第一節(jié)外測(cè)度

第一節(jié)外測(cè)度第1頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.引言

其中積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi(1)Riemann積分回顧（分割定義域）第2頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“長(zhǎng)度”問(wèn)題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積概念推廣?第3頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）第4頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一達(dá)布上和與下和

Riemann積分xi-1xi達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達(dá)布上和的極限上積分（外包）第5頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Jordan測(cè)度Jordan外測(cè)度（外包）Jordan可測(cè)Jordan內(nèi)測(cè)度（內(nèi)填）第6頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，則E不Jordan可測(cè)由于任一覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體的有限開(kāi)覆蓋也一定能覆蓋除有限個(gè)點(diǎn)外的[0,1]，從而由于無(wú)理數(shù)在[0,1]中稠密，故任一開(kāi)區(qū)間都不可能含在E內(nèi)，從而所以，即E不Jordan可測(cè)([

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)-ε０１1+ε第7頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2Lebesgue外測(cè)度(外包)為E的Lebesgue外測(cè)度。定義：，稱非負(fù)廣義實(shí)數(shù)與Jordan外測(cè)度比較：第8頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一下確界：即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似”替換集合E第9頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例設(shè)E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測(cè)度為0

證明：由于E為可數(shù)集，再由ε的任意性知()第10頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2.平面上的x軸的外測(cè)度為0思考：１.設(shè)E是平面上的有理點(diǎn)全體，則E的外測(cè)度為0第11頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考：3.我們知道有理數(shù)與無(wú)理數(shù)在[0,1]上都稠密，問(wèn)證明中

的開(kāi)區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間[0,1]由無(wú)理數(shù)集在[0,1]上稠密可知上面敘述的錯(cuò)誤出在取，因?yàn)閕的取定依賴于δ()

第12頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考：4.對(duì)Jordan外測(cè)度，我們用有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋[0,1]中的

有理數(shù)全體，則這有限個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋[0,1]

（除有限個(gè)點(diǎn)外）注：對(duì)可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列（如Ｃantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）([

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)０１注：對(duì)有限個(gè)開(kāi)區(qū)間一定有從左到右的一個(gè)排列5.對(duì)Lebesgue外測(cè)度，我們用可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋[0,1]（除可數(shù)個(gè)點(diǎn)外）第13頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)(b)的證明:能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列比能覆蓋A的開(kāi)區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。（b）單調(diào)性：（a）非負(fù)性：，當(dāng)E為空集時(shí)，第14頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（C）次可數(shù)可加性證明：對(duì)任意的ε>0,由外測(cè)度的定義知，對(duì)每個(gè)An都有一列開(kāi)區(qū)間（即用一開(kāi)區(qū)間{Inm}列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開(kāi)始，因?yàn)橥鉁y(cè)度的定義用的是下確界由的ε任意性，即得第15頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注：外測(cè)度的次可數(shù)可加性的等號(hào)即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測(cè)集），但有:當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候，區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A，B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。若d(A,B)>0,則第16頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例證明參見(jiàn)教材p-56思考：書本中的證明用有限開(kāi)覆蓋定理的目的何在？此例說(shuō)明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣對(duì)任意區(qū)間，有第17頁(yè)，