_（我）2=27

?.?〃為ZE的中點，

AM=—AE=^r^cm,

2

在Rt/XADE和Rt/XPNQ中,

[AD=PN,

lAE=PQ，

：.Rt/\ADE^Rt/\PNQ（HL）,

：.DE=NQ,NDAE=/NPQ=30。,

■:PN//DC,

：.ZPFA=ZDEA=60°,

：.ZPA/F=90°,即PAM/尸,

在必△ZMP中，ZMAP=30°,cos30。出,

AP

：.AP=―^L_=^=2CW；

cos30

~2

由對稱性得到AP'=DP=AD-AP=3-2=km

綜上，/P等于lew或2cm

故答案為：1或2.

16

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

三.解答題

1.（2014?福建泉州，第20題9分）已知：如圖，在矩形488中，點E,尸分別在48,

CD邊上，BE=DF,連接CE,AF.求證：AF=CE.

考點：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題.

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC//AB,DC=AB,求出CF=AE,CF//AE,根據(jù)平行四邊形的

判定得出四邊形/9CE是平行四邊形，即可得出答案.

解答：證明：?.?四邊形/BCD是矩形，

：.DC//AB,DC=AB,

：.CF//AE,

,:DF=BE,

：.CF=AE,

：.四邊形AFCE是平行四邊形，

：.AF=CE.

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對邊相等且

平行，平行四邊形的對邊相等.

17

2.（2014?福建泉州，第25題12分）如圖，在銳角三角形紙片48C中，AC>BC,點、D,

E,尸分別在邊48,BC,CA±.

（1）已知：DE//AC,DF//BC.

①判斷

四邊形。EC尸一定是什么形狀？

②裁剪

當(dāng)/C=24cs,BC=20cm,//C8=45。時，請你探索：如何剪四邊形。ECR能使它的面積最

大，并證明你的結(jié)論；

（2）折疊

請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點。，E,C,F,使它恰好為菱形，并說明你的折法和

理由.

考點：四邊形綜合題

分析：（1）①根據(jù)有兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，②根據(jù)

△NQ尸推出對應(yīng)邊的相似比，然后進行轉(zhuǎn)換，即可得出〃與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于方的二次函數(shù)表達式，求

出頂點坐標(biāo)，就可得出面積s最大時〃的值.

（2）第一步，沿/Z8C的對角線對折，使C與C1重合，得到三角形“881,第二步,

沿81對折，使。/U881.

解答：解：⑴?"：DE//AC,DF//BC,

，四邊形DECF是平行四邊形.

②作NG_L8C,交BC于G,交DF于H,

VZACB=45°,AC=24cm

?"G=J'XAC2=12&'

骸DF=EC=x,平行四邊形的高為人

18

則/1，=12&

'：DF//BC,

.DF_12V2-h

*'BC_12V2

*.*BC=20cm,

g|J：JL=12V2-h

2012V2

.?.J0,

12近

1272-h'.><20=20/7-色③

；S=xh=x，

12V26

..bk.“20等

,:AH=12近,

：.AF=FC,

在/C中點處剪四邊形。EC凡能使它的面積最大.

（2）第一步，沿/Z8C的對角線對折，使C與G重合，得到三角形/IBB”第二步,

沿與對折，使。工」8田.

理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值.關(guān)鍵在于根據(jù)

相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達式，求出二次函數(shù)表達式，即可求出結(jié)論.

3.（2014?福建泉州，第26題14分）如圖，直線尸-x+3與x,y軸分別交于點Z,B,與

反比例函數(shù)的圖象交于點尸（2,1）.

（1）求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）設(shè)PCLy軸于點C,點N關(guān)于y軸的對稱點為4：

①求△48C的周長和sinZBA'C的值；

19

②對大于1的常數(shù)m,求x軸上的點”的坐標(biāo)，使得sin/BMC=L

考點：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；

垂徑定理；直線與圓的位置關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題；探究型.

分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式聲，然后把點P的坐標(biāo)（2,1）代入即可.

x

（2）①先求出直線尸-x+3與x、y軸交點坐標(biāo)，然后運用勾股定理即可求出△48C

的周長;過點C作CDLAB,垂足為D,運用面積法可以求出8長，從而求出sinZBA'C

的值.

②由于8c=2,因此點“在以BC為弦，半徑為機的。E上，因而點

IT

M應(yīng)是。E與x軸的交點.然后對OE與x軸的位置關(guān)系進行討論，只需運用矩形的

判定與性質(zhì)、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點”的坐標(biāo).

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式產(chǎn)k.

X

?.?點尸（2,1）在反比例函數(shù)聲的圖象上，

X

?*2xl=2.

...反比例函數(shù)的關(guān)系式尸2

X

（2）①過點C作COL48,垂足為。，如圖1所示.

當(dāng)x=0時，尸0+3=3,

則點8的坐標(biāo)為（0,3）.08=3.

當(dāng)y=0時，0=-x+3,解得x=3,

則點4的坐標(biāo)為（3,0）,OA=3.

???點/關(guān)于y軸的對稱點為H,

：.OA'=OA=3.

"C_Ly軸，點P(2,1),

20

：.OC=l,PC=2.

：.BC=2.

VZAOB=90°,OA'=OB=3,OC=\,

：.NB=3近,A'C=y[l^.

：./\A'BC的周長為3&+仍于2.

,?SA，BC=LBCM'O=L'B,CD,

22

：.BC'A'O=A'B?CD.

，2x3=3&xCD.

：.CD=42-

,：CDVA'B,

：.sinZ.BA'c=-^-=2^^.

AyCV105_

△48C的周長為3&+伍+2,si〃N84C的值為近.

5

②當(dāng)1＜相＜2時，

作經(jīng)過點8、C且半徑為"的。E,

連接CE并延長，交。E于點尸，連接8尸，

過點E作EGLOB,垂足為G,

過點E作即，x軸，垂足為，，如圖2①所示.

是。E的直徑，

NPBC=9Q°.

：.sinNBPC=^=~^i.

PC2irir

:sinNBMC」,

IT

???ZBMC=ZBPC.

???點M在。E上.

丁點”在x軸上

???點M是。E與x軸的交點.

V￡G±BC,

：.BG=GC=\.

：.OG=2.

21

?/NEHO=NGOH=NOGE=90。,

???四邊形OGEH是矩形.

:?EH=OG=2,EG=OH.

Vl<w<2,

：.EH>EC.

:.QE與x軸相離.

軸上不存在點M,使得

IT

②當(dāng)機=2時，EH=EC.

...OE與x軸相切.

I,切點在x軸的正半軸上時，如圖2②所示.

...點M與點”重合.

'：EG±OG,GC=1,EC=m,

￡G=7EC2-GC2^-

:.OM=OH=EG=4Z.

.?.點M的坐標(biāo)為（百，0）.

II.切點在x軸的負(fù)半軸上時，

同理可得：點”的坐標(biāo)為（-肩0）.

③當(dāng)m>2時，EH<EC.

.?.OE與x軸相交.

I.交點在x軸的正半軸卜.時，

設(shè)交點為M、M,連接如圖2③所示.

；NEHM=90。,EM=m,EH=2,

；?^VEM2-EH2=7m2-22=7m2-4-

:.MH=MH.

??^=Vw2-4-

VZ￡GC=90°,GC=1,EC=m,

￡G=7EC2-GcWm2-l^Vm2-1-

22

：.OH=EG=y/rTT1.

???OM=OH-_i-7m2_4＞

。"=。，+，材=、2.1+42一4,

2

AM（^ro-1--4＞°）、“3m2_]+{m2_4,0）.

II.交點在x軸的負(fù)半軸上時，

同理可得:M（一癡三+《不,0）、時（-*不汗/0）.

綜上所述：當(dāng)1＜相＜2時;滿足要求的點A/不存在；

當(dāng)機=2時，滿足要求的點M的坐標(biāo)為（遙，0）和（-A/3,0）；

當(dāng)機＞2時，滿足要求的點”的坐標(biāo)為（47二二Z，。）、

（7m2-1+Vm2-4）°）、（-7m2-l+7m2-4,°）、（-7m2-1-7m2"4,0”

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形

的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三角形的

23

高，考查了通過構(gòu)造輔助圓解決問題，綜合性比較強，難度系數(shù)比較大.由BC=2,

聯(lián)想到點M在以BC為弦，半徑為m的。E上是解決本題的關(guān)鍵.

IT

4.（2014?廣東，第25題9分）如圖，在△/8C中，AB=AC,于點。，BC=\Ocm,

ZZ>8CT?.點P從點8出發(fā)，在線段8c上以每秒3CTH的速度向點C勻速運動，與此同時，

垂直于AD的直線m從底邊8c出發(fā)，以每秒2an的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、

AC.4D于E、F、H,當(dāng)點尸到達點C時、點P與直線機同時停止運動，設(shè)運動時間為/

秒（r>0）.

（1）當(dāng)片2時，連接。E、DF,求證：四邊形/￡■￡）尸為菱形；

（2）在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△尸瓦'的面積最大時，求

線段2P的長：

（3）是否存在某一時刻/，使△尸跖為直角三角形？若存在，請求出此時刻，的值；若不存

在，請說明理由.

考點：相似形綜合題.

分析：（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；

（2）如答圖2所示，首先求出尸的面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求

解；

（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解.

解答：（1）證明：當(dāng)t=2時，DH=4H=2,則，為4。的中點，如答圖1所示.

又：后產(chǎn)，/。，,所為的垂直平分線，.AF=DF.

"：AB=AC,于點。，：.ADA.BC,ZB=ZC.

J.EF//BC,：.ZAEF=ZB,NAFE=NC,

；.NAEF=N4FE,.,.AE=AF,

：.AE=AF=DE=DF,即四邊形AEDF為菱形.

24

:.AAEFSAABC,

...壁y,艮您=8-2t,解得：EF=10-呂.

BCAD1082

SAPEF=\EF-DH=4(10-鳥)>2(=-52+io片-5(/-2)2+10

22222

...當(dāng)片2秒時，SAPM存在最大值，最大值為10,此時8P=3/=6.

(3)解：存在.理由如下：

①若點E為直角頂點，如答圖3①所示，

此時PE〃/。，PE=DH=2t,BP=3t.

〃月。，.?.罵埋，即至二1,此比例式不成立，故此種情形不存在;

ADBD85

②若點F為直角頂點，如答圖3②所示，

此時PE〃力。，PF=DH=2t,BP=3t,CP=}0-3t.

?:PF"AD,.?.史￥，即至J。二3t,解得片92；

ADCD8517

過點E作EMI.BC于點M,過點尸作FN±BC于點N,則EM=FN=DH=2t,

EM//FN//AD.

/〃4。，.?.典型，即21日，解得

ADBD854

25

：.PM=BP-BM=3t-

44

在中，由勾股定理得：PF=E"+PA/=⑵）2+（1（）2=11當(dāng).

416

'：FN//AD,即生￡,解得CAfe島，

ADCD854

:.PN=BC-BP-CN=10-3t-3=10-AZ/.

44

2

在RtMNP中,由勾股定理得：尸尸=汽/內(nèi)必/=（2?），（10-II/）=^§3/2,85/+100

416

在R/APEF中,山勾股定理得：EF^PE^+PF2,

即：（10-&）2=（H^/2）+-85/+100）

21616

化簡得：2%2_35片0,

8

解得：片儂或/=0（舍去）

183

?/=280

,,183'

綜上所述，當(dāng)屋秒或/=2?秒時，APEF為直角三角形.

17183

點評：本題是運動型綜合題，涉及動點與動線兩種運動類型.第（1）問考查了菱形的定義;

第（2）問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問考查了相似三

角形、勾股定理、解方程等知識點，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

5.（2014?珠海，第21題9分）如圖，在正方形中，點￡在邊NQ上，點尸在邊

8c的延長線上，連結(jié)環(huán)與邊8相交于點G,連結(jié)8E與對角線ZC相交于點〃，AE=CF,

BE=EG.

(1)求證：EF//AC-,

(2)求NBEF大小;

(3)求證：期=-----

GFl+tanl5

26

考點：四邊形綜合題

分析：(1)根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定.

(2)先確定三角形GW是等腰直角三角形，得出CG=AE,然后通過名ABCG,

得出BE=BG=EG,即可求得.

(3)因為三角形8EG是等邊三角形，ZABC=90°,ZABE=ZCBG,從而求得

ZABE=15°,然后通過求得△///BSAFGB,即可求得.

解答：解：(1)???四邊形N8CD是正方形，

J.AD//BF,

,:AE=CF,

...四邊形ZCFE是平行四邊形，

：.EF//AC,

(2)連接BG,

,.'EF//AC,

：.ZF=ZACB=45°,

'：NGC尸=90。，

ZCGF=ZF=45°,

：.CG=CF,

；AE=CF,

：.AE=CG,

在△8/E與ABCG中，

fAB=BC

<ZBAE=ZBCG=90°，

AE=CG

:.ABAE妥4BCG(SAS)

：.BE=BG,

'：BE=EG,

.二△BEG是等邊三角形，

NBEF=60°,

(3),:△BAE/ABCG,

ZABE=ZCBG,

27

,/ZBAC=^F=45°,

：.△AHBs/\FGB,

.但些L1_1_1_1

"GFBFBEBC+CFAB+AEAE1+tanZABE

ABABABAB

?:NEBG=60o/ABE=NCBG,48C=90°,

：.ZABE=\50,

?AIL1

,?而l+tanl5°

點評：本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，求得三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，

相似三角形的判定及性質(zhì)，連接BG是本題的關(guān)鍵.

6.(2014?廣西玉林市、防城港市，第25題10分)如圖，在正方形/8C。中，點M是BC

邊上的任一點，連接并將線段繞〃順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MN,在CD邊上取點

P使CP=BM,連接NF,BP.

(1)求證：四邊形8MV尸是平行四邊形；

(2)線段MN與CD交于點、Q,連接若△,MCQS&4MQ,則8M與MC存在怎樣的

數(shù)量關(guān)系？請說明理山.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得/8=8C,ZABC=ZB,然后利用“邊角邊"證明和

△BCP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得力“8兒ZBAM=ZCBP,再求出

AMLBP,從而得到MV〃BP,然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

28

證明即可；

(2)根據(jù)同角的余角相等求出NA4止NCM0,然后求出△力和△朋CQ相似，根

據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得返理，再求出根據(jù)相似三角形

MCMQ

對應(yīng)邊成比例可得里理，從而得到延細(xì)，即可得解.

BMMQMCBM

解答：(1)證明：在正方形438中，AB=BC,NABC=NB,

在△/8A7和△BC尸中，

rAB=BC

■NABC=/B，

CP=BM

:./\ABM且ABCPCSAS),

：.AM=BP,NBAM=NCBP,

,：NBAM+N4MB=90。,

：.NCBP+NAMB=90。,