高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊6 4 3 余弦定理、正弦定理（3 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例）同步練習(xí)（含解析）

《第四節(jié)平面向量的應(yīng)用》同步練習(xí)（課時3余弦定理、正弦定理（3.余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例））一、基礎(chǔ)鞏固知識點1測量距離1.如圖所示,為了測量某湖泊兩側(cè)A,B的距離,某同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點C,然后給出四種測量方案(△ABC的角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c):①測量角A,角C,b;②測量a,b,角C;③測量角A,角B,a;④測量a,b,角B.則一定能確定A,B間距離的方案是()A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④2.[2022西南大學(xué)附屬中學(xué)高二上開學(xué)考試]如圖,A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點,在山頂P處測得這三點的俯角分別為α=30°,β=45°,γ=30°.現(xiàn)計劃沿直線AC開通一條穿山隧道DE,經(jīng)測量AD=100m,BE=33m,BC=100m,則PB=m,DE=m.(精確到1m,附:2≈1.414,3≈1.732.)

知識點2測量高度3.(多選)[2022江蘇蘇州陸慕高級中學(xué)高一下期中]甲、乙兩樓相距20m,從乙樓樓底仰望甲樓樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓樓頂望乙樓樓頂?shù)母┙菫?0°,則()A.甲樓的高度為203m B.甲樓的高度為103mC.乙樓的高度為4033m D.乙樓的高度為104.如圖所示,為測一建筑物的高度,在地面上選取A,B兩點,從A,B兩點測得建筑物頂端的仰角分別為30°,45°,且A,B兩點間的距離為60m,則該建筑物的高度為()A.(30+303)m B.(30+153)mC.(15+303)m D.(15+153)m知識點3測量角度5.[2022河北保定高一期末]一艘船航行到點A處時,測得燈塔C與其相距30海里,如圖所示.隨后該船以20海里/時的速度,沿直線向東南方向航行1小時后到達(dá)點B,測得燈塔C在其北偏東25°方向,則sin∠ACB=()A.23sin70° B.23sin75° C.36.[2022江西南昌高一下期中]如圖,在離地面hm的熱氣球M上,觀察到山頂C處的仰角為θ,在山腳A處觀察到山頂C處的仰角為60°,且熱氣球M在地面上的射影D在A左側(cè).若A到熱氣球的距離AM=4002m,山的高度BC=600m,∠ACM=45°,則θ=()A.30° B.25° C.20° D.15°二、能力提升1.(多選)如圖,某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A處的俯角為30°,該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后,到達(dá)B處,此時測得俯角為45°.已知小車的速度是20km/h,且cos∠AOB=-338,則(A.此山的高PO=3kmB.小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最小仰角為30°C.PA=2kmD.小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最大仰角的正切值為202.[2022江蘇揚州高郵高一下期中]如圖,飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),若飛機的高度為海拔19km,速度為300km/h,飛行員先在A處看到山頂C處的俯角為45°,經(jīng)過2min后,又在B處看到山頂C處的俯角為75°,則山的海拔約為(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):3≈1.732)()A.4.3km B.5.3km C.6.3km D.13.7km3.如圖,某湖有一半徑為100m的半圓形岸邊,現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個水文監(jiān)測中心(大小忽略不計),在其正東方向相距200m的點A處安裝一套監(jiān)測設(shè)備.為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確,在半圓弧上的點B以及湖中的點C處,再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備,且滿足AB=AC,∠BAC=90°.定義:四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”.設(shè)∠AOB=θ,則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為.

4.如圖,A,B是海面上位于東西方向相距4(3+3)nmile的兩個觀測點,現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距163nmile的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為24nmile/h,則BD=nmile,該救援船到達(dá)D點所需的時間為h.5.如圖,某人在塔AB的正東方向上的C處,在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60°的方向以每小時6km的速度步行1min后到達(dá)D處,在點D處望見塔的底端B在東北方向上.已知沿途某人看塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60°.(1)該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時,走了幾分鐘?(2)求塔高.參考答案一、基礎(chǔ)鞏固1.A對于①,利用內(nèi)角和定理先求出B=π-A-C,再利用正弦定理bsin

B=csin

C,解出c的值是唯一的;對于②,直接利用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab,即可解出c的值是唯一的;對于③,利用正弦定理asin

A=bsin

B,求出b,再利用余弦定理可求出c的值是唯一的;對于④,利用正弦定理asin

A=bsin

B,求角A,當(dāng)a>b,且sin2.193240解析由題意,得∠BCP=30°,∠BPC=15°,BC=100,sin15°=sin(45°-30°)=6-24.由BCsin∠BPC=PBsin∠BCP,即100sin

15°=PBsin

30°,得PB=506-24=50(6+2)≈193(m).在△PAB中,因為α=30°,所以A=30°,∠APB=105°.又sin105°=sin(60°+45°)=6+243.AC如圖所示,在Rt△ABD中,∠ABD=60°,BD=20m,所以AD=BDtan60°=203m,AB=BDcos

60°=40m.在△ABC中,∠ABC=∠BAC=30°,所以可設(shè)AC=BC=xm.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,即1600=x2+x2+x2,解得x=4033.所以甲樓、乙樓的高度分別為203m,404.A在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,sin15°=sin(45°-30°)=6-24,由正弦定理,得PB=ABsin

30°sin

15°=30(6+2)(m),所以建筑物的高度為PB5.A由題意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20海里,由正弦定理可得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,代入數(shù)據(jù)得6.D在Rt△ABC中,BC=600m,∠CAB=60°,所以AC=BCsin60°=4003(m).在△MAC中,由正弦定理知ACsin∠AMC=AMsin∠ACM,解得sin∠AMC=32,所以∠AMC=60°或120°.若∠AMC=60°,則∠MAC=75°,∠MAD=45°,所以θ=60°-45°=15°;若∠AMC=120°,則∠MAC=15°,∠MAB=75°,此時D在A右側(cè),不符合題意二、能力提升1.BCD由題意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,設(shè)OP=xkm.又OP⊥OA,OP⊥OB,則OA=3xkm,OB=xkm.因為AB=7.5×160×20=52(km),所以cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB=4x2-25423x2=-338,解得x=1,從而PA=2km,故A錯誤,C正確;易知sin∠AOB=378,所以由等面積法可得O到AB的距離h=11120km,所以小車從A到B的行駛過程中,距離O點的距離范圍是[11120,3]2.B如圖,過C點作直線AB的垂線,垂足為D.由題意得AB=300×260=10(km),∠ACB=30°,因為ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,所以BC=AB·sin∠BACsin∠ACB=102(km).又sin75°=sin(45°+30°)=6+24,所以CD=BC·sin∠CBD=1023.(100005+25000)m2解析在△OAB中,因為∠AOB=θ,OB=100,OA=200,所以AB2=OB2+OA2-2OB·OAcosθ,即AB=1005-4cosθ,所以S四邊形OACB=S△OAB+S△ABC=12OA·OBsinθ+12AB2=1002(sinθ-2cosθ+52).令tanφ=2,則S四邊形OACB=1002[5sin(θ-φ)+52]≤1002(5+52),4.831解析由題意可知,在△ADB中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,則∠ADB=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得ABsin∠ADB=DBsin∠DAB,即4(3+3)sin105°=DBsin45°.由sin105°=sin(45°+60°)=6+24,代入上式得DB=83nmile.在△BCD中,BC=163,DB=83,∠CBD=60°.由余弦定理得,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos60°=(163)25.解析(1)依題意,知在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=100m,D=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得BC=CDsinDsin∠DBC在Rt△ABE中,tanα=ABBE因為AB為定長,所以當(dāng)BE的長最小時,α取最大值60°,此時BE⊥CD.當(dāng)BE⊥CD時