第一節(jié)：多元函數(shù)的概念

第一節(jié)：多元函數(shù)的概念第1頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念第2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（2）區(qū)域例如，即為開集．內(nèi)點：設(shè)E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點如果存在點P的某一鄰域則稱Ｐ為Ｅ的內(nèi)點．Ｅ的內(nèi)點屬于Ｅ．如果點集Ｅ的點都是內(nèi)點，則稱Ｅ為開集．第3頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一邊界點：外點：如果存在U(P),使得則稱點P為E的外點連通集：連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域．第4頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例如，例如，第5頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，第6頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（3）聚點I：內(nèi)點一定是聚點；說明：如果對于任意的>0,點P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點，則稱點P是點集E的聚點II：在內(nèi)，總有E的無窮多個點；III：點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于E．第7頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一

E中任何一點都是E的邊界點，又如,E中的任何一點都是E的聚點。思考題：邊界點是否一定是聚點？反之，聚點是否一定是邊界點？第8頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（4）n維空間當n=3時，(x,y,z)表示空間中的一個點或向量表示空間中的全體點或全體向量。因此，我們也稱為中的一個點或一個n維向量。第9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一因此，我們也稱為中的一個點或一個n維向量。定義線性運算如下：這樣定義了線性運算的向量集合稱為n維空間第10頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一稱(x,y)為空間兩點x和y之間的距離．設(shè)中兩點間的距離公式中變元x的極限如果則稱變元x趨于固定元a,記作第11頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一類似地，內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．中變元x的極限如果則稱變元x趨于固定元a,記作結(jié)論：中鄰域、區(qū)域等概念則稱中的點集為中點a的鄰域。第12頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二、多元函數(shù)的概念

f稱為對應(yīng)規(guī)則或函數(shù)，f(x,y)稱為f在點(x,y)處的函數(shù)值。函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記作函數(shù)與選用的記號無關(guān)，如則稱f是D上的二元函數(shù),記為第13頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．

n元函數(shù)通常記為或簡記為第14頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一一元函數(shù)與多元函數(shù)的概念比較

一元函數(shù)y=f(x):二元函數(shù)y=f(x,y):

n元函數(shù)第15頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例1求的定義域．解所求定義域為第16頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）當P(x,y)取遍D上一切點時,得到空間點集第17頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第18頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例如,單值分支:第19頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二、多元函數(shù)的極限一元函數(shù)極限回顧：如果在的過程中，

f(x)無限接近一個確定常數(shù)A，就稱A是f(x)當時的極限，記為二元函數(shù)的極限：如果在的過程中

f(x,y)無限接近一個確定常數(shù)A，就稱A是f(x,y)當時的極限，記為第20頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一都有第21頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一說明：（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．（1）定義中的方式比的方式復雜的多第22頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例2求證

證當時，原結(jié)論成立．第23頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例3求極限

解其中第24頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一證例4證明不存在．

（2）取此時，仍不能確定極限是否存在．（1）P(x,y)沿x軸趨于(0,0)，此時y=0,x0第25頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例4證明不存在．

證（3）取極限值隨k的不同而變化，故極限不存在．第26頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第27頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第28頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第29頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第30頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第31頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第32頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第33頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第34頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第35頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第36頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第37頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第38頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第39頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第40頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一確定極限不存在的常用方法：第41頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一求二元函數(shù)的極限常用的方法：（1）用定義驗證其存在或不存在；（2）利用變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為0的因子；（4）利用極限運算性質(zhì)（與一元函數(shù)相似）；（5）利用函數(shù)的連續(xù)性；第42頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一解：例5：求極限第43頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一解：例6：求極限第44頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一解：例7：求極限第45頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第46頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一四、多元函數(shù)的連續(xù)性一元函數(shù)連續(xù)性回顧：二元函數(shù)的連續(xù)性第47頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一如果函數(shù)f(x,y)在D的每一點都連續(xù)，二元函數(shù)連續(xù)的三個要素則稱函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，或者稱f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù)。第48頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二元函數(shù)間斷的情形比一元函數(shù)要復雜的多因為當f(x,y)無定義，所以在整個圓周f(x,y)間斷。第49頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例8證明函數(shù)在(0,0)處連續(xù)．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).第50頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例9討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第51頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一定義3如果函數(shù)f(P)在D的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f(P)在D上連續(xù)，或者稱f(P)是D上的連續(xù)函數(shù)。

n元函數(shù)的連續(xù)性第52頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（2）多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量表達的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算所構(gòu)成的可用一個式子表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)（3）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點說明（1）一切一元基本初等函數(shù)，作為一個二元或二元以上的多元函數(shù)時，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。不同自變量表達的一元基本初等函數(shù)第53頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以計算在其連續(xù)點處的極限。例７解第54頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在兩點（1）存在正數(shù)M，使得對于任意的點PD，均有第55頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（二）介值定理在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的多元函數(shù)f(P)，必取得介于最小值m和最大值M之間的任何值。即對任意的c,m<c<M,至少存在一點PD,使得：第56頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)的定義第57頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一習題91:4(3,5),5(2,4,6),6(1),8

第八章作業(yè)第一節(jié)：多元函數(shù)的基本概念第58頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一答案：第59頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一思考題第60頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一思考題解答不能.例取但是不存在.因為若取第61頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一練習題第62頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第63頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第64頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一練習題答案第65頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第66頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一觀察不存在.第67頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一觀察不存在.第68頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一觀察不存在.第69頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一