高中數(shù)學(xué)-楊輝三角中的一些秘密教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

“楊輝三角”一、【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn):探索“楊輝三角”中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。難點(diǎn):結(jié)合楊輝三角，理解增減性與最大值時(shí)，根據(jù)奇偶性確定分界點(diǎn)，利用賦值法研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn):1.“楊輝三角”;2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。能力點(diǎn):．在探索過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、概括的能力。教育點(diǎn):體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找聯(lián)系，探究證明，性質(zhì)運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程。自主探究點(diǎn):通過(guò)寫(xiě)出時(shí)的二項(xiàng)式系數(shù),探究出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);以已知探求未知，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法．考試點(diǎn):解決與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題．易錯(cuò)易混點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.拓展點(diǎn):求項(xiàng)的系數(shù)的最大項(xiàng)的方法.二、【復(fù)習(xí)引入】【創(chuàng)設(shè)情景】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理,即:.二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些?共有多少個(gè)?下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)?我們先通過(guò)觀察為特殊值時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)?探究1:試計(jì)算下列各展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù):展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)11121213133141464151510105161615201561通過(guò)計(jì)算你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)二項(xiàng)式的次數(shù)不大時(shí),可直接寫(xiě)出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).通過(guò)計(jì)算填表,使學(xué)生建立“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)之間關(guān)系的直覺(jué),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．分析:從表中可以發(fā)現(xiàn),每一行的系數(shù)具有對(duì)稱性.為了更好地研究系數(shù)的關(guān)系,我們將上表寫(xiě)成如下形式:類似上面的表,早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了,這個(gè)表稱為楊輝三角.在書(shū)中,還說(shuō)明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和,楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書(shū),且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它.在歐洲,這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（BlaisePascal,1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的,他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右,由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角模型楊輝楊輝三角模型楊輝【設(shè)計(jì)意圖】了解“楊輝三角”的歷史背景、地位和作用,探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律.讓學(xué)生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就及其數(shù)學(xué)美,激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.三、【探究新知】我們結(jié)合楊輝三角,很容易得到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):（1）對(duì)稱性.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等..（2）增減性與最大值.當(dāng)是偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)取得最大值;當(dāng)是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng),相等,且同時(shí)取得最大值.（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和.,這就是說(shuō),展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于.（4）（5）【設(shè)計(jì)意圖】由于二項(xiàng)式系數(shù)組成的數(shù)列是一個(gè)離散函數(shù),所以我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從特殊值的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).學(xué)生觀察分析圖象性質(zhì),這樣處理便于建立知識(shí)的前后聯(lián)系。使學(xué)生知識(shí)研究問(wèn)題的方法,體會(huì)由特殊到一般的化歸思想,提高學(xué)生合作意識(shí).四、【理解新知】1.由“楊輝三角”可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),同時(shí)當(dāng)二項(xiàng)式乘方次數(shù)不大時(shí),可借助于它直接寫(xiě)出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).2.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大.3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和為,即,其推導(dǎo)方法為“賦值法”.（4）（5）【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解提升一個(gè)高度.為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊.五、【運(yùn)用新知】題型一:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)例1．在的展開(kāi)式中,(1)若第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第13項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求n;(2)若只有第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求n.(3)若第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求n.分析:求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)本例一是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)對(duì)稱性的應(yīng)用,二是明確展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).變式訓(xùn)練:在的展開(kāi)式中,求:(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?題型二:二項(xiàng)式系數(shù)奇偶項(xiàng)關(guān)系例1．．在的展開(kāi)式中,證明(1)(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.3）求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和分析:奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為;偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為.由于中的可以取任意實(shí)數(shù),因此我們可以通過(guò)對(duì)適當(dāng)賦值來(lái)得到上述兩個(gè)系數(shù)和.教師板書(shū)求解過(guò)程:在展開(kāi)式中,令,則，即，所以,，【設(shè)計(jì)意圖】本例題是在二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步探討二項(xiàng)式系數(shù)奇項(xiàng)偶像的關(guān)系,并體現(xiàn)了賦值法的應(yīng)用.變式訓(xùn)練:證明:(為偶數(shù)).題型三:求二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)的和例2．已知,求:(1);(2);(3);.分析：本例主要是借助賦值法,求解二項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系.常用的賦值有等.要把“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)和”,“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開(kāi)來(lái),“賦值法”是求系數(shù)和的常規(guī)方法之一,它適用于恒等式.教師板書(shū)求解過(guò)程:(1)當(dāng)時(shí),,展開(kāi)式右邊為所以,;(2)令,①令,②由①②得:,所以.(3)由①+②得.(4)當(dāng)時(shí),,所以.(5)解法一:由,令,得,所以,.解法二:由展開(kāi)式知:均為負(fù),均為正,由(2)中①+②得:,所以,，因此,方法小結(jié):“賦值法”是解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題常用的方法,根據(jù)題目要求,靈活賦給字母所取得不同值,一般的要使展開(kāi)式中的項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成系數(shù)的關(guān)系,令可得出常數(shù)項(xiàng),令可得所有項(xiàng)系數(shù)之和,令可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差.變式訓(xùn)練:若.求:(1)(2)六、【課堂小結(jié)】教師引導(dǎo)師生共同總結(jié):1．“楊輝三角”的性質(zhì):(1)在同一行中,每行兩端都是,與這兩個(gè)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等;(2)在相鄰的兩行中,除外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.（3）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).即:對(duì)稱性、單調(diào)性與最值、二項(xiàng)式系數(shù)的和.（4）二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù),它有三條性質(zhì),要理解和掌握好,同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別,不能混淆,只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng),而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng),尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題的重要手段.2．?dāng)?shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般的思想．3.數(shù)學(xué)方法：賦值法。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課堂的整理、總結(jié)與反思,使學(xué)生更好的掌握主干知識(shí),體會(huì)探究過(guò)程中滲透的數(shù)學(xué)思想方法,再次感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就,激勵(lì)自己努力學(xué)習(xí).七、【布置作業(yè)】必做題：1．填空:（1）的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是______;（2）若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和,則的值為_(kāi)_____;（3）,則的值等于______.2.若對(duì)任意實(shí)數(shù),有,求的值.3.在的展開(kāi)式中,求:（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和;（2）各項(xiàng)系數(shù)的和;（3）所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;（4）各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的和.必做題答案：1．（1）;（2）;（3）.2．;3.（1）;（2）;（3）;（4）.選做題：1．的展開(kāi)式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).2．的展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)之和是?3．,求的值選做題答案：1．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為;系數(shù)最大的項(xiàng)為;2．;3．.【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)了分層、有梯度的教學(xué)，學(xué)生動(dòng)手練習(xí),加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).同時(shí)由于此題難度不太大，對(duì)基礎(chǔ)中下的學(xué)生還可起到激發(fā)信心的作用，拓展智能.八、【教后反思】1．本節(jié)課的亮點(diǎn):本節(jié)課將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來(lái),主要是因?yàn)椤皸钶x三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容,由它可以直接看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).這個(gè)過(guò)程中既讓學(xué)生獲得了關(guān)于新知的內(nèi)容,更可貴的是讓學(xué)生體會(huì)到如何研究一個(gè)新問(wèn)題,即探究方法的體驗(yàn)與感知.同時(shí)也滲透了賦值法、歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神,積累了探究經(jīng)驗(yàn).通過(guò)例題的講解,變式訓(xùn)練的加強(qiáng),作業(yè)的鞏固,絕大多數(shù)同學(xué)已經(jīng)掌握了二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容.2．不足之處：一是本教案容量較大,對(duì)于一些題目的運(yùn)算有些同學(xué)一時(shí)還達(dá)不到,課下在了解方法的前提下學(xué)生多訓(xùn)練一下運(yùn)算能力.盡量達(dá)到會(huì)而不錯(cuò)的境界.九、【板書(shū)設(shè)計(jì)】1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一、引入新課二、探究新知1.對(duì)稱性2.單調(diào)性與最值3.二項(xiàng)式系數(shù)和三、理解新知：四、運(yùn)用新知例1:變式訓(xùn)練例2:變式訓(xùn)練例3:變式訓(xùn)練五、課堂小結(jié)1．知識(shí)：2．思想：六、布置作業(yè)必做題：1.2.3.選做題：1.2.3.學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只有全面了解學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的需求，才能在教學(xué)上做到有的放矢，游刃有余。本節(jié)課授課班級(jí)為普通理科班,一部分學(xué)生本身自制力差，學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，學(xué)習(xí)興趣不濃。不愿思考問(wèn)題，上課開(kāi)小差，依賴?yán)蠋熤v解，依賴同學(xué)的幫助，作業(yè)抄襲等等不良現(xiàn)象。少部分學(xué)生有主動(dòng)學(xué)習(xí)的行為，比較喜歡上數(shù)學(xué)課，學(xué)習(xí)熱情也很高，和老師常交流。我認(rèn)為改變學(xué)生應(yīng)該首先抓學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法。讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要性，數(shù)學(xué)會(huì)提高大家對(duì)問(wèn)題思維能力，分析判斷能力，解決問(wèn)題的能力。再教學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一次慢慢提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和方法。其次加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)。了解到學(xué)生目前的學(xué)習(xí)情況，大部分學(xué)生對(duì)初中的相關(guān)知識(shí)掌握不好，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)。多表?yè)P(yáng)、多鼓勵(lì)。對(duì)于課堂上踴躍發(fā)言和積極進(jìn)步的學(xué)生要及時(shí)表?yè)P(yáng)。并鼓勵(lì)其他同學(xué)向他學(xué)習(xí)，增加自信心。效果分析對(duì)于這節(jié)課的效果，我做以下分析，本節(jié)成功方面有：教師為主導(dǎo)。本節(jié)教師的導(dǎo)，學(xué)生的嘗試，都能遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。通過(guò)教師的引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)地獲的知識(shí)。以舊拓新，激發(fā)興趣，啟迪思維，引導(dǎo)學(xué)生自己探索知識(shí)，正確處理教與學(xué)的關(guān)系。如分析楊輝三角時(shí)，給出圖表，問(wèn)可以發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)。學(xué)生通過(guò)對(duì)舊知識(shí)的認(rèn)識(shí)，可以嘗試得出結(jié)論。又如分析二項(xiàng)式的性質(zhì)2時(shí)，通過(guò)對(duì)圖表和圖象的認(rèn)識(shí)，得出結(jié)論———先增后減。那么，最大值就是關(guān)鍵，如何求最大值。學(xué)生可以根據(jù)以有的知識(shí)，嘗試結(jié)論，并驗(yàn)證結(jié)論，最后總結(jié)規(guī)律。完成學(xué)習(xí)要求。學(xué)生為主體。教學(xué)中每一步都充分激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)部動(dòng)機(jī)，有利于在新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)上展開(kāi)教育。因而注意在關(guān)鍵處提出一些問(wèn)題，且內(nèi)容恰當(dāng)，難易適度，并富于思考性，易調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性。讓學(xué)生主動(dòng)探索出解決問(wèn)題的一般規(guī)律，同時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的歸納思維能力。練習(xí)為主線，習(xí)題的多樣性,為學(xué)生設(shè)計(jì)多層次習(xí)題，讓所有學(xué)生嘗試思維情景，讓學(xué)生看有所思，練有所想。本節(jié)課的不足之處也有很多，主要有以下幾點(diǎn)：讓學(xué)生更多的參與進(jìn)來(lái)。如例題的回答過(guò)程，板書(shū)過(guò)程，可以讓學(xué)生上黑板來(lái)完成。習(xí)題設(shè)計(jì)再多樣化，，讓所有學(xué)生都有所收獲.加強(qiáng)基本功練習(xí)，普通話，板書(shū)。教姿，教態(tài)，改變自己的隨意性。教材分析

1．“楊輝三角”的內(nèi)涵實(shí)際上就是二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其內(nèi)容豐富，值得學(xué)生深入探討。對(duì)于楊輝三角所蘊(yùn)含的規(guī)律，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，而難點(diǎn)就在于如何把學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行歸納，進(jìn)而推理論證，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)。本節(jié)課利用了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，把對(duì)觀察得到的規(guī)律的證明化歸為組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用上。

2．本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容屬于事實(shí)性知識(shí)，其特點(diǎn)是易懂難記，難于上升到理性的解釋。

3．本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、組合及組合數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，又具體學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。4．從知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的角度上看，學(xué)生可以從直觀上很好地觀察發(fā)現(xiàn)楊輝三角中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律，但對(duì)于高二的學(xué)生，他們思考問(wèn)題的思維已經(jīng)不僅僅滿足于“知其然”，他們更渴望的是“知其所以然”，在老師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥下，學(xué)生能很自然地聯(lián)系到上位知識(shí)，即組合數(shù)的性質(zhì)與二項(xiàng)式系數(shù)的聯(lián)系，通過(guò)師生合作完成知識(shí)發(fā)展過(guò)程的探究，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也體現(xiàn)了互助學(xué)習(xí)的價(jià)值觀教育。必做題：1．填空:（1）的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是______;（2）若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和,則的值為_(kāi)_____;（3）,則的值等于______.2.若對(duì)任意實(shí)數(shù),有,求的值.3.在的展開(kāi)式中,求:（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和;（2）各項(xiàng)系數(shù)的和;（3）所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;（4）各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的和.必做題答案：1．（1）;（2）;（3）.2．;3.（1）;（2）;（3）;（4）.選做題：1．的展開(kāi)式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).2．的展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)之和是?3．,求的值選做題答案：1．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為;系數(shù)最大的項(xiàng)為;2．;3．.【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)了分層、有梯度的教學(xué)，學(xué)生動(dòng)手練習(xí),加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).同時(shí)由于此題難度不太大，對(duì)基礎(chǔ)中下的學(xué)生還可起到激發(fā)信心的作用，拓展智能.1．本節(jié)課的亮點(diǎn):本節(jié)課將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來(lái),主要是因?yàn)椤皸钶x三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容,由它可以直接看出二項(xiàng)