空間點(diǎn)線(xiàn)面之間的關(guān)系

空間點(diǎn)線(xiàn)面之間的關(guān)系第1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[歸納·知識(shí)整合]1．四個(gè)公理公理1：如果一條直線(xiàn)上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)．作用：可用來(lái)證明點(diǎn)、直線(xiàn)在平面內(nèi)．公理2：過(guò)

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．作用：①可用來(lái)確定一個(gè)平面；②證明點(diǎn)線(xiàn)共面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們

過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)．作用：①可用來(lái)確定兩個(gè)平面的交線(xiàn)；②判斷或證明多點(diǎn)共線(xiàn)；③判斷或證明多線(xiàn)共點(diǎn)．兩點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上有且只有一條第2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)

．作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)．

[探究]1.平面幾何中成立的有關(guān)結(jié)論在空間立體幾何中是否一定成立？提示：不一定．例如，“經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)垂直”在平面幾何中成立，但在立體幾何中就不成立．而公理4的傳遞性在平面幾何和立體幾何中均成立．互相平行第3頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系平行相交任何(2)異面直線(xiàn)所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的_____________

叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)．銳角(或直角)第4頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(3)定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

．

[探究]2.不相交的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)嗎？

提示：不一定，不相交的兩條直線(xiàn)可能平行，也可能異面．

3．不在同一平面內(nèi)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)嗎？提示：不一定，不在同一平面內(nèi)的直線(xiàn)可能異面，也可能平行．相等或互補(bǔ)第5頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．空間直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線(xiàn)與平面相交a∩α＝A

個(gè)平行a∥α

個(gè)

在平面內(nèi)a?α

個(gè)平面與平面平行α∥β

個(gè)相交α∩β＝l

個(gè)10無(wú)數(shù)0無(wú)數(shù)第6頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)下列命題：①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ()A．0B．1C．2 D．3第7頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析：對(duì)于①，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線(xiàn)，故①錯(cuò)誤；②正確；對(duì)于③，三條直線(xiàn)兩兩相交，如空間直角坐標(biāo)系，能確定三個(gè)平面，故③正確；對(duì)于④，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)共線(xiàn)，則兩平面也可能相交，故④錯(cuò)誤．答案：C第8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一答案：D2．(教材習(xí)題改編)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是 ()A．異面

B．平行C．相交

D．以上都有可能解析：由直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系分析可知兩條直線(xiàn)相交、平行或異面都有可能．第9頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．如果a?α，b?α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列關(guān)系成立的是 ()A．l?α B．l?αC．l∩α＝A D．l∩α＝B解析：∵a?α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l(xiāng)?α.答案：A第10頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線(xiàn)互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成________個(gè)部分．解析：三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交，交線(xiàn)分別是a，b，c，且a∥b∥c，則α，β，γ把空間分成7部分．答案：7第11頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)B1C與EF所成的角的大小為_(kāi)__．解析：連接B1D1，易證B1D1∥EF，從而∠D1B1C即為異面直線(xiàn)B1C與EF所成的角，連接D1C，則△B1D1C為正三角形，故∠D1B1C＝60°.答案：60°第12頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用[例1]以下四個(gè)命題：①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③若直線(xiàn)a、b共面，直線(xiàn)a、c共面，則直線(xiàn)b、c共面；④依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ()A．0B．1C．2 D．3第13頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[自主解答]①正確，可以用反證法證明；②不正確，從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線(xiàn)．則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，空間四邊形的四條邊不在一個(gè)平面內(nèi)．

[答案]B第14頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由所給元素確定平面的關(guān)鍵點(diǎn)判斷由所給元素(點(diǎn)或直線(xiàn))確定平面時(shí)，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，如不具備，則一定不能確定一個(gè)平面．

第15頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1．下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________．第16頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析：①中可證四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示取A1A與BC的中點(diǎn)為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面．答案：①②③第17頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？第18頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第19頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本例條件不變，如何證明“FE、AB、DC共點(diǎn)”？第20頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明共面問(wèn)題的常用方法①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)在此平面內(nèi)．②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線(xiàn)確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．第21頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線(xiàn)共點(diǎn)．證明：(1)連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．第22頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線(xiàn)DA.∴CE、D1F、DA三線(xiàn)共點(diǎn)．

第23頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系[例3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是()A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行第24頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[自主解答]由于MN與平面DCC1D1相交于N點(diǎn)，D1C1?平面DCC1D1，且C1D1與MN沒(méi)有公共點(diǎn)，所以MN與C1D1是異面直線(xiàn)．又因?yàn)镃1D1∥A1B1，且A1B1與MN沒(méi)有公共點(diǎn)，所以A1B1與MN是異面直線(xiàn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．[答案]D第25頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一—————————————————異面直線(xiàn)的判定方法

(1)定義法：依據(jù)定義判斷(較為困難)；

(2)定理法：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)為異面直線(xiàn)(此結(jié)論可作為定理使用)．

(3)反證法：先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn)，即兩直線(xiàn)平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線(xiàn)異面.第26頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(diǎn)．(1)求證：BC與AD是異面直線(xiàn)；(2)求證：EG與FH相交．證明：(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為α，則B、C、A、D∈α.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾．所以BC與AD是異面直線(xiàn)．(2)如圖，連接AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，則EFGH為平行四邊形．又EG、FH是?EFGH的對(duì)角線(xiàn)，所以EG與HF相交.第27頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一異面直線(xiàn)所成的角

[例4](2012·銀川模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求A1C1與B1C所成角的大??；

(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。?8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[自主解答](1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四邊形，所以AC∥A1C1.即AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．因?yàn)镋F是△ABD的中位線(xiàn)，所以EF∥BD.又因?yàn)锳C⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角為90°.第29頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求異面直線(xiàn)所成角的步驟平移法求異面直線(xiàn)所成角的一般步驟：第30頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線(xiàn)AB與CD成60°角，點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AB和MN所成的角．第31頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一∴∠MEN為異面直線(xiàn)AB與CD所成的角(或補(bǔ)角)，且△MEN為等腰三角形．當(dāng)∠MEN＝60°時(shí)，∠EMN＝60°，即異面直線(xiàn)AB和MN所成的角為60°.當(dāng)∠MEN＝120°時(shí)，∠EMN＝30°，即異面直線(xiàn)AB和MN所成的角為30°.∴直線(xiàn)AB和MN所成的角為60°或30°.第32頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”指這兩條直線(xiàn)不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線(xiàn)既不平行，也不相交．

(2)不能把異面直線(xiàn)誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)．

(3)異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)有且僅有一條．(1)平移法：即選點(diǎn)平移其中一條或兩條直線(xiàn)使其轉(zhuǎn)化為平面角問(wèn)題，這是求異面直線(xiàn)所成角的常用方法．

(2)補(bǔ)形法：即采用補(bǔ)形法作出平面角．第33頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1)證明共面問(wèn)題一般有兩種途徑：①首先由條件中的部分線(xiàn)(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，再證其他線(xiàn)(或點(diǎn))在此平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個(gè)平面重合．

(2)證明共線(xiàn)問(wèn)題一般有兩種途徑：①先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(xiàn)上．

(3)證明共點(diǎn)問(wèn)題常用方法：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn).第34頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一易誤警示——求解線(xiàn)線(xiàn)角中忽視隱含條件而致錯(cuò)

[典例](2013·臨沂模擬)過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線(xiàn)l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線(xiàn)l可以作 ()A．1條B．2條

C．3條

D．4條第35頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[答案]D第36頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1．易忽視異面直線(xiàn)所成的角，且沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)正方體中的平行關(guān)系而錯(cuò)選A.2．求解空間直線(xiàn)所成的角時(shí)，還常犯以下錯(cuò)誤：

(1)缺乏空間想象力，感覺(jué)無(wú)從下手；

(2)忽視異面直線(xiàn)所成角的范圍．第37頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第38頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一答案：90°“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（四十四）”第39頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1．平面α、β的公共點(diǎn)多于兩個(gè)，則①α、β垂直②α、β至少有三個(gè)公共點(diǎn)③α、β至少有一條公共直線(xiàn)④α、β至多有一條公共直線(xiàn)以上四個(gè)判斷中不成立的個(gè)數(shù)是 ()A．0 B．1C．2 D．3解析：由條件知，平面α與β重合或相交，重合時(shí)，公共直線(xiàn)多于一條，故④錯(cuò)誤；相交時(shí)不一定垂直，故①錯(cuò)誤．答案：C第40頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為 ()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．