相關(guān)與回歸分析

相關(guān)與回歸分析第1頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一第7章相關(guān)與回歸分析7.1相關(guān)分析7.2一元線性回歸分析7.3線性回歸的顯著性檢驗與回歸預(yù)測7.4多元線性回歸分析(自學(xué)）第2頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一實例1:中國婦女生育水平的決定因素是什么?婦女生育水平除了受計劃生育政策影響以外，還可能與社會、經(jīng)濟(jì)、文化等多種因素有關(guān)。1.影響中國婦女生育率變動的因素有哪些？2.各種因素對生育率的作用方向和作用程度如何？3.哪些因素是影響婦女生育率主要的決定性因素？4.如何評價計劃生育政策在生育水平變動中作用？5.計劃生育政策與經(jīng)濟(jì)因素比較,什么是影響生育率的決定因素？6.如果某些地區(qū)的計劃生育政策及社會、經(jīng)濟(jì)、文化等因素發(fā)生重大變化，預(yù)期對這些地區(qū)的婦女生育水平會產(chǎn)生怎樣的影響？第3頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一據(jù)世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計，全球肥胖癥患者達(dá)3億人，其中兒童占2200萬人，11億人體重過重。肥胖癥和體重超常早已不是發(fā)達(dá)國家的“專利”，已遍及五大洲。目前，全球因“吃”致病乃至死亡的人數(shù)已高于因饑餓死亡的人數(shù)。(引自《光明日報》劉軍/文）問題:

肥胖癥和體重超常與死亡人數(shù)真有顯著的數(shù)量關(guān)系嗎?這些類型的問題可以運用相關(guān)分析與回歸分析的方法去解決。實例2:全球吃死的人比餓死的人多?相關(guān)和回歸分析是研究事物的相互關(guān)系、測定它們聯(lián)系的緊密程度、揭示其變化的具體形式和規(guī)律性的統(tǒng)計方法，是經(jīng)濟(jì)分析、預(yù)測和控制的重要工具。第4頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一相關(guān)分析與回歸分析相關(guān)分析：用一個指標(biāo)（相關(guān)系數(shù)）來表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度的方法回歸分析：根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型，來近似地表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系的方法相關(guān)與回歸分析是研究變量之間不確定性統(tǒng)計關(guān)系的重要方法。相關(guān)分析主要是判斷兩個或兩個以上變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，并分析變量間相關(guān)關(guān)系的形態(tài)和程度?；貧w分析主要是對存在相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象間數(shù)量變化規(guī)律性的測定第5頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一3.相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別相關(guān)分析研究隨機變量之間相互依存關(guān)系的方向和密切程度。直線相關(guān)用相關(guān)系數(shù)，曲線相關(guān)用相關(guān)指數(shù)表示?；貧w分析研究某一因變量與一個或多個自變量之間數(shù)據(jù)關(guān)系變動趨勢的方法。用回歸方程表示。相關(guān)分析研究的都是隨機變量，不用區(qū)分因變量和自變量回歸分析研究時，要定出因變量和自變量。其中，自變量是確定的普通變量，因變量是隨機變量。普通變量取值的唯一確定。對于隨機變量來說，最關(guān)鍵的地方就是它的取值情況的不唯一，當(dāng)事情發(fā)生時，可能出現(xiàn)多種結(jié)果。如：擲一枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果這一變量來說，它就是隨機變量，因為它會有兩種結(jié)果出現(xiàn)，正面或反面。第6頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一4.相關(guān)關(guān)系與回歸分析的聯(lián)系相關(guān)和回歸是研究事務(wù)兩個不可分割的方面。二者具有共同的研究對象，而且在具體應(yīng)用時，常常必須互相補充。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表明現(xiàn)象數(shù)量變化的相關(guān)程度。只有當(dāng)變量之間存在著高度相關(guān)時，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。第7頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一5.相關(guān)與回歸分析的作用認(rèn)識現(xiàn)象之間相關(guān)形式、方向、相關(guān)程度。對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行推算和預(yù)測?？捎糜谘a充缺少的資料。第8頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一6.相關(guān)分析和回歸分析的任務(wù)

相關(guān)分析的主要內(nèi)容揭示現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系。確定相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式。確定現(xiàn)象變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度和方向。回歸分析的主要內(nèi)容建立相關(guān)關(guān)系的回歸方程。測定因變量的估計值與估計值的誤差程度。第9頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一7.相關(guān)分析與回歸分析的步驟進(jìn)行相關(guān)關(guān)系的定性分析確定回歸方程計算相關(guān)系數(shù)或相關(guān)指數(shù)，對回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗。利用回歸方程式進(jìn)行推算和預(yù)測對推算和預(yù)測作出置信區(qū)間估計。第10頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一7.1相關(guān)分析7.1.1相關(guān)關(guān)系的概念7.1.2相關(guān)系數(shù)7.1.3斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)第11頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一相關(guān)關(guān)系的概念第12頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一變量之間的關(guān)系(函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系)設(shè)有兩個變量x和y，當(dāng)自變量x取某個數(shù)值時，

因變量y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量。我們稱這種關(guān)系為確定性的函數(shù)關(guān)系。1、函數(shù)關(guān)系xy一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系第13頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一2、相關(guān)關(guān)系xy當(dāng)一個或幾個相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應(yīng)的另一個變量的值雖然不確定，但它仍然按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化，變量間的這種關(guān)系，被稱為相關(guān)關(guān)系。變量之間的函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。第14頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一⒈出租汽車費用與行駛里程：總費用=行駛里程每公里單價⒉家庭收入與恩格爾系數(shù)：家庭收入高，則恩格爾系數(shù)低。函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）比較下面兩種現(xiàn)象間的依存關(guān)系第15頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別函數(shù)關(guān)系是變量之間的一種嚴(yán)格、完全確定性的關(guān)系，即一個變量的數(shù)值完全由另一個（或一組）變量的數(shù)值所決定、控制。函數(shù)關(guān)系通?？梢杂脭?shù)學(xué)公式確切地表示出來。相關(guān)關(guān)系難以像函數(shù)關(guān)系那樣，用數(shù)學(xué)公式去準(zhǔn)確表達(dá)。第16頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系由于客觀上常會出現(xiàn)觀察或測量上的誤差等原因，函數(shù)關(guān)系在實際工作中往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來。當(dāng)人們對某些現(xiàn)象內(nèi)部規(guī)律有較深刻認(rèn)識時，相關(guān)關(guān)系可能變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系。為此，在研究相關(guān)關(guān)系時，又常常使用函數(shù)關(guān)系作為工具，用一定的函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)相關(guān)關(guān)系的數(shù)量聯(lián)系。第17頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一從涉及的變量數(shù)量看簡單相關(guān)（單相關(guān)，一元相關(guān)）多重相關(guān)（復(fù)相關(guān)、多元相關(guān)）從變量相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式看線性相關(guān)——散布圖接近一條直線(左圖)非線性相關(guān)——散布圖接近一條曲線(右圖)二、相關(guān)關(guān)系的類型第18頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

從變量相關(guān)關(guān)系變化的方向看正相關(guān)——變量同方向變化A同增同減(A)負(fù)相關(guān)——變量反方向變化一增一減(B)B從變量相關(guān)的程度看完全相關(guān)(B)不完全相關(guān)(A)不相關(guān)(C)C

第19頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一不完全相關(guān)完全相關(guān)不相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)復(fù)相關(guān)單相關(guān)直線相關(guān)曲線相關(guān)根據(jù)變量間相互關(guān)系的表現(xiàn)形式劃分根據(jù)自變量的多少劃分根據(jù)相關(guān)關(guān)系的方向劃分根據(jù)相關(guān)關(guān)系的程度劃分相關(guān)關(guān)系的種類相關(guān)關(guān)系的種類第20頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一1、不相關(guān)。如果變量間彼此的數(shù)量變化互相獨立，則其關(guān)系為不相關(guān)。自變量x變動時，因變量y的數(shù)值不隨之相應(yīng)變動。例如，產(chǎn)品稅額的多少與工人的出勤率、家庭收入多少與孩子的多少之間都不存在相關(guān)關(guān)系。2、完全相關(guān)。如果一個變量的變化是由其他變量的數(shù)量變化所唯一確定，此時變量間的關(guān)系稱為完全相關(guān)。即因變量y的數(shù)值完全隨自變量x的變動而變動，它在相關(guān)圖上表現(xiàn)為所有的觀察點都落在同一條直線上，這種情況下，相關(guān)關(guān)系實際上是函數(shù)關(guān)系。所以，函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一種特殊情況。3、不完全相關(guān)。如果變量間的關(guān)系介于不相關(guān)和完全相關(guān)之間，則稱為不完全相關(guān)。如婦女的結(jié)婚年齡與受教育程度之間的一種關(guān)系。大多數(shù)相關(guān)關(guān)系屬于不完全相關(guān)，是統(tǒng)計研究的主要對象根據(jù)相關(guān)關(guān)系的程度劃分第21頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一1、正相關(guān)。指兩個因素（或變量）之間的變化方向一致，都是呈增長或下降的趨勢。即自變量x的值增加（或減少），因變量y的值也相應(yīng)地增加（或減少），這樣的關(guān)系就是正相關(guān)。例如，工業(yè)總產(chǎn)值增加，企業(yè)稅利總額也隨之增加；家庭消費支出隨收入增加而增加等。2、負(fù)相關(guān)。指兩個因素或變量之間變化方向相反，即自變量的數(shù)值增大（或減?。?，因變量隨之減?。ɑ蛟龃螅?。如勞動生產(chǎn)率提高，產(chǎn)品成本降低；產(chǎn)品成本降低，企業(yè)利潤增加等。根據(jù)相關(guān)關(guān)系的方向劃分第22頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一1、單相關(guān)。兩個因素之間的相關(guān)關(guān)系叫單相關(guān)，即研究時只涉及一個自變量和一個因變量。2、復(fù)相關(guān)。三個或三個以上因素的相關(guān)關(guān)系叫復(fù)相關(guān)，即研究時涉及兩個或兩個以上的自變量和因變量。根據(jù)自變量的多少劃分第23頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一1、直線相關(guān)（或線性相關(guān)）。當(dāng)相關(guān)關(guān)系的自變量x發(fā)生變動，因變量y值隨之發(fā)生大致均等的變動，從圖像上近似地表現(xiàn)為直線形式，這種相關(guān)通稱為直線（或線性）相關(guān)。例如，銷售量與銷售額之間就呈直線相關(guān)關(guān)系。2、曲線（或非線性）相關(guān)。在兩個相關(guān)現(xiàn)象中，自變量x值發(fā)生變動，因變量y也隨之發(fā)生變動，這種變動不是均等的，在圖像上的分布是各種不同的曲線形式，這種相關(guān)關(guān)系稱為曲線（或非線性）相關(guān)。曲線相關(guān)在相關(guān)圖上的分布，表現(xiàn)為拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線等非直線形式。例如，從人的生命全過程看，年齡與醫(yī)療費支出呈非線性相關(guān)。根據(jù)變量間相互關(guān)系的表現(xiàn)形式劃分第24頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一三、相關(guān)表、相關(guān)圖在進(jìn)行詳細(xì)的定量分析之前，一般可先利用相關(guān)表、相關(guān)圖對現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系做大致判斷可支配收入5005806008001000消費支出450500520600650表1居民消費和收入的相關(guān)表單位：元相關(guān)表是一種反映變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計表。將某一變量按其取值的大小排列，然后再將與其相關(guān)的另一變量的對應(yīng)值平行排列，便可得到簡單的相關(guān)表。第25頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

例：為了研究分析某種勞務(wù)產(chǎn)品完成量與其單位產(chǎn)品成本之間的關(guān)系，調(diào)查30個同類服務(wù)公司得到的原始數(shù)據(jù)如表。相關(guān)表：將自變量x的數(shù)值按照從小到大的順序，并配合因變量y的數(shù)值一一對應(yīng)而平行排列的表。整理后有第26頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一圖1收入消費散點圖（單位：元）相關(guān)圖：又稱散點圖。將x置于橫軸上，y置于縱軸上，將（x,y）繪于坐標(biāo)圖上。用來反映兩變量之間相關(guān)關(guān)系的圖形。通過相關(guān)圖，可以大致看出兩個變量之間有無相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)的形態(tài)、方向和密切程度。第27頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一第28頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一相關(guān)系數(shù)第29頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一相關(guān)系數(shù)通過相關(guān)表和散點圖的形狀，我們大概可以判斷變量之間相關(guān)程度的強弱、方向和性質(zhì)，但并不能得知其相關(guān)的確切程度。為精確了解變量間的相關(guān)程度，還需作進(jìn)一步統(tǒng)計分析，求出描述變量間相關(guān)程度與變化方向的量數(shù)，即相關(guān)系數(shù)?？傮w相關(guān)系數(shù)用ρ（讀“柔”）表示，樣本相關(guān)系數(shù)用r表示。第30頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一一、簡單線性相關(guān)系數(shù)

總體相關(guān)系數(shù)

對于所研究的總體，表示兩個相互聯(lián)系變量相關(guān)程度的總體相關(guān)系數(shù)為：

總體相關(guān)系數(shù)反映總體變量X和Y的線性相關(guān)程度。

特點：對于特定的總體來說，X和Y的數(shù)值是既定的，總體相關(guān)系數(shù)是客觀存在的特定數(shù)值。變量X和Y的協(xié)方差變量X和Y的方差在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，協(xié)方差用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協(xié)方差的一種特殊情況，即當(dāng)兩個變量是相同的情況。期望值分別為E(X)=μ與E(Y)=ν的兩個實數(shù)隨機變量X與Y之間的協(xié)方差定義為：

第31頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

樣本相關(guān)系數(shù)通過X和Y的樣本觀測值去估計樣本相關(guān)系數(shù)變量X和Y的樣本相關(guān)系數(shù)通常用r表示特點：樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)從總體中抽取的隨機樣本的觀測值計算出來的，是對總體相關(guān)系數(shù)的估計，它是個隨機變量。第32頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式實質(zhì)第33頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一相關(guān)系數(shù)取值及其意義r的取值范圍是[-1,1]|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)相關(guān)

r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系-1r<0，為負(fù)相關(guān)0<r1，為正相關(guān)|r|越趨于1表示關(guān)系越密切；|r|越趨于0表示關(guān)系越不密切第34頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一-1.0+1.00-0.5+0.5完全負(fù)相關(guān)無線性相關(guān)完全正相關(guān)負(fù)相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加第35頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一計算相關(guān)系數(shù)的“積差法”相關(guān)系數(shù)的計算第36頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

表我國人均國民收入與人均消費金額數(shù)據(jù)

單位:元年份人均國民收入人均消費金額年份人均國民收入人均消費金額1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148相關(guān)系數(shù)計算實例【例】在研究我國人均消費水平的問題中，把全國人均消費額記為y，把人均國民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見表，計算相關(guān)系數(shù)。第37頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一計算結(jié)果根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式有人均國民收入與人均消費金額之間的相關(guān)系數(shù)為0.9987第38頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一注意：

（1）兩變量間存在相關(guān)，僅意味著變量間有關(guān)聯(lián)，并不一定是因果關(guān)系。 （2）相關(guān)系數(shù)不是等距的測量單位。

r是一個比值，不是由相等單位度量而來，不能進(jìn)行加、減、乘、除運算。如r1=0.25，r2=0.5，r3=0.75，不能認(rèn)為r1=r3-r2或r2=2r1。 （3）相關(guān)系數(shù)受變量取值區(qū)間大小及觀測值個數(shù)的影響較大。第39頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

變量的取值區(qū)間越大，觀測值個數(shù)越多，相關(guān)系數(shù)受抽樣誤差的影響越小，結(jié)果就越可靠，如果數(shù)據(jù)較少，本不相關(guān)的兩列變量，計算的結(jié)果可能相關(guān)。（4）相關(guān)系數(shù)在特定情況下使用才具有意義。如高中生身高與體重的相關(guān)系數(shù)用在兒童身上就沒有意義。（5）通過實際觀測值計算的相關(guān)系數(shù)，須經(jīng)過顯著性檢驗確定其是否有意義第40頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一３.確定顯著性水平，并作出決策若，拒絕H0，若，接受H0二、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗２.計算檢驗的統(tǒng)計量：目的在于檢驗兩個變量之間是否存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系采用t檢驗——檢驗的步驟為：１.提出假設(shè)：H0：ρ=0；H1：ρ≠0第41頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一由于t=64.9809>，拒絕H0，認(rèn)為人均消費金額與人均國民收入之間的相關(guān)關(guān)系顯著。根據(jù)顯著性水平

＝0.05，查t分布表得

相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗（實例）

對前例計算的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢(=0.05)提出假設(shè)：H0：ρ=0；H1：ρ≠0計算檢驗的統(tǒng)計量第42頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一|r|的取值范圍|r|的意義0.00-0.19極低相關(guān)0.20-0.39低度相關(guān)0.40-0.69中度相關(guān)0.70-0.89高度相關(guān)0.90-1.00極高相關(guān)|r|的取值與相關(guān)程度參考１：第43頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一參考２：

若|

t

|大于

=5%相應(yīng)的臨界值，小于表上

＝1%相應(yīng)的值，稱變量x與y之間有顯著的線性關(guān)系若|t|大于表上

=1%相應(yīng)的值，稱變量x與y之間有十分顯著的線性關(guān)系若|t|小于表上

=5%相應(yīng)的值，稱變量x與y之間沒有明顯的線性關(guān)系經(jīng)驗認(rèn)為：0.8≤|r|≤1，高度相關(guān)0.5≤|r|≤0.8，中度相關(guān)/0.3≤|r|≤0.5，弱相關(guān)|r|≤0.3，無線性相關(guān)第44頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

如何判斷兩個變量的相關(guān)性 （1）找出兩個變量的正確相應(yīng)數(shù)據(jù)。 （2）畫出它們的散布圖（散點圖）。 （3）通過散布圖判斷它們的相關(guān)性。 （4）給出相關(guān)系數(shù)（r）的解答。 （5）對結(jié)果進(jìn)行評價和檢驗。第45頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一例：下表是有關(guān)15個地區(qū)某種食物需求量和地區(qū)人口增加量的資料。第46頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一第47頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(=0.05)提出假設(shè)：H0：ρ=0；H1：ρ≠0計算檢驗的統(tǒng)計量根據(jù)顯著性水平

＝0.05，查t分布表得

由于t=48.385>t0.025(15-2)=2.160，拒絕H0，該種食物需求量和地區(qū)人口增加量之間的相關(guān)關(guān)系顯著。第48頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)第49頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是測定變量之間相關(guān)程度的最常用指標(biāo)，但它主要是測定數(shù)值之間的相關(guān)程度。但在實際中，有些現(xiàn)象是難以用數(shù)字確切計量的，如才智高低、藝術(shù)水平等，要測定這些變量的相關(guān)程度，就需要計算等級相關(guān)系數(shù)。常用的等級相關(guān)系數(shù)為斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)。第50頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一斯皮爾曼等級相關(guān)是根據(jù)等級資料研究兩個變量間相關(guān)關(guān)系的方法。它是依據(jù)兩列成對等級的各對等級數(shù)之差來進(jìn)行計算的，所以又稱為“等級差數(shù)法”。斯皮爾曼等級相關(guān)對數(shù)據(jù)條件的要求沒有積差相關(guān)系數(shù)嚴(yán)格，只要兩個變量的觀測值是成對的等級評定資料，或者是由連續(xù)變量觀測資料轉(zhuǎn)化得到的等級資料，不論兩個變量的總體分布形態(tài)、樣本容量的大小如何，都可以用斯皮爾曼等級相關(guān)來進(jìn)行研究。第51頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的計算公式為

式中，分別為和等級的算數(shù)平均數(shù)。

若沒有重復(fù)觀測值時，斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的公式可變?yōu)?/p>

式中表示兩組數(shù)據(jù)的等級之差，即，n為數(shù)據(jù)的個數(shù)。若有重復(fù)觀測值時，斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)就是兩組數(shù)據(jù)等級的相關(guān)系數(shù)。第52頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

適用條件

①兩變量的資料為等級測量數(shù)據(jù)，且具有線性關(guān)系。 ②連續(xù)變量的測量數(shù)據(jù)，按其大小排成等級，亦可用等級相關(guān)計算。 ③不要求總體呈正態(tài)分布。 計算公式：

式中：D為兩變量每對數(shù)據(jù)的等級之差；N表示樣本容量。(5.4)第53頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

計算步驟：（1）把數(shù)量標(biāo)志和品質(zhì)標(biāo)志的具體表現(xiàn)按等級次序編號。（2）按順序求出兩個標(biāo)志的每對等級編號的差。

（3）計算兩變量等級之差D；（4）計算D2；（5）計算∑D2；（6）代入公式，求得rR

第54頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一序號X（語文等級）Y（閱讀等級）DD218800267-11354114321152111645-11776118910-11913-241010911∑

12例：求10名學(xué)生的語文成績與閱讀能力成績之間的等級相關(guān)系數(shù)。第55頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一 解：將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式得

如果求相關(guān)的是連續(xù)變量，計算時先把兩組數(shù)據(jù)分別按大小排成等級，最大值取為1等，其它類推。第56頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一7.２一元線性回歸回歸分析的概念總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)回歸系數(shù)的普通最小二乘估計回歸模型的統(tǒng)計檢驗第57頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一什么是回歸分析回歸的古典意義：高爾頓遺傳學(xué)的回歸概念

父母身高與子女身高的關(guān)系:

無論高個子或低個子的子都有向人的平均身高回歸趨勢第58頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

回歸的現(xiàn)代意義一個因變量對若干解釋變量依存關(guān)系的研究回歸的目的（實質(zhì)）：由固定的自變量去估計因變量的平均值樣本總體自變量固定值估計因變量平均值第59頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一什么是回歸分析從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度第60頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸模型回答“變量之間是什么樣的關(guān)系？”方程中運用1個數(shù)字的因變量(響應(yīng)變量)被預(yù)測的變量1個或多個數(shù)字的或分類的自變量(解釋變量)用于預(yù)測的變量3. 主要用于預(yù)測和估計第61頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸模型的類型一個自變量兩個及兩個以上自變量回歸模型多元回歸一元回歸線性回歸非線性回歸線性回歸非線性回歸相關(guān)系數(shù)第62頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)第63頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一線性回歸模型在實際經(jīng)濟(jì)分析中,由于經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系往往是非常復(fù)雜的,所以直接的精確線性模型是較少的。但是，由于第一，線性模型比較容易研究；第二，現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)分析中許多非線性問題可以經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)處理轉(zhuǎn)化為線性模型；第三，非線性模型的分析基礎(chǔ)是線性模型。因此，我們首先研究一元線性模型。第64頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一一元線性回歸模型當(dāng)只涉及一個自變量時稱為一元回歸，若因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系時稱為一元線性回歸。對于具有線性關(guān)系的兩個變量，可以用一條線性方程來表示它們之間的關(guān)系。描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項μ

的方程稱為回歸模型。第65頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一模型中，Y是X的線性函數(shù)部分加上誤差項線性部分反映了由于X的變化而引起的Y的變化隨機誤差項μi是隨機變量反映了除X和Y之間的線性關(guān)系之外的隨機因素對Y的影響；是不能由X和Y之間的線性關(guān)系所解釋的影響）b0和b1稱為模型的參數(shù)一元線性回歸模型一元線性回歸模型可表示為：

Y=b0+b1X+μi第66頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)y的條件分布:y在x取某固定值條件下的分布。對于x的每一個取值，都有y的條件期望與之對應(yīng)，在坐標(biāo)圖上y的條件期望的點隨x而變化的軌跡所形成的直線或曲線，稱為回歸線。如果把y的條件期望表示為x的某種函數(shù)：,這個函數(shù)稱為回歸函數(shù)。如果其函數(shù)形式是只有一個自變量的線性函數(shù),如,稱為一元線性回歸函數(shù)。第67頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一總體回歸函數(shù)（PRF）概念：將總體因變量y的條件均值表現(xiàn)為自變量x的某種函數(shù)，這個函數(shù)稱為總體回歸函數(shù)（簡記為PRF）。表現(xiàn)形式：（1）條件均值表現(xiàn)形式（2）個別值表現(xiàn)形式（隨機設(shè)定形式）μi是個可正可負(fù)的隨機變量，代表排除在自變量以外的所有因素對y的影響，稱為隨機誤差項第68頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一樣本回歸函數(shù)（SRF）y的樣本觀測值的條件均值隨自變量x而變動的軌跡，稱為樣本回歸線。如果把因變量y的樣本條件均值表示為自變量x的某種函數(shù)，這個函數(shù)稱為樣本回歸函數(shù)（簡記為SRF）。表現(xiàn)形式：線性樣本回歸函數(shù)可表示為或者實際觀測值第69頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式應(yīng)與設(shè)定的總體回歸函數(shù)的函數(shù)形式一致。和是對總體回歸函數(shù)參數(shù)的估計。是對總體條件期望的估計殘差e在概念上類似總體回歸函數(shù)中的隨機誤差u?；貧w分析的目的：用樣本回歸函數(shù)去估計總體回歸函數(shù)。

第70頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

——相互區(qū)別

總體回歸函數(shù)雖然未知，但它是確定的；樣本回歸線隨抽樣波動而變化，可以有許多條。樣本回歸線還不是總體回歸線，至多只是未知總體回歸線的近似表現(xiàn)?？傮w回歸函數(shù)的參數(shù)雖未知，但是確定的常數(shù)；樣本回歸函數(shù)的參數(shù)可估計，但是隨抽樣而變化的隨機變量。總體回歸函數(shù)中的是不可直接觀測的；而樣本回歸函數(shù)中的是只要估計出樣本回歸的參數(shù)就可以計算的數(shù)值。第71頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)的最小二乘估計第72頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)估計的思想為什么只能對未知參數(shù)作估計?總體參數(shù)是未知的、不可直接觀測的、不能精確計算的能夠得到的只是變量的樣本觀測值只能通過變量樣本觀測值選擇適當(dāng)方法去近似地估計回歸系數(shù)。前提:

u是隨機變量其分布性質(zhì)不確定，必須作某些假定，其估計才有良好性質(zhì)，其檢驗才可進(jìn)行。原則:

使樣本參數(shù)估計值“盡可能地接近”總體參數(shù)真實值第73頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一一元線性回歸的基本假定總體誤差項μi的基本假定：假定1：零均值假定。假定2：同方差假定。假定3：無自相關(guān)假定。

假定4：隨機擾動與自變量不相關(guān)。假定5：正態(tài)性假定若此假設(shè)被破壞，即,隨機誤差項u的取值與它的前一期或前幾期的取值（滯后值）有關(guān)，則稱誤差項存在序列相關(guān)或自相關(guān)。或者說，如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關(guān)的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了自相關(guān)(SerialCorrelation)。自相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)之分。實證表明：在經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)中，常見的是正自相關(guān)。第74頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一一元線性回歸方程中參數(shù)a、b確定的思路：最小平方法基本數(shù)學(xué)要求：實際觀測值樣本條件期望殘差第75頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一進(jìn)一步整理，有：第76頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)的最小二乘估計基本思想：

希望所估計的偏離實際觀測值的殘差越小越好?？梢匀埐钇椒胶妥鳛楹饬颗c偏離程度的標(biāo)準(zhǔn)——最小二乘準(zhǔn)則估計式：

第77頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一最小二乘估計的概率分布性質(zhì)和都是服從正態(tài)分布的隨機變量，其期望為方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差為

結(jié)論：第78頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一的無偏估計為什么要估計？確定所估計參數(shù)的方差需要由于不能直接觀測，也是未知的對的數(shù)值只能通過樣本信息去估計。怎樣估計？可以證明的無偏估計為：第79頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一最小二乘估計的性質(zhì)

——高斯—馬爾可夫定理

前提：

在基本假定滿足時最小二乘估計是因變量的線性函數(shù)

最小二乘估計是無偏估計，即

在所有的線性無偏估計中，回歸系數(shù)的最小二乘估計的方差最小。結(jié)論：回歸系數(shù)的最小二乘估計是最佳線性無偏估計第80頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一最小二乘法（圖示）xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾第81頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一表我國人均國民收入與人均消費金額數(shù)據(jù)

單位:元年份人均國民收入人均消費金額年份人均國民收入人均消費金額1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148實例【例】在研究我國人均消費水平的問題中，把全國人均消費額記為y，把人均國民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見表第82頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一最小二乘法應(yīng)用實例【例】根據(jù)例中的數(shù)據(jù)，配合人均消費金額對人均國民收入的回歸方程

根據(jù)求解公式得第83頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一估計(經(jīng)驗)方程人均消費金額對人均國民收入的回歸方程為y=54.22286+0.52638x^第84頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)：對產(chǎn)量與生產(chǎn)費用進(jìn)行相關(guān)分析并建立回歸模型企業(yè)編號產(chǎn)量x（千克）生產(chǎn)費用y（千元）12345678910111240425055657884100116125130140130150155140150154156170167180175185160017642500302542256084705610000134561562516900196001690022500240251960022500237162722528900278893240030625342255200630077507700975012012138601700019372225002275025900合計10251921101835310505170094第85頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一解：（1）繪制散點圖············第86頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一（2）計算相關(guān)系數(shù)第87頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一（3）建立簡單直線回歸方程：其中a＝124.15（千克）的含義為生產(chǎn)費用的起點值b＝0.4027表示產(chǎn)品產(chǎn)量每增加1千克，生產(chǎn)費用平均增加0.4027千元。第88頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸模型的統(tǒng)計檢驗第89頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸模型檢驗的種類一般回歸模型的檢驗要經(jīng)過四級檢驗：1）經(jīng)濟(jì)意義檢驗2）統(tǒng)計檢驗3）計量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗4）預(yù)測檢驗統(tǒng)計學(xué)中側(cè)重統(tǒng)計檢驗（擬合優(yōu)度、ｔ檢驗、Ｆ檢驗、第90頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一一、擬合優(yōu)度的度量樣本回歸直線是對樣本數(shù)據(jù)的一種擬合，不同估計方法可擬合出不同的回歸線。所謂擬合程度，是指樣本觀測值聚集在樣本回歸線周圍的緊密程度。判斷回歸模型擬合程度優(yōu)劣最常用的數(shù)量尺度是樣本決定系數(shù)（又稱可決系數(shù)、判定系數(shù)），它是建立在對總離差平方和進(jìn)行分解的基礎(chǔ)之上的?？傠x差平方和回歸平方和殘差平方和第91頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一總離差平方和的分解因變量y的取值是不同的，y取值的這種波動稱為變差。變差來源于兩個方面：由于自變量x的取值不同造成的；除x以外的其他因素(如x對y的非線性影響、測量誤差等)的影響。對一個具體的觀測值來說，變差的大小可以通過該實際觀測值與其均值之差來表示。第92頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一離差平方和的分解

（圖示）xyy{}}離差分解圖第93頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一離差平方和的分解

（三個平方和的關(guān)系）2.兩端平方后求和有從圖上看有SST=SSR+SSE總變差平方和（SST）{回歸平方和（SSR）{殘差平方和（SSE）{第94頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一離差平方和的分解

（三個平方和的意義）總平方和(SST)反映因變量的n個觀察值與其均值的總離差回歸平方和(SSR)反映自變量x的變化對因變量y取值變化的影響，或者說，是由于x與y之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的平方和。殘差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素對y取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和。第95頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一樣本決定系數(shù)

（判定系數(shù)r2

）回歸平方和占總離差平方和的比例：反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

r2＝1，說明回歸方程擬合的越好；r2＝0，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即r2＝(r)2第96頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一對可決系數(shù)的理解第97頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一可決系數(shù)的特點可決系數(shù)是非負(fù)的統(tǒng)計量；可決系數(shù)取值范圍；可決系數(shù)是樣本觀測值的函數(shù)，可決系數(shù)是隨抽樣而變動的隨機變量；在一元線性回歸中，可決系數(shù)在數(shù)值上是簡單線性相關(guān)系數(shù)的平方。相關(guān)系數(shù)測定變量之間的密切程度，可決系數(shù)測定自變量對因變量的解釋程度。相關(guān)系數(shù)有正負(fù)，可決系數(shù)只有正號。第98頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一7．3線性回歸的顯著性檢驗

與回歸預(yù)測一、回歸系數(shù)顯著性檢驗二、一元線性回歸模型的預(yù)測（自學(xué)）第99頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)的顯著性檢驗

（要點）4.在一元線性回歸中，等價于回歸方程的顯著性檢驗注：對參數(shù)α和β的檢驗方法相同，但通常對檢驗β=β*是否成立更為關(guān)注。檢驗x與y之間是否具有線性關(guān)系，或者說，檢驗自變量x對因變量y的影響是否顯著。根據(jù)樣本回歸估計的結(jié)果對總體回歸函數(shù)回歸系數(shù)的有關(guān)假設(shè)進(jìn)行檢驗，以檢驗總體回歸系數(shù)是否等于某個特定的數(shù)值。3.理論基礎(chǔ)是回歸系數(shù)

的抽樣分布第100頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一是根據(jù)最小二乘法求出的樣本統(tǒng)計量，它有自己的分布，的分布具有如下性質(zhì)分布形式：正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)差：由于未知，需用其估計量Sy來代替，即回歸系數(shù)的顯著性檢驗

（樣本統(tǒng)計量的分布）第101頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)的顯著性檢驗

（樣本統(tǒng)計量的分布）的抽樣分布第102頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)的顯著性檢驗

（步驟）提出假設(shè)H0:b1=0(沒有線性關(guān)系)H1:b10(有線性關(guān)系)計算檢驗的統(tǒng)計量

確定顯著性水平，并進(jìn)行決策t>t

／2(n-2)，拒絕H0；t<t／2

(n-2)，接受H0第103頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)的顯著性檢驗

（實例）提出假設(shè)H0：b1=0人均收入與人均消費之間無線性關(guān)系H1：b10人均收入與人均消費之間有線性關(guān)系計算檢驗的統(tǒng)計量t=65.0758>t=2.201，拒絕H0，表明人均收入與人均消費之間有線性關(guān)系對前例的回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(＝0.05)第104頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)顯著性的P值檢驗

——P值的意義在既定原假設(shè)下計算回歸系數(shù)的t統(tǒng)計量，可求得統(tǒng)計量大于的概率這里的是t統(tǒng)計量大于值的概率，是不能拒絕原假設(shè)的最大顯著水平，稱為所估計的回歸系數(shù)的P值。第105頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數(shù)顯著性的P值檢驗

——檢驗方法回歸系數(shù)顯著性的P值檢驗方法:將所取顯著性水平與P值對比

▲所取的顯著性水平（例如取0.05）＞P就可在顯著性水平下拒絕

▲所取的＜P值，就應(yīng)在顯著性水平下接受第106頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)：p247，1，（1）（2）(3)p247，21、α=40.372,β=0.7863,∑e2=43.5709R2=0.99983,Se(β)=0.0032T=245.7187,t臨界值=2.252812.α=6.0178,β=0.07第107頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一二、一元線性回歸模型預(yù)測對平均值的點預(yù)測值：y的個別值置信度為1－α的預(yù)測區(qū)間：第108頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一因變量的區(qū)間預(yù)測的特點（1）個別值的預(yù)測區(qū)間大于平均值的預(yù)測區(qū)間:y平均值的預(yù)測值與真實平均值有誤差，主要是受抽樣波動影響;y個別值的預(yù)測值與真實個別值的差異不僅受抽樣波動影響，而且還受隨機擾動項的影響（2）對預(yù)測區(qū)間隨變化而變化:時，=0，此時預(yù)測區(qū)間最窄，越是遠(yuǎn)離，越大，預(yù)測區(qū)間越寬。第109頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一因變量的區(qū)間預(yù)測的特點(續(xù))（3）預(yù)測區(qū)間與樣本容量有關(guān)：樣本容量n越大，越大，預(yù)測誤差的方差越小，預(yù)測區(qū)間也越窄。（4）當(dāng)樣本容量趨于無窮大（即n→∞）時,不存在抽樣誤差，平均值預(yù)測誤差趨于0，此時個別值的預(yù)測誤差只決定于隨機擾動的方差。第110頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一7.4多元線性相關(guān)與回歸分析一、多元線性回歸模型及假定二、多元線性回歸模型的估計三、多元線性回歸模型的檢驗第111頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一

一、多元線性回歸模型及假定

多元總體線性回歸函數(shù)一般形式條件均值形式多元線性樣本回歸函數(shù)：一般形式條件均值形式第112頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一多元線性回歸模型的矩陣表示

多元總體線性回歸模型的矩陣表示Y=Xβ+U多元線性樣本回歸函數(shù)的矩陣表示

Y=X

+e

偏回歸系數(shù)：多元線性回歸模型中，回歸系數(shù)表示當(dāng)控制其它自變量不變的條件下，第j個自變量的單位變動對因變量均值的影響，這樣的回歸系數(shù)稱為偏回歸系數(shù)。第113頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一二、多元線性回歸模型的估計多元回歸模型的假定

相同的假定:

零均值、同方差、無自相關(guān)、隨機擾動項與自變量不相關(guān)、U正態(tài)性增加的假定：各自變量之間不存在線性關(guān)系。在此條件下，自變量觀測值矩陣X列滿秩

Rank(X)=k方陣滿秩

Rank()=k意義：可逆，存在

第114頁，共127頁，2023年，2月20日，星期一多元回歸參數(shù)的最小二乘估計使殘差平方和達(dá)到最小，其充分必要條件正規(guī)方程組

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第115頁，共