2023年數(shù)學高考一輪復習真題演練(2021-22年真題)專題13函數(shù)模型及其應用

專題13函數(shù)模型及其應用

【考點預測】

1.幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,為常數(shù)且

反比例函數(shù)模型

f（x）」+b（k,b為常數(shù)且。工0）

X

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+hx+c(a,b,。為常數(shù)且。工0)

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù)，b/0,tz>0,

對數(shù)函數(shù)模型f(x)=hlogax+c(a,b,。為常數(shù)，。>0,

塞函數(shù)模型f(x)=ax"+b(a,6為常數(shù)，。中0)

2.解函數(shù)應用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應的數(shù)學模型；

（3）解模：求解數(shù)學模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題.

【題型歸納目錄】

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

題型二：對勾函數(shù)模型

題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

【典例例題】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

例1.（2022?黑龍江?哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，A8為球門，在某次

小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的P點處接球，此時=假設甲沿著平行

邊線的方向向前帶球，并準備在點。處射門，為獲得最佳的射門角度（即NAOB最大），則射門時甲離上

方端線的距離為（）

B.576C.1072D.10也

【答案】B

【解析】

【分析】

力2+150

先根據(jù)題意解出A8長度，設?！?〃，得到cosZAQ8=再分析求值域，判斷取等條

J/+325"+22500'

件即可求解.

【詳解】

設AB=x,并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

DJJinnc

所以tan/3PH=——RtanZAPB=—

HP25531

52

——I—3

所以tanZAPH=tan(/APB+ZBPH)==-

,AHAB+BHx+10x+103口「目一”「

又tan/APH=-----=-------------=--------，所以------=-,解4得ax=5,即AB=5,

PHPH25255

設。”=力，/ze[0,25],l/!ijAQ=^Q^+AH2=V/r+152,

BQ=y]QH2+BH2=Jh2+}02，所以在AAQB中，有

cos408=m+「/八150

2AQxBQJ/+325川+22500

令m=/?2+150(1504,”4775),所以"=切一巾。,

cosZ.AQB=[=]

所以,77-150)2+325(〃?-150)+2250013750?25門，

Vfn~m

因為1504m4775,所以」4,4上，則要使NAQB最大，

775m150

cosZ.AQB=,/375075

即375025「要取得最小值,即J-號+2+1取得最大值,

J——1+—+1Vm2m

Vfntn

375025111

即一年+丁在行4K瓦取得最大值,

人1J___1_

令/=—G/(r)=-3750r2+25/+l,

m市詢

所以/⑺的對稱軸為：f=皋，所以/⑺在三，上單調(diào)遞增，在4，上單調(diào)遞減,

300//D3UUJUU12）U

所以當，=工時，/（，）取得最大值，即NAQ8最大，此時_1=工，即m=300，

300m300

所以"=150,所以/?=5?,即為獲得最佳的射門角度（即/AQ8最大），

則射門時甲離上方端線的距離為：5瓜.

故選：B.

例2.（2022?甘肅酒泉?模擬預測（文））如圖，在矩形43co中,

AB=2,BC=\。是的中點，點尸沿著邊BC、CO與ZM運動，記N8OP=x,將△RW的面積表示

D

為關(guān)于1的函數(shù)/（X）,則/（%）=（)

OB

A.當時，/(x)=2tanx

幺37t

B.當xi旗=上時，/(x)=-tanx

-34、

C.當xe7,左J時，/(x)=-tanx

D.當xe亍，乃J時，/(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【分析】

分T。?、片、.學乃)三種情況討論，求出△EW的邊AB上的高，結(jié)合三角形的面積

公式可得H」"(x)的表達式.

【詳解】

JI_____

?;OB=OC=1,則NBOC=1,易得OC=OD=Jr+/=&,:.0C2+0D2=CD2,

時，點尸在線段8c上(不包括點3),則

當xe。年時，點P在線段C。上(不包括點C),Ji匕時〃x)=gA8-BC=l；

故選：c.

例3.(2022?上海交大附中高三開學考試)2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進口博覽會在上海

舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際

采購、投資促進、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費品展

區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬

元，每生產(chǎn)1萬臺需另投入380萬元.設該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為

500-2x,0<x<20

R(x)萬元，且=21406250

370+-------^,x>20

(1)寫出年利潤S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬臺)的函數(shù)解析式；(利潤=銷售收入一成本)

(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

-2X2+120X-150,0<X<20

【答案】(1)S=-10x-^^+1990,x>20

(2)當年產(chǎn)量為25萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元【解析】

【分析】

(1)分0<x420和x>20兩種情況，由利潤=銷售收入一成本，知5=依?")—(380x+150),再代入

R(x)的解析式，進行化簡整理即可，

(2)當0<x420時，利用配方法求出S的最大值，當x>20時，利用基本不等式求出S的最大值，比較兩

個最大值后，取較大的即可

(1)

當0<xW2()時，S=xR(x)-(380x+150)

=500x-2x2-380x-150=-2x2+120x-150.

當x>20時，5=x/?(x)-(380x+l50)

=370x+2140-^^-380x-150=-10x-^^+1990,

XX

所以年利潤s(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬臺)的函數(shù)解析式為

-2X2+120X-150,0<X<20

當0<xV2()時，5=-2x2+120x-150=-2(x-30)2+1650,

所以函數(shù)S在(0,20］上單調(diào)遞增，所以當x=20時，S取得最大值1450,

當x>20時，5=-l0x-^^+1990=-(10x+^=^)+1990

XX

<-2jOx?+1990=-500+1990=1490,

當且僅當10》=理，即x=25時取等號，此時S取得最大值1490,

x

因為1490>1450,

所以當年產(chǎn)量為25萬臺時;該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元

例4.(2022?全國?高三專題練習)某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固

定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)

,、400X--X2,(0<X<400),-_

R(x)=<2'',其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.

80000,(x>400)

(1)將利潤7U)表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

(2)當月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？(總收益=總成本+利潤)【答案】(1)

,--x2+300x-20000,(0M400)

=j2；

[-1OOx+60000,(x>400)

(2)300,25000元.

【解析】

【分析】

⑴由題意，由總收益=總成本+利潤可知，分贊k400及x>400求利潤，利用分段函數(shù)表示；

(2)在謠/400及x>400分別求函數(shù)的最大值或取值范圍，從而確定函數(shù)的最大值.從而得到最大利潤.

(1)

由題意，當噴火400時，/(x)=400x-0.5A:2-20000-1OO.r=300x-0,5x2-20000;

當x>400時，/(x)=8(XXX)-1(X)A-2(XXX)=60000-lOOx；

,,,--x2+300x-20000,(Ogijr400)

故/(x)=j2；

-100x+60000,(%>400)

(2)

當噫！k400時，f{x}=300x-0.5x2-20000：

當x=300時，/。),四=/(300)=25000(元)

當x>400時，f(x)皿</(400)=20000(元)

?.■25000>20000,

.,.當x=300時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元.

例5.(2022?河北?模擬預測)勞動實踐是大學生學習知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會、回

報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為尤

件時，售價為S元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計為600+20x元，請你幫他計算日產(chǎn)量為

件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【答案】2007.94

【解析】

【分析】

將利潤表示為關(guān)于x的一個二次函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可.

【詳解】

由題意易得II利潤y=sxx-（600+20x）=x（820-2x）-（600+20x）=-2（x-200）2+79400.

故當日產(chǎn)量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，

故答案為：200,7.94.

【方法技巧與總結(jié)】

I.分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別

找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2.構(gòu)造分段函數(shù)時，要準確、簡潔，不重不漏.

題型二：對勾函數(shù)模型

例6.（2022?全國?高三專題練習）某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，

此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一

年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x（xeN*）,設備年平均費用為y萬元，求得y關(guān)于X的表達式，利用基本

不等式求出y的最小值及其對應的X值，即可得出結(jié)論.

【詳解】

設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x（x€N*）,設備年平均費用為y萬元，

貝1X年后的設備維護費用為2+4+6+…+2X=X（2；2X）=X（X+I）,

V/FAB%*中小100+0.5x+x（x+l）1003、J100343,十一、

所以彳年的平均費用為y=--------------------------=x+——+->2x——+-=一（萬兀），

xx2\x22

當且僅當x=10時，等號成立，

因此，為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為10.

故選：B.

例7.（2022?全國?高三專題練習）迷你K7V是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電

話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意

3

圖，其中AB=AE=],ZA=ZB=ZE=90°,曲線段8是圓心角為90。的圓弧，設該迷你K7V橫截面的

面積為S,周長為L,則^的最大值為.(本題中取乃=3進行計算)

【答案】6-3^3【解析】【分析】

設圓弧的半徑為x,根據(jù)平面幾何知識寫出，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，運用基本不等式求解函數(shù)的最大值即

可.

【詳解】

設圓弧的半徑為x(0<x4|),根據(jù)題意可得：8c=￡>E=A8-x=|-x

S=AEDE+(AB-D￡}(AE-x)+；TT-X2

2兀X7TXQ—I*21qQ—丫2

L=2AB+BC+DE+——=6-2x+—?.?乃=3，S=L=6」x.，=令f=12-2x

4242L\2-2x

(9<?<12),貝ij,12-rS°12Jt27A

2Lt1^4t)

根據(jù)基本不等式，*斗22行=36，當卻僅當；=5，即f=6有時取心

s

65/3G[9,12),/.f=時，~=6-3^3

Ltmax

故答案為：6—3A/3.

例8.(2022?全國?高三專題練習)如圖所示，設矩形A88(A8>A。)的周長為20cm,把△ABC沿AC折

疊，A3折過去后交OC于點P,設A5=xcm,AD=ycm.

并寫出函數(shù)y=/(x)的定義域;

(2)求的最大面積以及此時的x的值.【答案】(l)y="x)=10-x,定義域為(5,10)

(2)x=5板,AADP的最大面積為(75-50夜卜0?

【解析】

【分析】

(1)由題意可得y=10-x,再由鉆>A￡)可求出x的取值范圍，

(2)設AP=CP=z,在直角三角形ADP中利用勾股定理可得z=x+"-10,從而可求得

X

以的=；40-力卜-》-￥+10)，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果

(1)

因為A8=x,AD=y,矩形ABC。的周長為20cm,

所以2x+2y=20ny=10-x,因為AB>AD,所以x>10-1>0,

解得5Vx<10.所以產(chǎn)〃x)=l()-x,定義域為(5,10).

(2)

因為A5CO是矩形，所以有N￡)=N8=90。，AD=CB.

因為YAB'C是A4?C沿AC折起所得，

所以有N8'=NB=90。，CB'=CB,因此有Z5'=N￡>=90。，

C3'=D4,所以zMD尸絲ACB'P,因此AP=CP,DP=B'P.

設AP=CP=z.而A8CZ)是矩形，所以DC=AB,

因此0P=DC—CP=x—z.

>>950

在直角三角形ACP中，有A尸=AD?+。尸nz?=(10-x)2+(x-z)--z=x4------10,5<x<10.

所以S^ADP=^-AZ)DP=^-y(x-z)=^--(10-x)fx-x--+io\

化簡得Sw=75-5x-空=75-(5x+型)<75-2^5x--=75-50應，

當且僅當5x=一時取等號，即x=5后時，的最大面積為(75-50&卜1<

例9.(2022?全國?高三專題練習)磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細膩、

氣韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形08截去同心扇形。鉆所得部分.已知扇環(huán)

周長=300cm,大扇形半徑O￡>=100cm,設小扇形半徑OA=Acm,NAOB=，弧度，則

①。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。(幻=.

②若雕刻費用關(guān)于x的解析式為Mx)=lOx+1700,則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為

DA

0

布*v*m

100+2%/?x.

【答案】-------,XG(0,1i0n0n)；3

100+x\'

【解析】

【分析】

利用弧長公式求AB與OC根據(jù)扇環(huán)周長可得。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)扇形面積公式求出扇環(huán)面積，進

而得出磚雕面積與雕刻費用之比，再利用基本不等式即可求解.

【詳解】

由題意可知，ZAOB=9,OA=x,OD=\00,

所以48=夕尤，A￡>=3C=100-x,DC-1000,

扇環(huán)周長43+AD+BC+DC=3*+200-2x+100，=300,

解得人際心⑥叫

磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為S,

則扇”

S=S-SMAOB=-ODDC-^OAAB

=-xlOOxlOO6?---x-6?x=5OOO6?--x2=f5000~—1100+21,

222I2J100+x

即雕刻面積與雕刻費用之比為加，

S_(10000-x2)(100+2x)_(100-x)(50+x)

w(x)2(100+x)(10x+1700)10(x+170)

令t=x+170,則x=f-170,

(270-r)(r-120)-r2+390/-120x270t12x270”.I，12x270“””.

m=------八------=---------------------=--------------+39<-2.----------+39=-36+39=3,

10r10z10tV10t

當且僅當f=180時(即x=10)取等號，

所以磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為3.

故答案為：黑必，(0J00)；3

【方法技巧與總結(jié)】

1.解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2.利用模型/。）=以+巳b求解最值時，注意取得最值時等號成立

x

的條件.

題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

例10.(2022?全國?模擬預測)天文學上用絕對星等衡量天體的發(fā)光強度，用目視星等衡量觀測者看到的天

體亮度，可用用=機-5怛?近似表示絕對星等〃、目視星等，"和觀測距離d(單位：光年)之間的關(guān)

系.已知織女星的絕對星等為0.58,目視星等為0.04,大角星的絕對星等為-0.38,目視星等為-0.06,則

觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為()

A.10&B.10°172C.IO-0044D.10^°172

【答案】D

【解析】

【分析】

設觀測者與織女星和大角星間的距離分別為4，4，根據(jù)題意，列出方程組，化簡整理，即可得答案.

【詳解】

0.58=0.04-51g《

4

設觀測者與織女星和大角星間的距離分別為4，d2,則有

-0.38=-0.06-51g

兩式相減得51g3=-。86,所以1g與=4172,￡10—

a2a2a2

故選:D.

例H.(2022?河南?模擬預測(文))金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時

需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度/，與其采摘后時間r(天)滿足的函數(shù)解析式為

h=m\n[t+a),(?>0).若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%,采摘后3天，金針菇失去的新鮮度

為80%.那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度(已知75=1.414,結(jié)

果取一位小數(shù))()

A.4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知條件兩式相除求出。，設，天后開始失去全部新鮮度，則〃iln(r+l)=l,再與已知?式相除可求得

t.

【詳解】

f?zln(l+?)=0.4ln(3+a),

由已知《，二、八,、，相除得―^=2,ln(3+a)=21n(l+a),(l+a)2=3+a,因為。>0,故解得

mln(3+?)=0.8ln(l+n)

設f天后開始失去全部新鮮度，則mln后+1）=1,又mln（l+度=0.4,

所以一，)=77^"，2ln(Z+1)=5In2=In32,(/+1)2=32,t+\=>/32=4^2=4x1.414=5.656?

In20.4

t=4.656?4.7.

故選：C.

例12.（2022?陜西西安?三模（理））2022年4月16H,神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的

中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關(guān)鍵是火箭技術(shù)，在理想情況下，火箭在發(fā)動機工作期間獲得

速度增量的公式=其中Av為火箭的速度增量，匕為噴流相對于火箭的速度，〃?。和班分別代

表發(fā)動機開啟和關(guān)閉時火箭的質(zhì)量，在未來，假設人類設計的某火箭匕達到5公里/秒真，從100提高到

600,則速度增量增加的百分比約為（）（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7,ln3?l.l,ln5?1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，速度的增量為鉗=51nl00,△匕=51n600,結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

由題意，當a=10°時，速度的增量為AW=51nl00：

叫

當藁=200時，速度的增量為△%=5In600=5In100+51n6,

△v2-AV.5In100+5In6-5In100In6In2+ln3

「△匕51nl00In1002（ln2+ln5）

故選：D.

例13.（2022?貴州?模擬預測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地

的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為。，一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相

鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型K（"）=/Un”（X為常數(shù)）來描述該物種累

計繁殖數(shù)量”與入侵時間K（單位：天）之間的對應關(guān)系，且。=鼻+1,在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)

得出。=6,7=50.據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量比初始累計繁殖數(shù)量增加11倍所需要的時間為

（In2ao.69,ln3?1.10）（）

A.22.0天B.13.8天C.24.8天D.17.9天

【答案】C【解析】

【分析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求得4,設初始時間為匕，累計繁殖數(shù)量增加11倍后的時間為長2,利用（-用,結(jié)合對

數(shù)運算法則可求得結(jié)果.

【詳解】

T50

2="+1>。=6,T=5（）,6=--+1,解得：A=10.

AA

設初始時間為K-初始累計繁殖數(shù)量為〃，累計繁殖數(shù)量增加11倍后的時間為勺，

則工一叫=2呵12"）-刀n〃=21nl2=10（2ln2+ln3k24.8（天）.

故選：C.

例14.（2022?四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號

召，積極參與幫扶活動.該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補

貼10萬元.若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：

Vh82?1.22,1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】

【分析】

設年平均增長率為x,依題意列方程求x即可.

【詳解】

由題意，設年平均增長率為X,則150（1+4+10=270,

所以=故年平均增長率為20%.

故選：B

例15.（2022?廣西?模擬預測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系

通常以事函數(shù)形式表示.比如，某類動物的新陳代謝率了與其體重x滿足y=丘"，其中人和a為正常數(shù)，

該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀

態(tài)的8倍，則a為（）

A.-B.1C.\D.-

【答案】D

【解析】

【分析】初始狀態(tài)設為（西，凹），變化后為52，%），根據(jù)西廣2，）1，乃的關(guān)系代入后可求解.

【詳解】

設初始狀態(tài)為則々=16々，y2=8>'i,

又y=依f,y2=kx^,即8?=%（16xJ"=hl6"￥，

8yhl6"xf“aa“c3

—=—―-1-,16a=8,24a=23,4<z=3,a=-.

X煙04

故選：D.

例16.（2022?貴州貴陽?二模（理））2021年11月24日，貴陽市修文縣發(fā)生了4.6級地震，所幸的是沒有

人員傷亡和較大財產(chǎn)損失，在抗震分析中，某結(jié)構(gòu)工程師提出：由于實測地震記錄的缺乏，且考慮到強震

記錄數(shù)量的有限性和地震動的不可重復性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統(tǒng)計特征的非平穩(wěn)

地震波時程，其中地震動時程強度包絡函數(shù)7（。=1,tvt2（單位：秒）分別為控制強震

1

平穩(wěn)段的首末時刻；。（單位：秒）表示地震動總持時；c是衰減因子，控制下降段衰減的快慢.在一次

抗震分析中，地震動總持時是20秒，控制強震平穩(wěn)段的首末時刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2,

則當，=15秒時，地震動時程強度包絡函數(shù)值是（）

A.e-1B.1C.9D.e-2

【答案】A

【解析】

【分析】

由題可得當107420時，/（/）=尋而，即得.

【詳解】

由題可知％=5應=10，。=20,c=0.2,

當1（）<，V2（）時，=-

...當f=15秒時，地震動時程強度包絡函數(shù)值是7（15）=磊而=-.

ee

故選：A.

【方法技巧與總結(jié)】

1.在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、

銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型2在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法

確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?遼寧葫蘆島?二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：。C）的關(guān)系.現(xiàn)

收集了7組觀測數(shù)據(jù)（專制（，=1,2,乙,7）得到下面的散點圖：

350-?

300-

250-

200-

由此散點圖，在20℃至36'C之間，下面四個

150-?

100-?

50'????

斗02224262830323436

溫度/°C

回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)），和溫度X的回歸方程類型的是（）

h

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+be'D.y=a+b\nx

x

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合散點圖的特點，選擇合適的方程類型作為回歸方程類型.

【詳解】

由散點圖可以看出紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y隨著溫度x的增長速度越來越快，

所以y=。+加，最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型.

故選：C

2.（2022.全國.模擬預測）影響租金的因素有設備的價格、融資的利息和費用、稅金、租賃保證金、運

費、各種費用的支付時間、租金的計算方法等，而租金的計算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法

每期租金R的表達式為R=p（l”“）+p.r（其中尸為租賃資產(chǎn)的價格；N為租賃期數(shù)，可按月、季、半

N

年、年計；，?為折現(xiàn)率；，?為附加率）.某小型企業(yè)擬租賃一臺生產(chǎn)設備，租金按附加率法計算，每年年末

支付，已知設備的價格為84萬元，折現(xiàn)率為8%,附加率為4%,若每年年末應付租金為24.08萬元，則

該設備的租期為（）A.4年B.5年C.6年D.7年

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，即可求解.

【詳解】

由題意，R=24.08萬元，尸=84萬元，i=8%,r=4%,則24.08=84-止吵蟲@+84乂4%,解得N=6,

故選:c.

3.（2022?全國?模擬預測）隨著社會的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻

繁，這對信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟.其中電磁波在空間中自由傳播時能量

損耗滿足傳輸公式：乙=32.44+201g。+201g尸，其中。為傳輸距離，單位是km,尸為載波頻率，單位是

MHz,乙為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB.若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB,則傳輸距

離增加了約（參考數(shù)據(jù)：愴2。0.3,愴4。0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

【答案】C

【解析】

【分析】

由題，由前后兩傳輸公式做差，結(jié)合題設數(shù)量關(guān)系及對數(shù)運算，即可得出結(jié)果

【詳解】

設〃是變化后的傳輸損耗，F(xiàn)'是變化后的載波頻率，加是變化后的傳輸距離，則L'=L+18,F'=2F,

/yF'

18=L,-L=201gD,+201gF/-201gD-201gF=201g—+201g—,則201g—=18—201g2。12,即

DFD

O，

lg^-?0.6?lg4,從而。B4￡>,即傳輸距離增加了約3倍，

故選：C.

4.（2022?全國?模擬預測）施工企業(yè)承包工程，一般實行包工包料，需要有一定數(shù)量的備料周轉(zhuǎn)金，由建

設單位在開工前撥給施工企業(yè)一定數(shù)額的預付備料款，構(gòu)成施工企業(yè)為該承包工程儲備和準備主要材料、

結(jié)構(gòu)件所需的流動資金.確定工程預付款起扣點的依據(jù)是：未完施工工程所需主要材料和構(gòu)件的費用等于

工程預付款的數(shù)額.計算公式為：T=P-Z（T：工程預付款起扣點，P：承包工程合同總額，M：工

N

程預付款數(shù)額，N：主要材料及構(gòu)件所占比重）.某施工企業(yè)承接了一個合同總額為208萬元的新工程，

該工程預付款起扣點為160萬元，主要材料及構(gòu)件所占比重為65%,則建設單位應預付給施工企業(yè)的金額

為合同總額的（）

A.12%B.15%C.18%D.21%【答案】B

【解析】

【分析】

設建設單位應預付給施工企業(yè)的金額為合同總額的x%,根據(jù)所給公式得到方程，解得即可；

【詳解】

解：設建設單位應預付給施工企業(yè)的金額為合同總額的x%，

則由T=P-給，得160=208-絲獸，解得x=15,

N65%

故選:B.

5.（2022?北京?二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸（單位：mg/L）

與時間單位：h）間的關(guān)系為P=4eT’，其中外，k是正的常數(shù).如果在前10h污染物減少19%,那么

再過5h后污染物還剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)給定的函數(shù)模型及已知可得e-5?=0.9，再計算5h后污染物剩余量.

【詳解】

由題設，（1-19%）4=柒-必，可得設%0.9,

再過5個小時，P=（l-19%）《e-"=（0.81x0.9）4=0.7294，

所以最后還剩余72.9%.

故選：D

6.（2022?全國?模擬預測）某污水處理廠為使處理后的污水達到排放標準，需要加入某種藥劑，加入該藥

劑后，藥劑的濃度C（單位：mg/n?）隨時間f（單位：h）的變化關(guān)系可近似的用函數(shù)

°（'）=；0^：［（'>°）刻畫.由此可以判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經(jīng)過

（）

A.3hB.4hC.5hD.6h

【答案】A

【解析】

【分析】

利用基本不等式求最值可得.

【詳解】

依題意，，>0,所以1+所以

C（八一+_100。+。_100<100100I。

‘卜」+今+19-（,+1）2+2（/+1）+16-（/+］）+.+2-2“f+1>1^+2一正一,

當?shù)﹥H”1"1="即/—3肘等號成、工，心由此可判斷，若使被處理的污水中該藥司的濃度達到最大值，

t+\

需經(jīng)過3h.

故選：A.

7.（2022?云南曲靖?二模（文））某大型家電商場，在一周內(nèi)，計劃銷售A、8兩種電器，已知這兩種電器

每臺的進價都是1萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進貨B的臺數(shù)不高于A的臺數(shù)的2倍，且進貨B至少2臺，

而銷售A、5的售價分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨A、8的總資金為

6萬元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一個周內(nèi)銷售A、B電器的總利潤（利潤=售價一進價）的

最大值為（）

A.1.2萬元B.2.8萬元C.1.6萬元D.1.4萬元

【答案】D

【解析】

【分析】

設賣場在一周內(nèi)進貨B的臺數(shù)為x臺，則一周內(nèi)進貨A的臺數(shù)為（6-x）,根據(jù)題意可得出關(guān)于x的不等

式，解出X的取值范圍，再寫出》關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得y的最大值.

【詳解】

設該賣場在一周內(nèi)進貨B的臺數(shù)為X臺，則一周內(nèi)進貨A的臺數(shù)為（6-X）,

設該賣場在一周內(nèi)銷售A、B電器的利潤為y萬元，

x>2

由題意可得二V可得2WXW4,且xwN,

x<2[6-x）

y=0.2（6-x）+0.25x=0.05x+1.2,

函數(shù)y=0.05x+1.2隨著x的增大而增大，故為%=0.05x4+1.2=1.4（萬元）.

故選：D.

8.（2022?全國?高三專題練習）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一

個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以

用指數(shù)模型："f）=e"描述累計感染病例數(shù)/?）隨時間/（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率，?與凡，T

近似滿足q=1+打.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出%=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計

感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為（In2ao.69）（）

A.3.6天B.3.0天C.2.4天D.1.8天

【答案】A

【解析】【分析】

由已知先確定系數(shù)，，即可確定函數(shù)解析式，再利用解析式及提供數(shù)據(jù)即可求解累計感染病例數(shù)增加3倍需

要的時間

【詳解】

因為4=3.28,7=6,且/=1+",則〃=4^二1=速二1=0.38,于是得/⑺=/8，

T6

設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間為4,則有/（f+G=4/（r）

即e。陽，w）=嚴8,.耳婀=4e。?如,所以e°-3M=4,0.3甑=In4=21n2

而In2B0.69,解得“3.6

所以在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為3.6天

故選：A.

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習（理））某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km（不超過

3km按起步價付費）；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分

按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元，下列結(jié)論正確的是（）

A.出租車行駛2km,乘客需付費8元

B.出租車行駛4km,乘客需付費9.6元

C.出租車行駛10km,乘客需付費25.45元

D.某人兩次乘出租車均行駛5km的費用之和超過他乘出租車行駛10km一次的費用

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，逐一分析各個選項，即可得答案

【詳解】

對于A：出租車行駛2km,乘客需付起步價8元和燃油附加費1元，共9元，故A錯誤；

對于B：出租車行駛4km,乘客需付費8+2.15+1=11.15元,故B錯誤；

對于C：出租車行駛10km,乘客需付費8+2.15x5+2.85x2+1=25.45元，故C正確；

對于D：某人兩次乘出租車均行駛5km的費用之和為2x（8+2.15x2+l）=26.6元，

一次行駛l（）km的費用為25.45元，26.6>25.45,故D正確.

故選：CD

10.（2022?全國?高三專題練習）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注

射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間f（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲

線.據(jù)進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（）

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物:小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

8

D.注射一次治療該病的有效時間長度為5記時

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進行逐個分析，即可解決.

【詳解】

4r（0?z<l）

由函數(shù)圖象可知曠=01丫-"/,、，

舊（E

當/=1時，y=4,即g